%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Analyse hilbertienne} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \minitoc \newpage Le but de chapitre est de généraliser l'espace ordinaire et son produit scalaire \begin{itemize} \item à la dimension $n$ : espace euclidien; \item à la dimension infinie : espace préhilbertien réel; \item aux nombres complexes : espace préhilbertien complexe, espace hermitien. \end{itemize} La généralisation portera essentiellement sur les notions d'orthogonalité et de projection orthogonale. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Produit scalaire sur un espace vectoriel réel} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dans cette section, $E$ désigne un $\R$-espace vectoriel de dimension finie ou infinie, sauf avis contraire. \begin{Df}[Produit scalaire réel]\alaligne On appelle \emph{produit scalaire réel} sur $E$, toute forme bilinéaire symétrique et définie positive, \ie{} toute application $\vphi : E\times E\to\R$ telle que \begin{prop} \item $\qqs\vc x\in E,\ \vphi_{\vc x} : \vc y\mapsto\vphi(\vc x,\vc y)$ est linéaire \hfill \emph{linéarité à droite}; \item $\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \vphi(\vc x,\vc y)=\vphi(\vc y,\vc x)$ \hfill \emph{symétrie}; \item $\qqs\vc x\in E,\ \vc x\neq\vc0\implique\vphi(\vc x,\vc x)>0$ \hfill \emph{définie positive}. \end{prop} \end{Df} \begin{Dfs}[Espace préhilbertien réel, espace euclidien]\alaligne $E$ muni du produit scalaire $\vphi$ est appelé un \emph{espace préhilbertien réel}. Si $E$ est un espace de dimension finie, $(E,\vphi)$ est un \emph{espace euclidien}. Le produit scalaire scalaire $\vphi(\vc x,\vc y)$ de deux vecteurs est noté $\Scal xy$, ou encore $\vc x\cdot\vc y$, $\mathopen{<}\vc x,\vc y\mathclose{>}$, $(\vc x\,|\,\vc y)$\dots \end{Dfs} \begin{NBs}\alaligne La linéarité à droite et la symétrie impliquent la linéarité à gauche. Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul. Le caractère \og défini positif\fg{} du produit scalaire peut s'établir en montrant que $$ \qqs\vc x\in E,\ \Scal xx\geq 0\et \Scal xx=0\implique\vc x=\vc 0 $$ Si $F$ est un $\R$-sous-espace de $E$, tout produit scalaire réel sur $E$ induit un produit scalaire réel sur $F$. \end{NBs} \begin{Exs}\alaligne \begin{prop} \item Produit scalaire canonique sur $\R^n$ : il est défini par $$ \qqs\vc x=\nuple x,\ \qqs\vc y=\nuple y,\quad \Scal xy=\sum_{k=1}^n x_k y_k $$ \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp[n,1]{\R}$ : il est défini par $$ \qqs(X,Y)\in\bigl(\Mnp[n,1]{\R}\bigr)^2,\quad \scal XY=\trans XY=\sum_{k=1}^nx_k y_k $$ \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp{\R}$ : il est défini par $$ \qqs(A,B)\in\bigl(\Mnp{\R}\bigr)^2,\quad \scal AB=\tr(\trans A B)=\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j} $$ \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues sur le segment $\intf ab$ et à valeurs réelles : $$ \qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}(\intf ab,\R)\bigr)^2,\quad \scal fg=\int_a^b f(t) g(t)\,dt $$ \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues, $2\pi$-périodiques sur~$\R$ et à valeurs réelles : $$ \qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}_{2\pi}(\R)\bigr)^2,\quad \scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)\,dt $$ \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues et de carré intégrable sur l'intervalle $I$, et à valeurs réelles : $$ \qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{L}^2(I,\R)\bigr)^2,\quad \scal fg=\int_I f(t)g(t)\,dt $$ \item Produits scalaires sur l'espace des polynômes à coefficients réels; si $I$ est un intervalle et $w$ une fonction continue sur $I$ et à valeurs réelles (strictement) positives, telle que, pour tout entier $n$, $t\mapsto t^n w(t)$ soit intégrable sur $I$, l'application $$ (P,Q)\in\bigl(\R[X]\bigr)^2\mapsto\scal PQ=\int_I P(t) Q(t)w(t)\,dt $$ est un produit scalaire. Les cas classiques sont \begin{gather*} I=\intf{-1}1,\ w(t)=1\et\scal PQ=\int_{-1}^1 P(t) Q(t)\,dt \\ I=\into{-1}1,\ w(t)=\ra1{\sqrt{1-t^2}}\et \scal PQ=\int_{-1}^1 P(t) Q(t)\,\ra{dt}{\sqrt{1-t^2}} \\ I=\intfo0{+\infty},\ w(t)=e^{-t}\et \scal PQ=\int_0^{+\infty} P(t) Q(t)e^{-t}\,dt \\ I=\into{-\infty}{+\infty},\ w(t)=e^{-t^2}\et \scal PQ=\int_{-\infty}^{+\infty} P(t) Q(t)e^{-t^2}\,dt \end{gather*} \item Produit scalaire sur l'espace des suites réelles de carré sommable $\ell^2_\N(\R)$, \ie{} les suites réelles $\suite a$ telles que la série $\sum_n a_n^2$ soit convergente. $$ \qqs(\vc a,\vc b)\in\bigl(\ell^2_\N(\R)\bigr)^2,\quad \Scal ab=\sum_{k=0}^{\infty} a_k b_k $$ \end{prop} \end{Exs} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Norme et distance associée à un produit scalaire réel} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $E$ désigne un espace préhilbertien réel dont le produit scalaire est noté~$\scal{\ }{\ }$. \begin{Dfs}[Norme et distance associée]\alaligne La norme associée au produit scalaire $\scal{\ }{\ }$ est définie par : \Reponse{$ \qqs\vc x\in E,\quad\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx} $} La distance associée au produit scalaire est définie par : \Reponse{$ \qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\quad \dist(\vc x,\vc y)=\norme{\vc y-\vc x} =\sqrt{\scal{(\vc y-\vc x)}{(\vc y-\vc x)}} $} Dans ce cas réel, la norme et la distance sont qualifiées d'\emph{euclidiennes}. \end{Dfs} \begin{Prop} $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une application de $E$ sur $\intfo0{+\infty}$ qui vérifie \begin{prop} \item $\qqs\vc x\in E,\ \norme{\vc x}=0\iff\vc x=\vc 0$ \hfill \emph{axiome de séparation;} \item $\qqs(\la,\vc x)\in\R\times E,\ \norme{\la\vc x}=\abs\la\,\norme{\vc x}$ \hfill \emph{axiome d'homogénéité.} \end{prop} \end{Prop} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem $0=\norme{\vc x}^2=\Scal xx\iff\vc x=\vc 0$; \monitem $\norme{\la\vc x} =\sqrt{\scal{\la\vc x}{\la\vc x}} =\sqrt{\la^2\Scal xx}=\abs{\la}\Scal xx$ \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- L'inégalité triangulaire sera démontrée à la fin de cette section. %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Expression du produit scalaire en fonction de la norme} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Règles de calcul]\alaligne Voici trois relations pour $\vc x$ et $\vc y$ éléments de $E$ : \begin{prop} \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2={\norme{\vc x}}^2+2\Scal xy+{\norme{\vc y}}^2$; \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2+{\norme{\vc x-\vc y}}^2= 2{\norme{\vc x}}^2+2{\norme{\vc y}}^2$ \hfill égalité du parallélogramme; \item $\Scal xy =\ra12\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr) =\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr)$\\ \mbox{}\hfill expression du produit scalaire réel à l'aide de la norme. \end{prop} \end{Prop} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem Utilisons la linéarité à droite et à gauche, et la symétrie du produit scalaire \begin{align*} \norme{\vc x+\vc y}^2 & = \scal{\vc x+\vc y}{\vc x+\vc y}=\Scal xx+\Scal xy +\Scal yx+\Scal yy \\ & = \norme{\vc x}^2+2\Scal xy+\norme{\vc y}^2 \end{align*} \monitem En changeant $\vc y$ en $-\vc y$, on obtient $$ \norme{\vc x-\vc y}^2=\norme{\vc x}^2-2\Scal xy+\norme{\vc y}^2 $$ Il suffit d'additionner les deux formules pour obtenir le résultat annoncé. \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- La deuxième égalité s'interprète par le \begin{Cor}[\'Egalité du parallélogramme]\alaligne La somme des carrés des longueurs des côtés d'un parallélogramme est égale au double de la somme des carrés des longueurs des diagonales. \end{Cor} \begin{NB} L'égalité du parallélogramme caractérise les normes euclidiennes, \ie{} les normes qui sont associées à un produit scalaire (réel). \end{NB} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Inégalité de Cauchy-Schwarz} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Inégalité de Cauchy-Schwarz]\alaligne Pour $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, on a \Reponse{$ \qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \abs{\Scal xy}\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y} $} \noindent L'égalité a lieu si, et seulement si, la famille $(\vc x,\vc y)$ est liée. \end{Th} \begin{proof} Si $\norme{\vc x}=0$, $\vc x$ est le vecteur nul, l'inégalité, qui devient une égalité dans ce cas, est vérifiée, et la famille $(\vc x=\vc 0,\vc y)$ est une famille liée. Si $\norme{\vc x}\neq 0$, on pose, pour $\la\in\R$, $T(\la)=\norme{\la\vc x+\vc y}^2 =\la^2\norme{\vc x}^2+2\la\Scal xy+\norme{\vc y}^2$. $T(\la)$ est un trinôme du second degré, que l'on écrit sous sa forme canonique \begin{equation} 0\leq T(\la) =\norme{\vc x}^2\Bigl(\la+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)^2 +\ra{\norme{\vc x}^2\norme{\vc y}^2-{\Scal xy}^2}{\norme{\vc x}^2} \end{equation} En donnant la valeur particulière $\la_0=-\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}$, on obtient l'inégalité annoncée. Dans le cas de l'égalité de Cauchy-Schwarz, on a \begin{equation} T(\la) =\norme{\vc x}^2\Bigl(\la+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)^2 \end{equation} Donnant à $\la$ la valeur particulière $\la_0=-\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}$, on obtient $0=T(\la_0)=\norme{\la_0\vc x+\vc y}^2$, soit $\la_0\vc x+\vc y=\vc 0$ et la famille $(\vc x,\vc y)$ est une famille liée. Réciproquement, si la famille $(\vc x,\vc y)$ est une famille liée, par exemple $\vc y=\mu\vc x$, alors $$ \abs{\Scal xy}=\abs{\scal{\vc x}{\mu\vc x}}=\abs{\mu}\Scal xx =\abs{\mu}\,\norme{\vc x}^2 =\norme{\vc x}\,\norme{\mu\vc x}=\norme{\vc x}\,\norme{\vc y} $$ \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Exs} Voici quelques exemples d'application de l'inégalité de Schwarz : \begin{prop} \item cas de $\R^n$ : $$ \abs{\Scal xy}=\abs[\Big]{\sum_{k=1}^n x_k y_k} \leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}=\Bigl(\sum_{k=1}^n x_k^2\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\sum_{k=1}^n y_k^2\Bigr)^{\ra12} $$ \item cas de $\Mnp[n,1]{\R}$ : $$ \abs{\scal XY}=\abs{\trans XY}=\abs[\Big]{\sum_{k=1}^n x_k y_k}\leq \bigl(\trans XX\bigr)^{\ra12}\bigl(\trans YY\bigr)^{\ra12} =\Bigl(\sum_{k=1}^n x_k^2\Bigr)^{\ra12}\Bigl(\sum_{k=1}^n y_k^2\Bigr)^{\ra12} $$ \item cas de $\Mnp{\R}$ : $$ \abs{\scal AB} =\abs{\tr(\trans A B)}=\abs[\Big]{\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j}} \leq\bigl(\tr(\trans AA)\bigr)^{\ra12}\bigl(\tr(\trans BB)\bigr)^{\ra12}= \Bigl(\sum_{i,j}a_{i,j}^2\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\sum_{i,j}b_{i,j}^2\Bigr)^{\ra12} $$ \item cas de $\mcal{C}(\intf ab,\R)$ : $$ \abs{\scal fg}=\Bigl|\int_a^b f(t) g(t)\,dt\Bigr| \leq\Bigl(\int_a^b \bigl(f(t)\bigr)^2\,dt\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\int_a^b \bigl(g(t)\bigr)^2\,dt\Bigr)^{\ra12} $$ \item cas de $\mcal{L}^2(I,\R)$ : $$ \abs{\scal fg}=\Bigl|\int_I f(t)g(t)\,dt\Bigr| \leq \Bigl(\int_I \bigl(f(t)\bigr)^2\,dt\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\int_I \bigl(g(t)\bigr)^2\,dt\Bigr)^{\ra12} $$ \item cas de $\R[X]$ : $$ \abs{\scal PQ}=\Bigr|\int_I P(t) Q(t)w(t)\,dt\Bigl| \leq\Bigl(\int_I \bigl(P(t)\bigr)^2w(t)\,dt\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\int_I \bigl(Q(t)\bigr)^2w(t)\,dt\Bigr)^{\ra12} $$ Par exemple : $$ \Bigl|\int_{-\infty}^{+\infty} P(t) Q(t)e^{-t^2}\,dt\Bigr| \leq\Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl(P(t)\bigr)^2e^{-t^2}\,dt\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty} \bigl(Q(t)\bigr)^2e^{-t^2}\,dt\Bigr)^{\ra12} $$ \item cas de $\ell^2_\N(\R)$ : $$ \abs{\Scal ab}=\Bigl|\sum_{k=0}^{\infty} a_k b_k\Bigr| \leq\Bigl(\sum_{k=0}^{\infty} a_k^2 \Bigr)^{\ra12} \Bigl(\sum_{k=0}^{\infty} b_k^2 \Bigr)^{\ra12} $$ \end{prop} \end{Exs} L'inégalité de Schwarz montre que, pour deux vecteurs non nuls $\vc x$ et $\vc y$ de~$E$, le quotient $\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}}$ est un réel de $\intf{-1}1$, réel que l'on écrit $\cos\theta$, pour un $\theta$ unique du segment $\intf0\pi$; ce qui donne la \begin{Df}[Écart angulaire entre deux vecteurs réels]\alaligne Si $\vc x$ et $\vc y$ sont deux vecteurs non nuls d'un espace préhilbertien réel, il existe un unique $\theta\in\intf0\pi$ tel que $$ \Scal xy=\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}\cos\theta $$ $\theta$ est appelé \emph{l'angle (non orienté) entre $\vc x$ et $\vc y$}; cet angle est défini à $\pi$ près. \end{Df} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Inégalité de Minkowski, ou inégalité triangulaire} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Inégalité de Minkowski]\alaligne On a l'inégalité, dite de MinKowski, $$ \qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \norme{\vc x+\vc y}\leq\norme{\vc x}+\norme{\vc y} $$ \end{Prop} \begin{proof} Développons $\norme{\vc x+\vc y}^2$ et utilisons l'inégalité de Schwarz : $$ \norme{\vc x+\vc y}^2 = \norme{\vc x}^2+2\Scal xy+\norme{\vc y}^2 \leq \norme{\vc x}^2+2\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}+\norme{\vc y}^2 =\bigl(\norme{\vc x}+\norme{\vc y}\bigr)^2 $$ \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Cor} $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une norme sur $E$. \end{Cor} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Produit scalaire sur un espace vectoriel complexe} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dans cette section, $E$ désigne un $\C$-espace vectoriel de dimension finie ou infinie, sauf avis contraire. \begin{NB} Sur $\R$, l'égalité $x_1^2+x_2^2=0$ est équivalente à $x_1=0$ \emph{et} $x_2=0$. Sur $\C$, la situation est différente; on a : $$ 0=z_1^2+z_2^2=(z_1+iz_2)(z_1-iz_2)\iff z_1+iz_2=0 \text{\textbf{ ou }} z_1-iz_2=0 $$ tandis que $$ 0=\abs{z_1}^2+\abs{z_2}^2 =z_1\conjug{z_1}+z_2\conjug{z_2} \iff z_1=0 \text{\textbf{ et }} z_2=0 $$ \end{NB} \begin{Df}[Produit scalaire complexe ou hermitien]\alaligne On appelle \emph{produit scalaire complexe} ou \emph{produit scalaire hermitien} sur $E$, toute forme \emph{sesquilinéaire à symétrie hermitienne} et définie positive, \ie{} toute application $\vphi : E\times E\to\C$ telle que \begin{prop} \item $\qqs\vc x\in E,\ \vphi_{\vc x} : \vc x\mapsto\vphi(\vc x,\vc y)$ est linéaire \hfill \emph{linéarité à droite}; \item $\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \vphi(\vc x,\vc y)=\conjug{\vphi(\vc y,\vc x)}$ \hfill \emph{symétrie hermitienne}; \item $\qqs\vc x\in E,\ \vc x\neq\vc0\implique\vphi(\vc x,\vc x)>0$ \hfill \emph{définie positive}. \end{prop} \end{Df} \begin{Dfs}[Espace préhilbertien complexe, espace hermitien]\alaligne $E$ muni du produit scalaire $\vphi$ est appelé \emph{espace préhilbertien complexe}. Si $E$ est un espace de dimension finie, $(E,\vphi)$ est un \emph{espace hermitien}. Le produit scalaire $\vphi(\vc x,\vc y)$ de deux vecteurs est noté $\Scal xy$, ou encore $\vc x\cdot\vc y$, $\mathopen{<}\vc x,\vc y\mathclose{>}$, $(\vc x\,|\,\vc y)$,\ \dots \end{Dfs} \begin{NBs}\alaligne La linéarité à droite et la symétrie hermitienne impliquent la \emph{semi-linéarité} à gauche, \ie{} pour tous nombres complexes $\la_1$ et $\la_2$, pour tous vecteurs $\vc x_1$, $\vc x_2$ et $\vc y$ de $E$, \begin{align*} \scal{\la_1\vc x_1+\la_2\vc x_2}{\vc y} & = \conjug{\scal{\vc y}{\la_1\vc x_1+\la_2\vc x_2}} \qquad\text{symétrie hermitienne} \\ & = \conjug{\la_1\scal{\vc y}{\vc x_1} +\la_2\scal{\vc y}{\vc x_2}} \qquad\text{linéarité à droite} \\ & = \conjug{\la_1}\scal{\vc x_1}{\vc y}+ \conjug{\la_2}\scal{\vc x_2}{\vc y} \qquad\text{symétrie hermitienne} \end{align*} Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul. Le caractère \og défini positif\fg{} du produit scalaire peut s'établir en montrant que $$ \qqs\vc x\in E,\ \Scal xx\geq 0\et \Scal xx=0\implique\vc x=\vc 0 $$ Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, tout produit scalaire hermitien sur $E$ induit un produit scalaire hermitien sur $F$. \end{NBs} \begin{Exs} Reprenons les mêmes exemples que dans le cas réel, arrangés à la sauce complexe par l'utilisation de la conjugaison de la première variable. \begin{prop} \item Produit scalaire canonique sur $\C^n$ : il est défini par $$ \qqs\vc x=\nuple x,\ \qqs\vc y=\nuple y,\quad \Scal xy=\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k $$ \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp[n,1]{\C}$ : il est défini par $$ \qqs(X,Y)\in\Mnp[n,1]{\C}^2,\quad \scal XY=\trans\conjug{X}Y=\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k $$ \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp{\C}$ : il est défini par $$ \qqs(A,B)\in\bigl(\Mnp{\C}\bigr)^2,\quad \scal AB=\tr(\trans\conjug{A} B)=\sum_{i,j}\conjug{a_{i,j}} b_{i,j} $$ \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues sur le segment $\intf ab$ et à valeurs complexes: $$ \qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}(\intf ab,\C)\bigr)^2,\quad \scal fg=\int_a^b \conjug{f(t)} g(t)\,dt $$ \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues, $2\pi$-périodiques sur~$\R$ et à valeurs complexes: $$ \qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}_{2\pi}\bigr)^2,\quad \scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conjug{f(t)}g(t)\,dt $$ \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues, de carré intégrable sur l'intervalle $I$ et à valeurs complexes : $$ \qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{L}^2(I)\bigr)^2,\quad \scal fg=\int_I \conjug{f(t)}g(t)\,dt $$ \item Produits scalaires sur l'espace des polynômes à coefficients complexes; si $I$ est un intervalle et $w$ une fonction continue sur $I$ et à valeurs réelles (strictement) positives, telle que, pour tout entier $n$, l'application $t\mapsto t^n w(t)$ soit intégrable sur $I$, l'application $$ (P,Q)\in\bigl(\C[X]\bigr)^2\mapsto \scal PQ=\int_I \conjug{P(t)} Q(t)\,w(t)\,dt $$ est un produit scalaire. Les cas classiques sont \begin{gather*} I=\intf{-1}1,\ w(t)=1\et\scal PQ=\int_{-1}^1 \conjug{P(t)} Q(t)\,dt \\ I=\into{-1}1,\ w(t)=\ra1{\sqrt{1-t^2}}\et \scal PQ=\int_{-1}^1 \conjug{P(t)} Q(t)\,\ra{dt}{\sqrt{1-t^2}} \\ I=\intfo0{+\infty},\ w(t)=e^{-t}\et \scal PQ=\int_0^{+\infty} \conjug{P(t)} Q(t)\,e^{-t}\,dt \\ I=\into{-\infty}{+\infty},\ w(t)=e^{-t^2}\et \scal PQ=\int_{-\infty}^{+\infty} \conjug{P(t)} Q(t)\,e^{-t^2}\,dt \end{gather*} \item Produit scalaire sur l'espace des suites complexes de carré sommable $\ell^2_\N(\C)$, \ie{} les suites complexes $\suite a$ telles que la série $\sum_n \abs{a_n}^2$ soit convergente: $$ \qqs(\vc a,\vc b)\in\bigl(\ell^2_\N(\C)\bigr)^2,\quad \Scal ab=\sum_{k=0}^{\infty} \conjug{a_k} b_k $$ \end{prop} \end{Exs} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Norme et distance associées à un produit scalaire complexe} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $E$ désigne un espace préhilbertien complexe dont le produit scalaire est noté~$\scal{\ }{\ }$. \begin{Dfs}[Norme et distance hermitienne]\alaligne Les définitions sont identiques au cas réel. La norme associée au produit scalaire hermitien $\scal{\ }{\ }$ est définie par : \Reponse{$ \qqs\vc x\in E,\quad\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx} $} La distance associée au produit scalaire hermitien est définie par : \Reponse{$ \qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\quad \dist(\vc x,\vc y)=\norme{\vc y-\vc x} =\sqrt{\scal{\vc y-\vc x}{\vc y-\vc x}} $} Dans ce cas complexe, on donne le qualificatif d'\emph{hermitienne} à la norme et à la distance associées au produit scalaire (hermitien). \end{Dfs} \begin{Prop} $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une application de $E$ sur $\intfo0{+\infty}$ qui vérifie \begin{prop} \item $\qqs\vc x\in E,\ \norme{\vc x}=0\iff\vc x=\vc 0$ \hfill \emph{axiome de séparation;} \item $\qqs(\la,\vc x)\in\C\times E,\ \norme{\la\vc x}=\abs\la\,\norme{\vc x}$ \hfill \emph{axiome d'homogénéité.} \end{prop} \end{Prop} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem $0=\norme{\vc x}^2=\Scal xx\iff\vc x=\vc 0$; \monitem $\norme{\la\vc x} =\sqrt{\scal{\la\vc x}{\la\vc x}} =\sqrt{\abs{\la}^2\Scal xx}=\abs{\la}\Scal xx$ \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- L'inégalité triangulaire sera démontrée à la fin de cette section. %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Expression du produit scalaire en fonction de la norme} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Règles de calcul]\alaligne Voici des relations pour $\vc x$ et $\vc y$ éléments de $E$ : \begin{prop} \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2 ={\norme{\vc x}}^2+2\RE\Scal xy+{\norme{\vc y}}^2$; \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2+{\norme{\vc x-\vc y}}^2= 2{\norme{\vc x}}^2+2{\norme{\vc y}}^2$ \hfill égalité du parallélogramme; \item $\RE\Scal xy =\ra12\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr) =\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr)$ \\ $\IM\Scal xy =\ra12\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr) =\ra14\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x+i\vc y}}^2\bigr)$ \\ et $\Scal xy=\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr) +\ra i4\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x+i\vc y}}^2\bigr)$\\ \mbox{}\hfill expression du produit scalaire complexe à l'aide de la norme. \end{prop} \end{Prop} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem Utilisons la linéarité à droite, la semi-linéarité à gauche et la symétrie hermitienne du produit scalaire \begin{align*} \norme{\vc x+\vc y}^2 & = \scal{\vc x+\vc y}{\vc x+\vc y}=\Scal xx+\Scal xy +\Scal yx+\Scal yy \\ & = \norme{\vc x}^2+\Scal xy+\conjug{\Scal xy}+\norme{\vc y}^2 \\ & = \norme{\vc x}^2+2\RE\Scal xy+\norme{\vc y}^2 \end{align*} \monitem En changeant $\vc y$ en $-\vc y$, on obtient $$ \norme{\vc x-\vc y}^2=\norme{\vc x}^2-2\RE\Scal xy+\norme{\vc y}^2 $$ Il suffit d'additionner les deux formules pour obtenir le résultat annoncé. \monitem Changeons $\vc y$ en $-i\vc y$; on obtient, en utilisant $\RE(-iz)=\IM z$, $$ {\norme{\vc x-i\vc y}}^2 = {\norme{\vc x}}^2+2\RE(-i\Scal xy)+{\norme{\vc y}}^2 = {\norme{\vc x}}^2+2\IM\Scal xy+{\norme{\vc y}}^2 $$ Par addition, on obtient les identités demandées. \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- La deuxième égalité s'interprète toujours par le \begin{Cor}[\'Egalité du parallélogramme]\alaligne La somme des carrés des longueurs des côtés d'un parallélogramme est égale au double de la somme des carrés des longueurs des diagonales. \end{Cor} \begin{NB} L'égalité du parallélogramme caractérise les normes hermitiennes, \ie{} les normes associées à un produit scalaire complexe (ou hermitien). \end{NB} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Inégalité de Cauchy-Schwarz} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Inégalité de Cauchy-Schwarz]\alaligne Pour $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, on a \Reponse{$ \qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \abs{\Scal xy}\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y} $} \noindent L'égalité a lieu si, et seulement si, la famille $(\vc x,\vc y)$ est liée. \end{Th} \begin{proof} Si $\norme{\vc x}=0$\dots{} voir le cas réel. Si $\norme{\vc x}\neq 0$, on pose $T(\la)=\norme{\la\vc x+\vc y}^2$ pour $\la\in\C$. On développe et on trouve : \begin{align*} 0\leq T(\la) & = \norme{\la\vc x+\vc y}^2 =\scal{\la\vc x+\vc y}{\la\vc x+\vc y} =\la\conjug{\la}\norme{\vc x}^2 +\conjug{\la}\Scal xy+\la\conjug{\Scal xy} +\norme{\vc y}^2 \\ & = \norme{\vc x}^2 \Bigl(\conjug{\la}+\ra{\conjug{\Scal xy}}{\norme{\vc x}^2}\Bigr) \Bigl(\la+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr) +\norme{\vc y}^2-\ra{{\Scal xy}\conjug{\Scal xy}}{\norme{\vc x}^2} \\ & = \norme{\vc x}^2 \Bigl|\la+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr|^2 +\ra{\norme{\vc x}^2 \norme{\vc y}^2-\abs{\Scal xy}^2} {\norme{\vc x}^2} \end{align*} $T(\la)$ est un trinôme du second degré en la variable \emph{complexe} $\la$, que l'on a écrit sous sa forme canonique. En donnant la valeur particulière $\la_0=-\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}$, on obtient l'inégalité annoncée. Le reste de la démonstration se traite comme dans le cas réel. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Exs} Toujours les mêmes exemples d'application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz; il suffit d'ajouter une pincée de condiment \og conjugaison\fg{} sur la première variable et le plat est prêt. \begin{prop} \item cas de $\C^n$ : $$ \abs{\Scal xy}=\abs[\Big]{\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k} \leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}=\Bigl(\sum_{k=1}^n \abs{x_k}^2\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\sum_{k=1}^n \abs{y_k}^2\Bigr)^{\ra12} $$ \item cas de $\Mnp[n,1]{\C}$ : $$ \abs{\scal XY}=\abs{\tc XY}=\abs[Big]{\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k}\leq \bigl(\tc{X} X\bigr)^{\ra12}\bigl(\tc{Y}Y\bigr)^{\ra12} =\Bigl(\sum_{k=1}^n \abs{x_k}^2\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\sum_{k=1}^n \abs{y_k}^2\Bigr)^{\ra12} $$ \item cas de $\Mnp{\C}$ : $$% \begin{multline*} \abs{\scal AB}=\abs{\tr(\trans\conjug{A} B)} =\Bigl|\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j}\Bigr| %\\ \leq\bigl(\tr(\trans\conjug{A}A)\bigr)^{\ra12} \bigl(\tr(\trans\conjug{B}B)\bigr)^{\ra12} =\Bigl(\sum_{i,j} \abs{a_{i,j}}^2\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\sum_{i,j}\abs{b_{i,j}}^2\Bigr)^{\ra12} $$% \end{multline*} \item cas de $\mcal{C}(\intf ab,\C)$ : $$ \abs{\scal fg}=\Bigl|\int_a^b \conjug{f(t)} g(t)\,dt\Bigr| \leq\Bigl(\int_a^b \bigl|f(t)\bigr|^2\,dt\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\int_a^b \bigl|g(t)\bigr|^2\,dt\Bigr)^{\ra12} $$ \item cas de $\mcal{L}^2(I)$ : $$ \abs{\scal fg}=\Bigl|\int_I \conjug{f(t)}g(t)\,dt\Bigr| \leq \Bigl(\int_I \bigl|f(t)\bigr|^2\,dt\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\int_I \bigl|g(t)\bigr|^2\,dt\Bigr)^{\ra12} $$ \item cas de $\C[X]$ : $$ \abs{\scal PQ}=\Bigr|\int_I \conjug{P(t)} Q(t)w(t)\,dt\Bigl| \leq\Bigl(\int_I \bigl|P(t)\bigr|^2w(t)\,dt\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\int_I \bigl|Q(t)\bigr|^2w(t)\,dt\Bigr)^{\ra12} $$ Par exemple : $$ \Bigl|\int_{-1}^1 \conjug{P(t)} Q(t)\,\ra{dt}{\sqrt{1-t^2}}\Bigr| \leq\Bigl(\int_{-1}^1 \bigl|P(t)\bigr|^2\, \ra{dt}{\sqrt{1-t^2}}\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\int_{-1}^1 \bigl|Q(t)\bigr|^2\, \ra{dt}{\sqrt{1-t^2}}\Bigr)^{\ra12} $$ \item cas de $\ell^2_\N(\C)$ : $$ \abs{\Scal ab}=\Bigl|\sum_{k=0}^{\infty} \conjug{a_k} b_k\Bigr| \leq\Bigl(\sum_{k=0}^{\infty} \abs{a_k}^2 \Bigr)^{\ra12} \Bigl(\sum_{k=0}^{\infty} \abs{b_k}^2 \Bigr)^{\ra12} $$ \end{prop} \end{Exs} L'inégalité de Schwarz montre que, pour deux vecteurs non nuls $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, le quotient $\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}}$ est un nombre \emph{complexe} de module inférieur ou égal à $1$; on ne peut plus parler d'écart angulaire entre deux vecteurs d'un espace vectoriel complexe. %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Inégalité de Minkowski, ou inégalité triangulaire} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[]\mbox{} Pour $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, on a $$ \qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \norme{\vc x+\vc y}\leq\norme{\vc x}+\norme{\vc y} $$ \end{Prop} \begin{proof} Démonstration identique au cas réel : $$ \norme{\vc x+\vc y}^2 = \norme{\vc x}^2+2\RE\Scal xy+\norme{\vc y}^2 \leq \norme{\vc x}^2+2\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}+\norme{\vc y}^2 =\bigl(\norme{\vc x}+\norme{\vc y}\bigr)^2 $$ \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Cor} $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une norme sur $E$. \end{Cor} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Orthogonalité} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $E$ désigne un espace préhilbertien réel ou complexe dont le produit scalaire est noté $\scal{\ }{\ }$. \begin{Df}[Vecteur unitaire]\alaligne Un vecteur \emph{unitaire} est un vecteur $\vc x$ de norme $1$, \ie{} vérifiant $\Scal xx=1$. \end{Df} \begin{Df}[Orthogonalité]\alaligne Deux vecteurs sont \emph{orthogonaux} si leur produit scalaire est nul; la relation d'orthogonalité est notée $\bot$. \Reponse{$ \vc x\bot\vc y\iff\Scal xy=0 $} \end{Df} \begin{Df}[Famille orthogonale]\alaligne Une famille de vecteurs $(\vc x_k)_{k\in\Lambda}$ est une \emph{famille orthogonale} si les vecteurs de cette famille sont orthogonaux deux à deux, \ie \begin{equation} \qqs(k,l)\in\Lambda^2,\quad k\neq l\implique \scal{\vc x_k}{\vc x_l}=0 \end{equation} \end{Df} \begin{Df}[Famille orthonormale]\alaligne Une famille orthogonale de vecteurs unitaires est appelée une famille \emph{orthonormale}, \ie \begin{equation} \qqs(k,l)\in\Lambda^2,\quad \scal{\vc x_k}{\vc x_l}=\delta_{k,l}= \begin{cases} 0 & \text{si $k\neq l$} \\ 1 & \text{si $k=l$} \end{cases} \end{equation} \end{Df} \begin{NB} Si $(\vc v_k)_k$ est une famille orthogonale de vecteurs \emph{non nuls}, la famille $(\ra1{\norme{\vc v_k}}\vc v_k)_k$ est orthogonale. \end{NB} \begin{Exs}\alaligne \begin{prop} \item Les bases naturelles (canoniques) de $\R^n$, $\C^n$, $\Mnp[n,1]{\R}$, $\Mnp[n,1]{\C}$, $\Mnp{\R}$ et $\Mnp{\C}$ sont des familles orthonormales pour le produit scalaire naturel (canonique) des espaces considérés. \item La famille $\ens{e_k : t\mapsto \exp(ikt)}{k\in\Z}$ est une famille orthonormale de~$\mcal{C}_{2\pi}$. La famille $\{1\}\cup\ens{t\mapsto \cos kt}{k\in\N^*}\cup \ens{t\mapsto\sin kt}{k\in\N^*}$ est une famille orthogonale de $\mcal{C}_{2\pi}$; la famille orthonormale associée est $\{1\}\cup\ens{t\mapsto \sqrt2\cos kt}{k\in\N^*}\cup \ens{t\mapsto\sqrt2\sin kt}{k\in\N^*}$. \item Les divers produits scalaires sur $\R[X]$ et $\C[X]$ donnent des familles orthogonales de polynômes, encore appelées familles de polynômes orthogonaux : \begin{itemize} \item les polynômes de Legendre $\dps P_n(t)=\ra{d^n}{dt^n}\bigl((t^2-1)^n\bigr)$ constituent une famille de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire $\dps\scal PQ=\int_{-1}^1\conjug{P(t)}Q(t)\,dt$. \item les polynômes de Tchebychev $\dps T_n(t)=\cos(n\arccos t)$ constituent une famille de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire $\dps\scal PQ=\int_{-1}^1\conjug{P(t)}Q(t)\,\ra{dt}{\sqrt{1-t^2}}$. \item les polynômes de Laguerre $\dps L_n(t)=\ra{d^n}{dt^n}(t^n e^{-t})$ constituent une famille de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire $\dps \scal PQ=\int_0^{+\infty}\conjug{P(t)}Q(t)\,e^{-t}\,dt$. \item les polynômes d'Hermite $\dps H_n(t)=e^{t^2}\ra{d^n}{dt^n}(e^{-t^2})$ constituent une famille de polynômes orthogonaux pour le produit scalaire $\dps \scal PQ=\int_{-\infty}^{+\infty} \conjug{P(t)}Q(t)\,e^{-t^2}\,dt$. \end{itemize} \end{prop} \end{Exs} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Relation de Pythagore} %--------------------------------------------------------------------- Voici tout d'abord, deux règles de calcul : \begin{Lem}[]\mbox{}\alaligne \begin{prop} \item $\dps\scal{\sum_{k=1}^p \la_k\vc x_k}{\sum_{l=1}^q\mu_l\vc y_l} =\sum_{k=1}^p\sum_{l=1}^q\conjug{\la_k}\mu_l\scal{\vc x_k}{\vc y_l}$ %\vspace*{3pt} \item $\dps\norme[\Big]{\sum_{k=1}^p \la_k\vc x_k}^2 =\sum_{k=1}^p\sum_{l=1}^p \conjug{\la_k}\la_l\scal{\vc x_k}{\vc x_l}$ \end{prop} \end{Lem} \begin{proof} Y'a qu'à développer en utilisant la linéarité à droite et la semi-linéarité à gauche du produit scalaire. \begin{demprop} \monitem $\dps\scal{\sum_{k=1}^p \la_k\vc x_k}{\sum_{l=1}^q\mu_l\vc y_l} =\sum_{k=1}^p \conjug{\la_k}\scal{\vc x_k}{\sum_{l=1}^q\mu_l\vc y_l} =\sum_{k=1}^p\sum_{l=1}^q \conjug{\la_k}\mu_l\scal{\vc x_k}{\vc y_l}$ \vspace*{3pt} \monitem Attention de ne pas oublier d'utiliser deux indices! $$ \norme[\Big]{\sum_{k=1}^p \la_k\vc x_k}^2 =\scal{\sum_{k=1}^p\la_k\vc x_k}{\sum_{l=1}^p\mu_l\vc x_l} =\sum_{k=1}^p\sum_{l=1}^p \conjug{\la_k}\la_l\scal{\vc x_k}{\vc x_l} $$ \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{NB} En particulier, dans un espace préhilbertien réel : $$ \norme{\vc x+\vc y+\vc z}^2= \norme{\vc x}^2+\norme{\vc y}^2+\norme{\vc z}^2+ 2\Scal xy+2\Scal yz+2\Scal zx $$ \end{NB} \begin{Th}[de Pythagore]\alaligne \begin{prop} \item Si $\vc u$ et $\vc v$ sont deux vecteurs \emph{orthogonaux}, on a \begin{equation} \norme{\vc u+\vc v}^2=\norme{\vc u}^2+\norme{\vc v}^2 \end{equation} % La réciproque est vraie dans un espace préhilbertien réel. \item Si la famille $(\vc v_k)_{1\leq k\leq p}$ est une famille \emph{orthogonale}, alors \begin{equation} \bigl\|\sum_{k=1}^p \vc v_k\bigr\|^2=\sum_{k=1}^p\norme{\vc v_k}^2 \end{equation} \end{prop} \end{Th} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem Cas réel : $\norme{\vc u+\vc v}^2 =\norme{\vc u}^2+2\Scal uv+\norme{\vc v}^2 =\norme{\vc u}^2+\norme{\vc v}^2$ si, et seulement si, $\Scal uv=0$.\\ Cas complexe : $\norme{\vc u+\vc v}^2=\norme{\vc u}^2+2\RE\Scal uv+\norme{\vc v}^2$ et $\Scal uv=0$ implique $\norme{\vc u+\vc v}^2=\norme{\vc u}^2+\norme{\vc v}^2$. \monitem Puisque les vecteurs sont orthogonaux deux à deux, $\scal{\vc v_k}{\vc v_l}=0$ pour $k\neq l$ et $$ \norme[\Big]{\sum_{k=1}^p\vc v_k}^2 =\sum_{k,l}\scal{\vc v_k}{\vc v_l} =\sum_{k=1}^p\norme{\vc v_k}^2 +\sum_{\substack{k,l=1\\k\neq l}}^p\scal{\vc v_k}{\vc v_l} =\sum_{k=1}^p\norme{\vc v_k}^2 $$ \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Famille orthogonale et famille libre]\alaligne Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est une famille libre. \end{Th} \begin{proof} Soit $(\vc v_k)_k$ une famille orthogonale de vecteurs non nuls; pour toute combinaison linéaire nulle $\sum_{k=1}^p\la_k\vc v_k=\vc 0$, on a, en utilisant la formule de Pythagore, $$ 0=\norme[\Big]{\sum_{k=1}^p \la_k \vc v_k}^2 =\sum_{k=1}^p\norme{\la_k\vc v_k}^2 =\sum_{k=1}^p\abs{\la}^2\norme{\vc v_k}^2 $$ ce qui montre que $\abs{\la_k}^2\norme{\vc v_k}^2=0$ pour tout $k\in\Intf1p$, et $\la_k=0$ puisque les vecteurs $\vc v_k$ sont tous non nuls. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Cor} Toute famille orthonormale est une famille libre. \end{Cor} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Procédé d'orthonormalisation de Schmidt}\alaligne %--------------------------------------------------------------------- Comment construire une famille orthonormale à partir d'une famille libre? C'est l'objet du procédé d'orthonormalisation d'Erhard Schmidt. \begin{Th}[]\mbox{} Si $(\vc f_k)_{k\geq1}$ est une suite libre d'un espace préhilbertien réel ou complexe, il existe une unique suite \emph{orthonormale} $(\vc u_k)_{k\geq1}$ telle que, pour tout entier $p\geq1$, \begin{prop} \item les espaces engendrés par les familles $(\vc f_1, \dots, \vc f_p)$ et $(\vc u_1, \dots, \vc u_p)$ sont identiques; \item $\scal{\vc f_p}{\vc u_p}>0$. \end{prop} \end{Th} \begin{proof} Par récurrence sur $p$. La propriété est vraie pour $p=1$. Posons $\vc u_1=\la\vc f_1$; puisque $0<\scal{\vc f_1}{\vc u_1}=\la\scal{\vc f_1}{\vc f_1}$, le scalaire $\la$ est $>0$, $1=\norme{\vc u_1}=\la\norme{\vc f_1}$ ce qui détermine $\la$. Ainsi $\vc u_1=\ra1{\norme{\vc f_1}}\vc f_1$. La propriété est héréditaire. Commençons par analyser la situation. Puisque les sous-espaces engendrés par $(\vc f_1,\dots,\vc f_p)$ et $(\vc u_1,\dots,\vc u_p)$ sont identiques, on peut poser \begin{equation} \vc u_{p+1}=\la\vc f_{p+1}+\sum_{k=1}^p \alpha_k\vc u_k \end{equation} L'orthogonalité de $\vc u_k$ avec $\vc u_{p+1}$ pour tout $k\in\Intf1p$ montre que \begin{multline} 0=\scal{\vc u_k}{\vc u_{p+1}} =\la\scal{\vc u_k}{\vc f_{p+1}} +\sum_{j=1}^p\alpha_j \scal{\vc u_k}{\vc u_j} \\ =\la\scal{\vc u_k}{\vc f_{p+1}}+\sum_{j=1}^p\alpha_j\delta_{k,j} =\la\scal{\vc u_k}{\vc f_{p+1}}+\alpha_k \end{multline} ce qui détermine $\alpha_k$ : $\alpha_k =-\la\scal{\vc u_k}{\vc f_{p+1}}$ et $$ \vc u_{p+1}=\la\vc f_{p+1} -\sum_{k=1}^p \la\scal{\vc u_k}{\vc f_{p+1}}\vc u_k=\la\vc v_{p+1} $$ où $\vc v_{p+1}=\vc f_{p+1} -\sum_{k=1}^p\scal{\vc u_k}{\vc f_{p+1}}\vc u_k$. D'autre part, $$ 0<\scal{\vc f_{p+1}}{\vc u_{p+1}} =\scal{\vc v_{p+1}+\sum_{k=1}^p\scal{\vc u_k}{\vc f_{p+1}}\vc u_k} {\vc u_{p+1}} =\scal{\vc v_{p+1}}{\vc u_{p+1}}=\la\norme{\vc v_{p+1}}^2 $$ Ainsi le scalaire $\la$ est $>0$, $\la=\ra1{\norme{\vc v_{p+1}}}$ puisque $\vc u_{p+1}$ est unitaire, et le vecteur $\vc u_{p+1}$ est unique. Reste à montrer, c'est la synthèse, que ce vecteur convient. En effet, $\vc v_{p+1}=\vc f_{p+1}-\sum_{k=1}^p\scal{\vc u_k}{\vc f_{p+1}}\vc u_k$ n'est pas nul, puisque la famille $(\vc u_1,\dots,\vc u_p,\vc f_{p+1})$ est libre, et est orthogonal, par construction, à $\vc u_1$,\dots, $\vc u_p$. \end{proof} %-------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection*{Algorithme de calcul de l'orthonormalisée} %---------------------------------------------------------------------- Le calcul effectif de l'orthonormalisée $(\vc u_k)_k$ d'une suite libre $(\vc f_k)_k$ s'effectue à l'aide de l'algorithme suivant : \begin{gather*} \vc u_1=\ra1{\norme{\vc f_1}}\vc f_1 \\ \qqs p\geq1,\quad \vc v_{p+1}=\vc f_{p+1} -\sum_{k=1}^p\scal{\vc u_k}{\vc f_{p+1}}\vc u_k\et \vc u_{p+1}=\ra1{\norme{\vc v_{p+1}}}\vc v_{p+1} \end{gather*} ou bien à l'aide de celui-ci, qui permet, en général, des calculs plus simples : \begin{prop} \item calcul de la suite orthogonale $(\vc v_k)_k$ : $$ \vc v_1=\vc f_1\et\qqs p\geq1,\quad \vc v_{p+1}=\vc f_{p+1} -\sum_{k=1}^p \ra{\scal{\vc v_k}{\vc f_{p+1}}}{\norme{\vc v_k}^2}\vc v_k $$ \item orthonormalisation de la suite $(\vc v_k)_k$ : $$ \qqs k\geq1,\quad \vc u_k=\ra1{\norme{\vc v_k}}\vc v_k $$ \end{prop} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Base orthonormale d'un sous-espace vectoriel de dimension finie} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Existence de base orthonormale]\alaligne Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace préhilbertien réel ou complexe, admet une base orthonormale. \end{Th} \begin{proof} L'orthonormalisée d'une base de $F$ répond à la question. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Cor} Les espaces euclidien et hermitien admettent des bases orthonormales. \end{Cor} Dans un sous-espace vectoriel de dimension finie rapporté à une base orthonormale $(\vc u_1,\dots,\vc u_p)$, les expressions des coordonnées d'un vecteur, de sa norme, du produit scalaire et de la distance de deux vecteurs, sont particulièrement simples : \begin{prop} \item expression des coordonnées de $\vc x$ : $\dps \vc x=\sum_{k=1}^p\scal{\vc u_k}{\vc x}\vc u_k =\sum_{k=1}^px_k\vc u_k$ \item expression de la norme : $\dps\norme{\vc x}^2=\sum_{k=1}^p\abs{x_k}^2 =\sum_{k=1}^p\abs{\scal{\vc u_k}{\vc x}}^2$ \item expression du produit scalaire : $\dps\Scal xy=\sum_{k=1}^p\conjug{x_k}y_k =\sum_{k=1}^p\conjug{\scal{\vc u_k}{\vc x}}\scal{\vc u_k}{\vc y}$ \item expression de la distance : $\dsp \dist(\vc x,\vc y)^2=\sum_{k=1}^p \abs{y_k-x_k}^2$ \end{prop} %-------------------------------------------------- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Projection orthogonale} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $E$ désigne encore et toujours un espace préhilbertien réel ou complexe muni d'un produit scalaire noté $\scal{\ }{\ }$; le corps des scalaires est noté $\K$. %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Orthogonal d'une partie} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Orthogonal d'une partie]\alaligne L'\emph{orthogonal} d'une partie non vide $A$ de $E$ est l'ensemble des vecteurs de $E$ qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de $A$: on le note $A^{\perp}$. \Reponse{$ A^{\perp}=\ens{\vc x\in E}{\qqs \vc a\in A,\ \Scal ax=0} $} \end{Df} \begin{Prop}[Propriétés de l'orthogonal]\alaligne L'orthogonal d'une partie possède les propriétés suivantes : \begin{prop} \item l'orthogonal de $\vc 0_E$ est $E$ et l'orthogonal de $E$ est $\{\vc0_E\}$; \item si $\vc a$ est un vecteur non nul, l'orthogonal de $\vc a$ est un hyperplan de $E$; \item pour toute partie $A$ non vide, $A^\perp$ est un sous-espace vectoriel de $E$; \item si $F$ est un sous-espace de $E$, $F\cap F^\perp$ est réduit à $\{\vc0\}$; \item si $F$ est un sous-espace vectoriel engendré par la famille $(\vc f_1, \dots, \vc f_p)$, l'orthogonal de $F$ est caractérisé par : \begin{equation} \vc x\in F^\perp\iff\qqs k\in\Intf1p,\quad\scal{\vc f_k}{\vc x}=0 \iff\vc x\in\Inter_{k=1}^p\{\vc f_k\}^\perp \end{equation} \end{prop} \end{Prop} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem Pour tout $\vc x$ de $E$, $\Scal x0=0$, soit $\vc x\perp\vc 0$. Ainsi $E\subset \{\vc 0\}^\perp$ et $E=\{\vc 0\}^\perp$. \\ Si $\vc x$ est orthogonal à $E$, $\vc x$ est, en particulier, orthogonal à lui-même; $\vc x$ est donc nul. Ainsi $E^\perp\subset \{\vc 0\}$ et $E^\perp=\{\vc 0\}$. \monitem Si $\vc a$ n'est pas nul, $\{\vc a\}^\perp=\ens{\vc x}{\Scal ax=0}=\ker\{\vc x\mapsto\Scal ax\}$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle; c'est donc un hyperplan. \monitem $A^\perp$ est l'intersection de tous les hyperplans $\{\vc a\}^\perp$ où $\vc a$ décrit $A$, c'est donc un sous-espace vectoriel. \monitem $\vc x\in F\cap F^\perp\implique \Scal xx=0$, soit $\vc x=\vc 0$. \monitem Les éléments de $F$ sont des combinaisons linéaires des vecteurs $\vc f_k$, et \begin{align*} \vc x\in F^\perp & \iff \qqs\puple\la\in\K^p,\quad 0=\scal{\vc x}{\sum_{k=1}^p\la_k\vc f_k} =\sum_{k=1}^p \la_k \scal{\vc x}{\vc f_k} \\ & \iff \qqs k\in\Intf1p,\quad \scal{\vc x}{\vc f_k}=0 \iff \vc x\in\Inter_{k=1}^p\{\vc f_k\}^\perp \end{align*} \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Supplémentaires orthogonaux, projecteurs orthogonaux} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Sous-espaces orthogonaux]\alaligne Deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ sont \emph{orthogonaux} si tous les vecteurs de $F$ sont orthogonaux à tous les vecteurs de $G$, \ie{} si $F\subset G^\perp$ ou bien si tous les vecteurs de $G$ sont orthogonaux à tous les vecteurs de $F$, \ie{} $G\subset F^\perp$. \end{Df} \begin{Th}[Caractérisation des supplémentaires orthogonaux]\alaligne Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels \emph{supplémentaires} dans $E$, les propositions suivantes sont équivalentes : \begin{prop} \item $F$ et $G$ sont orthogonaux; \item $F^\perp=G$; \item $G^\perp=F$. \end{prop} \end{Th} \begin{proof} ($ii$) et ($iii$) donnent ($i$). Tout vecteur $\vc x$ de $F^\perp$ se décompose suivant $F\oplus G$ en $\vc x=\vc y+\vc z$; or $\Scal xy=0$ ($\vc x\in F^\perp$ et $\vc y\in F$) et $\Scal zy=0$ ($\vc z\in G\subset F^\perp$ et $\vc y\in F$), ce qui impose $\Scal yy=0$ donc $\vc y=\vc 0$, et $\vc x=\vc z\in G$. Chère lectrice, cher lecteur, vous venez de démontrer que ($i$) implique ($ii$). Vous démontrerez de même que ($i$) implique ($iii$). \end{proof} %-------------------------------------------------- Dans ce cas, on dira que $F$ et $G$ sont \emph{supplémentaires orthogonaux} dans $E$, et les projecteurs associés sont qualifiés de \emph{projecteurs orthogonaux}. \begin{Exs}\alaligne L'hyperplan $\mcal{H}$ d'équation $x_1+x_2+x_3+x_4=0$ et la droite vectorielle dirigée par $\trans(1,1,1,1)$ sont supplémentaires orthogonaux dans $\R^4$ muni du produit scalaire canonique. Plus généralement, l'hyperplan $\mcal{H}$ d'équation $\sum_{j=1}^n a_j x_j=0$ et la droite $\mcal{D}=\R\,\trans\nuple a$ sont supplémentaires orthogonaux dans $\R^n$ muni de son produit scalaire naturel (canonique). Dans l'espace hermitien $\C^n$ muni de son produit scalaire naturel (canonique), l'hyperplan $\mcal{H}$ d'équation $\sum_{j=1}^n a_j x_j=0$ et la droite $\mcal{D}=\C\,\trans(\conjug{a_1},\dots,\conjug{a_n})$ sont supplémentaires orthogonaux. \end{Exs} \begin{Gen} Si $E=F_1\oplus\cdots\oplus F_p$ et si les sous-espaces $F_k$ sont orthogonaux deux à deux, la somme des sous-espaces $F_k$ est une \emph{somme directe orthogonale} de $E$. \end{Gen} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Théorème de la projection]\alaligne Si $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie $p$ d'un espace préhilbertien réel ou complexe $E$, alors \begin{prop} \item pour tout vecteur $\vc x$ de $ E$, il existe un unique vecteur de $F$ noté $p_F(\vc x)$ tel que $\vc x-p_F(\vc x)$ soit orthogonal à $F$; \item si $\puple{\vc u}$ est une base \emph{orthonormale} de $F$, on a \begin{equation} p_F(\vc x)=\sum_{k=1}^p\scal{\vc u_k}{\vc x}\vc u_k \end{equation} \item $E$ est somme directe orthogonale de $F$ et $F^\perp$, et $p_F$ est le projecteur orthogonal d'image $F$, \ie{} le projecteur sur $F$ parallèlement à $F^\perp$. \end{prop} \end{Th} \begin{proof} \begin{demprop}\alaligne \monitem \addtocounter{numdemprop}{1} et \textit{\roman{numdemprop}. } Appelons $(\vc u_1,\dots,\vc u_p)$ une base orthonormale de $F$ et considérons un vecteur $\vc y=\sum_{k=1}^p y_k\vc u_k$ de $F$. Alors \begin{align*} \vc x & -\vc y \in F^\perp = (\K\vc u_1\oplus\cdots\oplus\K\vc u_p)^\perp \iff\qqs j\in\Intf1p,\ (\vc x-\vc y)\perp\vc u_j \\ & \iff\qqs j,\ 0=\scal{\vc u_j}{\vc x-\vc y} =\scal{\vc u_j}{\vc x-\sum_{k=1}^py_k\vc u_k} =\scal{\vc u_j}{\vc x}-\sum_{k=1}^p y_k\delta_{k,j} =\scal{\vc u_j}{\vc x}-y_j \\ & \iff \vc y=\sum_{k=1}^p\scal{\vc u_k}{\vc x}\vc u_k=p_F(\vc x) \end{align*} \monitem Tout vecteur $\vc x$ de $E$ se décompose, de manière unique, en un élément $p_F(\vc x)$ de $F$ et un élément $\vc x-p_F(\vc x)$ de $F^\perp$; ainsi $E=F\oplus F^\perp$.\\ $p_F$ est le projecteur sur $F$, parallèlement à $F^\perp$; c'est donc le projecteur orthogonal de $E$ sur $F$. \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{NB} Avec les mêmes notations, $\vc x-p_F(\vc x)$ est le projeté orthogonal de $\vc x$ sur $F^\perp$, et $p_{F^\perp}=I_E-p_F$. \end{NB} \begin{Cor}[Existence de supplémentaire orthogonal]\alaligne Tout sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$ admet un supplémentaire orthogonal dans~$E$. \end{Cor} %-------------------------------------------------- \begin{NB} Si $F$ n'est pas de dimension finie, la somme directe $F\oplus F^\perp$ peut être différente de $E$. \end{NB} \subsubsection*{Projection orthogonale sur une droite, sur un hyperplan} La projection orthogonale sur la droite (vectorielle) $\mcal{D}$ dirigée par $\vc a$, est donnée par : \begin{equation} p_{\mcal{D}} : \vc x\in E\mapsto\ra{\Scal ax}{\norme{\vc a}^2}\vc a \end{equation} La projection orthogonale sur l'hyperplan $\mcal{H}$ orthogonal à $\vc a$, est donnée par : \begin{equation} p_{\mcal{H}}=I_E-p_{\mcal{D}} : \vc x\in E\mapsto \vc x-\ra{\Scal ax}{\norme{\vc a}^2}\vc a \end{equation} La réflexion (ou symétrie orthogonale) $r_{\mcal{H}}$ par rapport à l'hyperplan $\mcal{H}$, est donnée par \begin{equation} r_{\mcal{H}}=2p_{\mcal{H}}-I_E : \vc x\in E\mapsto 2\ra{\Scal ax}{\norme{\vc a}^2}\vc a-\vc x \end{equation} \subsubsection*{Interprétation géométrique de l'orthonormalisation de Schmidt} En notant $F_p$ le sous-espace engendré par la famille $(\vc f_1, \dots, \vc f_p)$, ou engendré par la famille orthonormale $(\vc u_1,\dots, \vc u_p)$, on peut écrire \begin{equation} \vc v_{p+1}=\vc f_{p+1}-\sum_{k=1}^p\scal{\vc u_k}{\vc f_{p+1}}\vc u_k=\vc f_{p+1}-p_{F_p}(\vc f_{p+1}) =p_{F_p^\perp}(\vc f_{p+1}) \end{equation} et $\vc v_{p+1}$ s'interprète comme la projection orthogonale de $\vc f_{p+1}$ sur $F_p^\perp$. %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Distance d'un vecteur à un sous-espace de dimension finie} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Distance à un sous-espace]\alaligne Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et $\vc x$ un vecteur de $E$, on pose : \begin{equation} \dist(\vc x,F)=\inf_{\vc y\in F}\dist(\vc x,\vc y) =\inf_{\vc y\in F}\norme{\vc y-\vc x} \end{equation} Ce nombre existe puisqu'il est la borne inférieure d'une partie non vide de $\intfo0{+\infty}$; il est appelé \emph{distance de $\vc x$ à $F$}. \end{Df} \begin{Th}[Expression de la distance à un sous-espace]\alaligne Si $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension \emph{finie} de~$E$, \begin{prop} \item l'application $\vc y\mapsto\dist(\vc x,\vc y)=\norme{\vc y-\vc x}$ admet un minimum global strict sur~$F$, atteint en~$p_F(\vc x)$; \item $\dist(\vc x,F)=\dist\bigl(\vc x,p_F(\vc x)\bigr)\et \dist^2(\vc x,F)=\norme{\vc x}^2-\norme{p_V(\vc x)}^2 =\scal{\vc x-p_F(\vc x)}{\vc x}$. \end{prop} \end{Th} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem Considérons un vecteur $\vc y$ de $F$ distinct de $p_F(\vc x)$; $\vc x-p_F(\vc x)$ est orthogonal à $F$, donc en particulier à $\vc y-p_F(\vc x)$ et le théorème de Pythagore donne \begin{equation} \dist^2(\vc x,\vc y) =\dist^2(\vc x,p_F(\vc x))+\dist^2(p_F(\vc x),\vc y) >\dist^2(\vc x,p_F(\vc x)) \end{equation} \monitem La question précédente montre que $\ens{\dist(\vc x,\vc y)}{\vc y\in F}$ possède un unique plus petit élément à savoir $\dist(\vc x,p_F(\vc x))$; on peut écrire : \begin{align*} \dist^2(\vc x,F) & = \norme{\vc x-p_F(\vc x)}^2=\norme{\vc x}^2-\norme{p_F(\vc x)}^2 \hfill \text{ relation de Pythagore} \\ & = \scal{\vc x-p_F(\vc x)}{\vc x-p_F(\vc x)} =\scal{\vc x-p_F(\vc x)}{\vc x} \hfill \text{ car $p_F(\vc x)\perp(\vc x-p_F(\vc x))$} \end{align*} \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Projection et application lipschitzienne]\alaligne $p_F$ est une application lipschitzienne de rapport $1$, \ie \begin{equation} \qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\quad \norme{p_F(\vc y)-p_F(\vc x)}\leq\norme{\vc y-\vc x} \end{equation} \end{Th} \begin{proof} $\norme{p_F(\vc x)}^2=\norme{\vc x}^2-\dist^2(\vc x,F) \leq\norme{\vc x}^2$ et la linéarité de $p_F$ donne le résultat. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{NB} Les propriétés de ce paragraphe se généralisent à un sous-espace vectoriel $F$ qui admet un supplémentaire orthogonal dans $E$. \end{NB} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Inégalité de Bessel} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Inégalité de Bessel]\alaligne Si $(u_1, \dots, u_p)$ est une famille \emph{orthonormale} de $E$ et $\vc x$~un vecteur de $E$, alors : \begin{equation} \sum_{k=1}^p\abs{\scal{\vc u_k}{\vc x}}^2\leq\norme{\vc x}^2 \end{equation} % Si $(\vc u_k)_{k\in\N}$ est une suite libre de $E$ et $\vc x$ un vecteur de $E$, alors : \begin{equation} \bigl(\scal{\vc u_k}{\vc x}\bigr)_k\in\ell^2_{\N}(\C)\quad\et\quad \sum_{k=0}^{+\infty}\abs{\scal{\vc u_k}{\vc x}}^2\leq\norme{\vc x}^2 \end{equation} \end{Th} \begin{proof} Notons $F_p$ le sous-espace vectoriel engendré par $\puple{\vc u}$; la~projection de $\vc x$ sur $F_p$ donne $$ \norme{p_{F_p}(\vc x)}^2 =\norme[\Big]{\sum_{k=1}^p\scal{\vc u_k}{\vc x}\,\vc u_k}^2 =\sum_{k=1}^p\abs{\scal{\vc u_k}{\vc x}}^2\leq\norme{\vc x}^2 $$ L'inégalité précédente montre que les sommes partielles de la série de terme général $\sum\abs{\scal{\vc u_k}{\vc x}}^2$ sont majorées par $\norme{\vc x}^2$; la série est donc convergente (elle est à termes positifs) et sa somme est majorée par $\norme{\vc x}^2$. \end{proof} %-------------------------------------------------- %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Séries de Fourier, le retour} %--------------------------------------------------------------------- La famille $(e_k : t\mapsto e^{ikt})_{k\in\Z}$ est une famille orthonormale pour le produit scalaire hermitien de l'espace $\mcal{C}_{2\pi}$ des fonctions continues $2\pi$-périodiques $\scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conjug{f(t)}g(t)\,dt$ Les coefficients exponentiels de Fourier $c_k(f)$ sont donnés par $c_k(f)=\scal{e_k}f$. L'espace $\mcal{T}_n$ des polynômes trigonométriques de degré au plus $n$ admet la famille des $e_k$ pour $k\in\Intf{-n}n$ pour base orthonormale. La somme partielle de Fourier $S_n(f)=\sum_{k=-n}^n c_k(f)e_k =\sum_{k=-n}^n\scal{e_k}f e_k$ s'interprète comme la projection orthogonale de $f$ sur $\mcal{T}_n$; $S_n(f)$ est donc le polynôme trigonométrique de degré au plus $n$ de meilleure approximation, et \begin{prop} \item $\dps \norme[\big]{S_n(f)}^2=\norme[\Big]{\sum_{k=-n}^nc_k(f) e_k}^2 =\sum_{k=-n}^n\abs{c_k(f)}^2 \hfill \text{relation de Pythagore;}$ \item $\dps \norme[\big]{f-S_n(f)}^2=\norme[\big]{f}^2-\norme[\big]{S_n(f)}^2 \hfill \text{relation de Pythagore;}$ \item $\dps \norme[\big]{S_n(f)}^2=\sum_{k=-n}^n\abs{c_k}^2 \leq\norme[\big]{f}^2=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs{f}^2 \hfill \text{inégalité de Bessel.}$ \end{prop} Puisque $(S_n(f))_n$ tend vers $f$ pour la norme de la convergence en moyenne quadratique, la suite $(\norme[\big]{f-S_n(f)}^2)_n$, tend vers 0, soit $$ \norme[\big]{f-S_n(f)}^2=\norme[\big]{f}^2-\norme[\big]{S_n(f)}^2\tend0 $$ ce qui donne l'égalité de Bessel-Parseval : $$ \lim_n\,\norme[\big]{S_n(f)}^2=\norme[\big]{f}^2 \text{ soit } \abs{c_0}^2+\sum_{k=1}^{\infty}(\abs{c_k}^2+\abs{c_{-k}}^2) =\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs{f}^2 $$