Retour

evcomplt.tex

Télécharger le fichier
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Espaces vectoriels, compléments}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\minitoc
\newpage
 
 
$\K$ désigne l'un des corps $\R$ ou $\C$; $E$ et $F$ sont des
$\K$-espaces vectoriels;
on~note $I_E$ (resp. $I_F$) l'application identique de $E$ (resp.
de $F$).
 
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Somme directe}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
Dans ce paragraphe, $q$ est un entier au moins égal à 2, et $E_1$,
$E_2$, \dots, $E_q$ désignent des $\K$-sous-espaces vectoriels de $E$.
 
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Somme}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Df}[Somme de sous-espaces vectoriels]\alaligne
 
 On note $\dsp\sum_{i=1}^q E_i$ l'ensemble
$\dsp\ens[\Big]{\sum_{i=1}^q \vc x_i}{(\vc x_1,\dots,\vc
x_q)\in E_1\times\cdots\times E_q}$;\\
$\sum_{i=1}^q E_i$ est appelé \emph{somme} des
sous-espaces vectoriels $E_i$.
\end{Df}
 
\begin{NBs}\alaligne
 
 $\sum_{i=1}^q E_i$ est l'image de l'application linéaire $\Psi$
$$
\Psi : (\vc x_1,\dots,\vc x_q)\in E_1\times\cdots\times E_q \mapsto
\vc x_1+\cdots+\vc x_q
$$
  Ainsi, $\sum_{i=1}^q E_i$ est un $\K$-sous-espace vectoriel de $E$ et $\Psi :
E_1\times\cdots\times E_q \to\sum_{i=1}^q E_i =\im\Psi$ est une
application linéaire \emph{surjective}.
 
 Si $\mathcal{G}_i$ est une famille génératrice de $E_i$,
$\bigcup_{i=1}^q\mathcal{G}_i$ est une famille génératrice de $\sum_{i=1}^q E_i$.
\end{NBs}
 
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Somme directe}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Df}[Somme directe de sous-espaces vectoriels]\alaligne
 
 La somme $\sum_{i=1}^q E_i$ est une \emph{somme directe} si, et
seulement si, l'application linéaire $\Psi$
$$
\Psi : (\vc x_1,\dots,\vc x_q) \mapsto\vc x_1+\cdots+\vc x_q
$$
est un \emph{isomorphisme} d'espaces vectoriels entre $E_1\times\cdots\times
E_q$ et $\sum_{i=1}^q E_i$; dans ce cas, la somme est notée
$\dsp\bigoplus_{i=1}^q E_i$.
\end{Df}
 
\begin{Th}[Caractérisation d'une somme directe]\alaligne
 
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
\begin{prop}
 \item la somme $\sum_{i=1}^q E_i$ est directe;
 \item la seule décomposition de $\vc0_E$ dans $\sum_{i=1}^q E_i$ est
$\vc 0_E=\sum_{i=1}^q\vc 0_{E_i}$;
 \item $\qqs\vc x\in\sum_{i=1} ^q E_i,\ \exists!(\vc x_1,\dots,\vc
x_q)\in E_1\times\cdots\times E_q,\ \vc x=\sum_{i=1}^q\vc x_i$
 \item $\qqs k\in\Intf1{q-1},\ \bigl(\sum_{i=1}^k E_i\bigr)\cap E_{k+1}
= \{\vc0_E\}$
\end{prop}
\end{Th}
 
\begin{proof}
Puisque $\Psi$ est une application linéaire surjective, $\Psi$ est un
isomorphisme si, et seulement si, $\Psi$ est injective.\\
%
$(ii)\iff \ker\Psi=\{\vc 0_E\}\iff\Psi\text{ est injective}\iff (i)$.\\[1ex]
%
$(iii)\iff\Psi\text{ est bijective}\iff (i)$.\\[1ex]
%
\hspace*{-3em}$(i)\Longrightarrow(\romannumeral4)$
Soient $k\in\Intf1{q-1}$ et $\vc x\in
\bigl(\sum_{i=1}^k E_i\bigr)\cap E_{k+1}$; il existe donc $(\vc
x_1,\dots,\vc x_k)\in E_1\times\cdots\times E_k$ tel que $\vc x=\vc
x_1+\cdots+\vc x_k$, {}\ie
$$
\Psi(\vc x_1,\dots,\vc x_k,\vc0_{E_{k+1}},\dots,\vc0_{E_q})=
\Psi(\vc0_{E_1},\dots,\vc0_{E_k},\vc x,\vc0_{E_{k+2}},\dots,\vc0_{E_q})
$$
et, puisque $\Psi$ est une application injective
$$
(\vc x_1,\dots,\vc x_k,\vc0_{E_{k+1}},\dots,\vc0_{E_q})=
(\vc0_{E_1},\dots,\vc0_{E_k},\vc x,\vc0_{E_{k+2}},\dots,\vc0_{E_q})
$$
ce qui montre que $\vc x=\vc0_E$.\\[1ex]
%
\hspace*{-3em}$(\romannumeral4)\Longrightarrow (i)$
Supposons l'application $\Psi$ non injective; il existe alors $(\vc
x_1,\dots,\vc x_q)\in\ker\Psi\setminus\{\vc0_E\}$, {}\ie{} $\vc
x_1+\cdots+\vc x_q=\vc 0_E$ avec $(\vc x_i)_{1\leq i\leq q}$ non tous
nuls. On pose $i_0=\max\ens{i}{\vc x_i\neq\vc 0}$; $i_0$ est un entier
au moins égal à 2 et
$$
\vc x_{i_0}=-(\vc x_1+\cdots+\vc x_{i_0-1})\in
E_{i_0}\cap\Bigl(\sum_{i=1}^{i_0-1} E_i\Bigr)
$$
ce qui est en contradiction avec l'hypothèse; ainsi $\ker\Psi$ est
réduit à $\{\vc0_E \}$
et $\Psi$~est une application injective.
\end{proof}
%--------------------------------------------------
 
%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Supplémentaire}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Df}[Sous-espace supplémentaire]\alaligne
 
 Deux sous-espaces vectoriels $V$ et $W$ de $E$ sont dits \emph{supplémentaires}
si, et seulement si, $E$ est la somme directe de $V$ et $W$, soit
$$E=V\oplus W$$
\end{Df}
 
\begin{Th}[Caractérisation des supplémentaires]\alaligne
 
 Les propriétés suivantes sont équivalentes
\begin{prop}
 \item $V$ et $W$ sont supplémentaires (dans $E$);
 \item tout $\vc x$ de $E$ s'écrit de manière unique $\vc x=\vc v+\vc
w$ avec $(\vc v,\vc w)\in V\times W$;
 \item $V+W=E$ et $V\cap W=\{\vc 0_E\}$.
\end{prop}
\end{Th}
 
\begin{proof}
 C'est la démonstration précédente pour $q=2$ et $V+W=E$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------
 
\begin{Ex}
 Si $P$ est un polynôme de $\K[X]$ de degré $n+1$, l'ensemble
$(P)=\ens{AP}{A\in\K[X]}$ des multiples de $P$ 
et l'ensemble $\K_n[X]$ des polynômes de degré au plus $n$, sont
supplémentaires dans $\K[X]$.
$$
\reponse{$\K[X]=(P)\oplus\K_n[X]\qquad\text{ avec $\deg P=n+1$}$}
$$
\end{Ex}
 
\begin{proof}
 $(P)$ et $\K_n[X]$ sont des sous-espaces vectoriels de $\K[X]$ et
la division euclidienne
des polynômes donne, pour tout $B\in