%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Espaces vectoriels, compléments} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \minitoc \newpage $\K$ désigne l'un des corps $\R$ ou $\C$; $E$ et $F$ sont des $\K$-espaces vectoriels; on~note $I_E$ (resp. $I_F$) l'application identique de $E$ (resp. de $F$). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Somme directe} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dans ce paragraphe, $q$ est un entier au moins égal à 2, et $E_1$, $E_2$, \dots, $E_q$ désignent des $\K$-sous-espaces vectoriels de $E$. %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Somme} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Somme de sous-espaces vectoriels]\alaligne On note $\dsp\sum_{i=1}^q E_i$ l'ensemble $\dsp\ens[\Big]{\sum_{i=1}^q \vc x_i}{(\vc x_1,\dots,\vc x_q)\in E_1\times\cdots\times E_q}$;\\ $\sum_{i=1}^q E_i$ est appelé \emph{somme} des sous-espaces vectoriels $E_i$. \end{Df} \begin{NBs}\alaligne $\sum_{i=1}^q E_i$ est l'image de l'application linéaire $\Psi$ $$ \Psi : (\vc x_1,\dots,\vc x_q)\in E_1\times\cdots\times E_q \mapsto \vc x_1+\cdots+\vc x_q $$ Ainsi, $\sum_{i=1}^q E_i$ est un $\K$-sous-espace vectoriel de $E$ et $\Psi : E_1\times\cdots\times E_q \to\sum_{i=1}^q E_i =\im\Psi$ est une application linéaire \emph{surjective}. Si $\mathcal{G}_i$ est une famille génératrice de $E_i$, $\bigcup_{i=1}^q\mathcal{G}_i$ est une famille génératrice de $\sum_{i=1}^q E_i$. \end{NBs} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Somme directe} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Somme directe de sous-espaces vectoriels]\alaligne La somme $\sum_{i=1}^q E_i$ est une \emph{somme directe} si, et seulement si, l'application linéaire $\Psi$ $$ \Psi : (\vc x_1,\dots,\vc x_q) \mapsto\vc x_1+\cdots+\vc x_q $$ est un \emph{isomorphisme} d'espaces vectoriels entre $E_1\times\cdots\times E_q$ et $\sum_{i=1}^q E_i$; dans ce cas, la somme est notée $\dsp\bigoplus_{i=1}^q E_i$. \end{Df} \begin{Th}[Caractérisation d'une somme directe]\alaligne Les propriétés suivantes sont équivalentes : \begin{prop} \item la somme $\sum_{i=1}^q E_i$ est directe; \item la seule décomposition de $\vc0_E$ dans $\sum_{i=1}^q E_i$ est $\vc 0_E=\sum_{i=1}^q\vc 0_{E_i}$; \item $\qqs\vc x\in\sum_{i=1} ^q E_i,\ \exists!(\vc x_1,\dots,\vc x_q)\in E_1\times\cdots\times E_q,\ \vc x=\sum_{i=1}^q\vc x_i$ \item $\qqs k\in\Intf1{q-1},\ \bigl(\sum_{i=1}^k E_i\bigr)\cap E_{k+1} = \{\vc0_E\}$ \end{prop} \end{Th} \begin{proof} Puisque $\Psi$ est une application linéaire surjective, $\Psi$ est un isomorphisme si, et seulement si, $\Psi$ est injective.\\ % $(ii)\iff \ker\Psi=\{\vc 0_E\}\iff\Psi\text{ est injective}\iff (i)$.\\[1ex] % $(iii)\iff\Psi\text{ est bijective}\iff (i)$.\\[1ex] % \hspace*{-3em}$(i)\Longrightarrow(\romannumeral4)$ Soient $k\in\Intf1{q-1}$ et $\vc x\in \bigl(\sum_{i=1}^k E_i\bigr)\cap E_{k+1}$; il existe donc $(\vc x_1,\dots,\vc x_k)\in E_1\times\cdots\times E_k$ tel que $\vc x=\vc x_1+\cdots+\vc x_k$, {}\ie $$ \Psi(\vc x_1,\dots,\vc x_k,\vc0_{E_{k+1}},\dots,\vc0_{E_q})= \Psi(\vc0_{E_1},\dots,\vc0_{E_k},\vc x,\vc0_{E_{k+2}},\dots,\vc0_{E_q}) $$ et, puisque $\Psi$ est une application injective $$ (\vc x_1,\dots,\vc x_k,\vc0_{E_{k+1}},\dots,\vc0_{E_q})= (\vc0_{E_1},\dots,\vc0_{E_k},\vc x,\vc0_{E_{k+2}},\dots,\vc0_{E_q}) $$ ce qui montre que $\vc x=\vc0_E$.\\[1ex] % \hspace*{-3em}$(\romannumeral4)\Longrightarrow (i)$ Supposons l'application $\Psi$ non injective; il existe alors $(\vc x_1,\dots,\vc x_q)\in\ker\Psi\setminus\{\vc0_E\}$, {}\ie{} $\vc x_1+\cdots+\vc x_q=\vc 0_E$ avec $(\vc x_i)_{1\leq i\leq q}$ non tous nuls. On pose $i_0=\max\ens{i}{\vc x_i\neq\vc 0}$; $i_0$ est un entier au moins égal à 2 et $$ \vc x_{i_0}=-(\vc x_1+\cdots+\vc x_{i_0-1})\in E_{i_0}\cap\Bigl(\sum_{i=1}^{i_0-1} E_i\Bigr) $$ ce qui est en contradiction avec l'hypothèse; ainsi $\ker\Psi$ est réduit à $\{\vc0_E \}$ et $\Psi$~est une application injective. \end{proof} %-------------------------------------------------- %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Supplémentaire} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Sous-espace supplémentaire]\alaligne Deux sous-espaces vectoriels $V$ et $W$ de $E$ sont dits \emph{supplémentaires} si, et seulement si, $E$ est la somme directe de $V$ et $W$, soit $$E=V\oplus W$$ \end{Df} \begin{Th}[Caractérisation des supplémentaires]\alaligne Les propriétés suivantes sont équivalentes \begin{prop} \item $V$ et $W$ sont supplémentaires (dans $E$); \item tout $\vc x$ de $E$ s'écrit de manière unique $\vc x=\vc v+\vc w$ avec $(\vc v,\vc w)\in V\times W$; \item $V+W=E$ et $V\cap W=\{\vc 0_E\}$. \end{prop} \end{Th} \begin{proof} C'est la démonstration précédente pour $q=2$ et $V+W=E$. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Ex} Si $P$ est un polynôme de $\K[X]$ de degré $n+1$, l'ensemble $(P)=\ens{AP}{A\in\K[X]}$ des multiples de $P$ et l'ensemble $\K_n[X]$ des polynômes de degré au plus $n$, sont supplémentaires dans $\K[X]$. $$ \reponse{$\K[X]=(P)\oplus\K_n[X]\qquad\text{ avec $\deg P=n+1$}$} $$ \end{Ex} \begin{proof} $(P)$ et $\K_n[X]$ sont des sous-espaces vectoriels de $\K[X]$ et la division euclidienne des polynômes donne, pour tout $B\in