%---------------------------------------------------- % Diverses macros pour l'utilisation de TeX %---------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- % Typographie %-------------------------------------------------- \newcommand{\CS}{\makebox[0cm][r]{$\boxed{\Longleftarrow}$\hspace{1em}}} % condition suffisante, entourée dans une boîte et placée % à l'extérieur du texte \newcommand{\CN}{\makebox[0cm][r]{$\boxed{\Longrightarrow}$\hspace{1em}}} % condition nécessaire, entourée dans une boîte et placée % à l'extérieur du texte \newcommand{\Implique}[2]% {\vspace{1ex}\hspace*{-5em}% $({\romannumeral#1})\implique({\romannumeral#2})$\hspace{1em}} % pour écrire (i) => (ii) à l'extérieur du texte \newcommand{\fImplique}[2]% {\vspace{1ex}\hspace*{-5em}% {\fbox{$({\romannumeral#1})\implique({\romannumeral#2})$}\hspace{1em}}} % pour écrire la même chose entouré d'une boîte \newcommand{\Iff}[2]% {\vspace{1ex}\hspace*{-5em}% $({\romannumeral#1})\iff({\romannumeral#2})$\hspace{1em}} % pour écrire (i) <=> (ii) à l'extérieur du texte \newcommand{\fIff}[2]% {\vspace{1ex}\hspace*{-5em}% {\fbox{$({\romannumeral#1})\iff({\romannumeral#2})$}\hspace{1em}}} % pour écrire la même chose entouré d'une boîte \newlength{\oldfboxsep} \newcommand{\reponse}[2][Bcenter]{% \setlength{\oldfboxsep}{\fboxsep}% \setlength{\fboxsep}{7pt}% \shadowbox{% \begin{#1}#2\end{#1}% }% \setlength{\fboxsep}{\oldfboxsep}% } % entourage ombré d'une expression (centrée par défaut) \newcommand{\Reponse}[2][Bcenter]{% \setlength{\oldfboxsep}{\fboxsep}% \setlength{\fboxsep}{7pt}% \begin{center} \shadowbox{% \begin{#1}#2\end{#1}% }% \end{center} \setlength{\fboxsep}{\oldfboxsep}% } % entourage centré et ombré d'une expression (centrée par défaut) \newenvironment{Bminipage}% {\begin{Sbox}\begin{minipage}}% {\end{minipage}\end{Sbox}\shadowbox{\TheSbox}} \newcommand{\alaligne}{\mbox{}\hspace*{\fill}} % pour aller à la ligne dans un environnement \newcommand{\DP}{\string :} % pour éviter le carctère actif : %-------------------------------------------------- % Entête de documents %-------------------------------------------------- \newcommand{\entetespe}% { \parindent 0pt \textsc{Lycée Condorcet \hfill PC \oldstylenums{1998}-\oldstylenums{1999}\\ Lens} \vskip -3mm \rule{\linewidth}{0.1mm}% } \newcommand{\entetesup}% { \parindent 0pt \textsc{Lycée Condorcet \hfill PCSI \oldstylenums{1998}-\oldstylenums{1999}\\ Lens} \vskip -3mm \rule{\linewidth}{0.1mm}% } \newcommand{\entetecyclo}% { \parindent 0pt \textsc{Cyclos Randonneurs Basséens \hfill \oldstylenums{1997}} \vskip -3mm \rule{\linewidth}{0.1mm}% } %-------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- % Environnement PROPOSITION % % énumère une liste de propositions numérotées par des chiffres romains italiques % pas d'espacement entre les diverses propositions % JLQ le 28/01/94 %-------------------------------------------------- \newenvironment{prop} {\begin{enumerate} \renewcommand{\theenumi}{\roman{enumi}} \renewcommand{\labelenumi}{$(\theenumi)$} \parsep=0pt\itemsep=0pt\parskip=0pt\topsep=0pt\partopsep=0pt % \setlength{\leftmargini}{0mm} } {\end{enumerate}} %---------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- % Environnement pour la démonstration d'une proposition %-------------------------------------------------- \newcounter{numdemprop} \newenvironment{demprop}[0]% {\setcounter{numdemprop}{0}\setlength{\topsep}{0pt} \begin{trivlist}} {\end{trivlist}} \newcommand{\monitem}{\addtocounter{numdemprop}{1}\item[]\hspace*{-2cm} \makebox[2cm][r]{$(\roman{numdemprop})$ }} %-------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- % Quelques raccourcis ... %-------------------------------------------------- \newcommand{\mcal}{\mathcal} \newcommand{\mrm}{\mathrm} \newcommand{\dsp}{\displaystyle} \newcommand{\dps}{\displaystyle} % Les grecs ------------------------------ \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\beps}{\boldsymbol{\varepsilon}} \newcommand{\vphi}{\varphi} \newcommand{\bphi}{\boldsymbol{\varphi}} \newcommand{\bpsi}{\boldsymbol{\psi}} \newcommand{\la}{\lambda} \newcommand{\bla}{\boldsymbol{\lambda}} %---------------------------------------- \newcommand{\ra}{\frac} % rapport \newcommand{\dra}{\dfrac} % rapport en displaystyle \newcommand{\qqs}{\forall} % quel que soit ... \newcommand{\implique}{\;\Longrightarrow\;} \newcommand{\et}{\mbox{ et }} \newcommand{\ie}{{}{\emph{i.e.}}} \newcommand{\cad}{\hbox{c.-\`a-d.}} %---------------------------------------------------------- % Les inégalités %---------------------------------------------------------- \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} %-------------------------------------------------- % Ensembles, opérateurs ensemblistes, suites %-------------------------------------------------- \newcommand{\union}{\mathop{\cup}\nolimits} \newcommand{\Union}{\mathop{\bigcup}\limits} \newcommand{\inter}{\mathop{\cap}\nolimits} \newcommand{\Inter}{\mathop{\bigcap}\limits} \newcommand{\Sum}{\mathop{\sum}\limits} \newcommand{\card}{\mathop{\mathrm{card}}\nolimits} % cardinal d'un ensemble \newcommand{\ens}[3][]{#1\{ #2\mathbin{/}\ #3 #1\}} % définit un ensemble { x / P(x) } \newcommand{\sym}[1][n]{\mathfrak{S}_{#1}} % groupe symétrique d'ordre n \DeclareMathSymbol{\complement}{\mathord}{AMSa}{"7B} % complément d'un ensemble \newcommand{\prive}{\setminus} % "E\A" se code $E\prive A$, "privé de" \newcommand{\rond}{\circ} % symbole de composition des applications \newcommand{\combinaison}[2]{\mbox{\large\bf\sf C}_{#1}^{#2}} % définit les coefficients binomiaux \newcommand{\comb}{\combinaison} % n-uplets-------------------------------------------------- \newcommand{\nuple}[2][]{#1( #2_1,\ldots,#2_n #1)} % n-uplet (x_1,...,x_n) avec x=#2 et parenthèses extensibles \newcommand{\puple}[2][]{#1( #2_1,\ldots,#2_p #1)} % p-uplet (x_1,...,x_p) avec x=#2 et parenthèses extensibles \newcommand{\Nuple}[3][]{#1( #2_1,\ldots,#2_#3 #1)} % uplet (x_1,...,x_q) avec x=#2, q=#3 et parenthèses extensibles % suites-------------------------------------------------- \newcommand{\suite}[2][]{#1( #2_n #1)_n} % suite (x_n)_n avec x=#2 et parenthèses extensibles \newcommand{\ssuite}[3][]{#1( #2_#3 #1)_n} % suite (x_q)_q avec x=#2, q=#3 et parenthèses extensibles \newcommand{\Suite}[2][]{#1( \vc{#2}_n #1)_n} % suite de vecteurs (x_n)_n avec x=#2 et parenthèses extensibles \newcommand{\SSuite}[3][]{#1( \vc{#2}_#3 #1)_n} % suite de vecteurs (x_q)_q avec x=#2, q=#3 et parenthèses extensibles % séries-------------------------------------------------- \newcommand{\serie}[1]{\sum#1_n} \newcommand{\Serie}[2]{\sum(#1_n+#2_n)} %-------------------------------------------------- % Les ensembles de nombres %-------------------------------------------------- \newcommand{\N}{\mathsf{N}} \newcommand{\Z}{\mathsf{Z}} \newcommand{\Q}{\mathsf{Q}} \newcommand{\R}{\mathsf{R}} \newcommand{\C}{\mathsf{C}} \newcommand{\K}{\mathsf{K}} \newcommand{\U}{\mathsf{U}} \newcommand{\Nbb}{\mathbb{N}} \newcommand{\Zbb}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Qbb}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Rbb}{\mathbb{R}} \newcommand{\Cbb}{\mathbb{C}} \newcommand{\Kbb}{\mathbb{K}} \newcommand{\Ubb}{\mathbb{U}} %-------------------------------------------------- % Nombres complexes %-------------------------------------------------- \newcommand{\conjug}[1]{\overline{#1}} % conjuguaison \newcommand{\IM}{\mathop{\Im\mathrm{m}}\nolimits} % partie imaginaire \newcommand{\RE}{\mathop{\Re\mathrm{e}}\nolimits} % partie réelle %-------------------------------------------------- % Limites %-------------------------------------------------- \def\buildrel#1_#2^#3{\mathrel{\mathop{\kern 0pt#1}\limits_{#2}^{#3}}} % définit une macro pour mettre #2 en dessous et #3 au dessus de #1 \newcommand{\tend}[1][n]{\buildrel{\longrightarrow}_{#1}^{}} % -> avec un "n" dessous par défaut \newcommand{\tendpas}[1][n]{\buildrel{\not\longrightarrow}_{#1}^{}} % /-> avec un "n" dessous par défaut \newcommand{\equivalent}[1][n]{\buildrel{\sim}_{#1}^{}} % le signe "équivalent" avec un "n" dessous par défaut %-------------------------------------------------- % Dérivée et intégrale %-------------------------------------------------- \DeclareMathOperator{\D}{D} % pour la dérivation \newcommand{\sub}[1]{\sigma_{\vc#1}} % subdivision \newcommand{\intd}{\int\!\!\!\int} % intégrale double \newcommand{\intdepi}{\ra1{2\pi}\int_0^{2\pi}} % intégrale entre 0 et 2\pi \newcommand{\intab}{\int_{\intf ab}} % intégrale entre $a$ et $b$ \newcommand{\entre}[3][\big]{#1\rvert_{#2}^{#3}} % accroissement d'une fonction entre #2 et #3 \newcommand{\del}[2]{\ra{\partial#1}{\partial#2}} \newcommand{\Del}[3]{\ra{\partial^#1#2}{\partial#3^#1}} \newcommand{\dd}[2]{\ra{d#1}{d#2}} %-------------------------------------------------- % Définition des vecteurs %-------------------------------------------------- \newcommand{\Vect}[1]{\smash{\overrightarrow{\mathstrut#1}}} % vecteur avec une flèche de hauteur constante \newcommand{\vect}[1]{\smash{\overrightarrow{#1}}} % vecteur avec une flèche \newcommand{\vc}[1]{\mathbf{#1}} % vecteur écrit en gras \newcommand{\bvc}[1]{\boldsymbol{#1}} % vecteur écrit en gras, cas des grecs \newcommand{\grad}{\mathop{\vect{\mathrm{grad}}}\nolimits} % le vecteur gradient %-------------------------------------------------- % Diverses normes %-------------------------------------------------- \newcommand{\abs}[2][]% valeur absolue... {#1\lvert #2 #1\rvert} \newcommand{\norme}[2][]% norme d'une fonction {#1\lVert #2 #1\rVert} \newcommand{\normeun}[2][]% norme d'une fonction {#1\lVert #2 #1\rVert_1} \newcommand{\normu}{\normeun} \newcommand{\normedeux}[2][]% norme d'une fonction {#1\lVert #2 #1\rVert_2} \newcommand{\normd}{\normedeux} \newcommand{\normeinfinie}[2][]% norme d'une fonction {#1\lVert #2 #1\rVert_\infty} \newcommand{\normi}{\normeinfinie} \newcommand{\Norme}[1][N]{\mathcal{#1}} \DeclareMathOperator{\dist}{d} % distance \newcommand{\Bo}[2]{\mathcal{B}(\vc{#1},#2)} % Boule ouverte de centre #1 et de rayon #2 \newcommand{\Bf}[2]{\mathcal{B}_f(\vc{#1},#2)} % Boule fermée de centre #1 et de rayon #2 %-------------------------------------------------- % Produit scalaire % JLQ le 29/06/98 %-------------------------------------------------- \newcommand{\scal}[3][]{#1\langle #2 \mathrel{#1\vert} #3 #1\rangle} % le produit scalaire \newcommand{\Scal}[3][]{#1\langle \vc{#2} \mathrel{#1\vert} \vc{#3} #1\rangle} % le produit scalaire et des vecteurs écrits en gras %-------------------------------------------------- % Ecriture des intervalles %-------------------------------------------------- \newcommand{\into}[3][]% intervalle ouvert ]#2;#3[ {\mathopen{#1]}#2,#3\mathclose{#1[}} \newcommand{\intof}[3][]% intervalle ouvert-fermé ]#2;#3] {\mathopen{#1]}#2,#3 #1\rbrack} \newcommand{\intfo}[3][]% intervalle fermé-ouvert [#2;#3[ {#1\lbrack #2,#3 \mathclose{#1[}} \newcommand{\intf}[3][]% intervalle fermé [#2,#3] {#1\lbrack #2,#3 #1\rbrack} \newcommand{\Intf}[3][]{#1\lbrack\!#1\lbrack#2,#3#1\rbrack\!#1\rbrack} %intervalle fermé [|#2;#3|] pour les nombres entiers %-------------------------------------------------- % Les fonctions, les espaces fonctionnels %-------------------------------------------------- \DeclareMathOperator{\ent}{Ent} % partie entière \newcommand{\restr}[2][]{#1\rvert_{#2}} % restriction d'une fonction \newcommand{\oo}[2][]{\mathrm{o}\,#1(#2#1)} % notation de Landau \newcommand{\OO}[2][]{\mathrm{O}\,#1(#2#1)} % notation de Landau % Fonctions arcsinus, ... -------------------------------------- \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} %\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\cn}{cn} \DeclareMathOperator{\sn}{sn} \DeclareMathOperator{\dn}{dn} \DeclareMathOperator{\argth}{Arg\,th} \DeclareMathOperator{\argsh}{Arg\,sh} %---------------------------------------------------------------------- % les fonctions ... -------------------------------------------------- \newcommand{\FIE}[1][I,E]{\mathcal{F}(#1)} \newcommand{\FabE}[2][{a}{b}]{\mathcal{F}(\intf #1,#2)} \newcommand{\Fab}[1][{a}{b}]{\mathcal{F}(\intf #1)} % les fonctions bornées ... ------------------------------------------ \newcommand{\BIE}[1][I,E]{\mathcal{B}(#1)} \newcommand{\BabE}[2][{a}{b}]{\mathcal{B}(\intf #1,#2)} \newcommand{\Bab}[1][{a}{b}]{\mathcal{B}(\intf #1)} % les fonctions en escalier ... -------------------------------------- \newcommand{\EscIE}[1][I,E]{\mathcal{E}sc(#1)} \newcommand{\EscabE}[2][{a}{b}]{\mathcal{E}sc(\intf #1,#2)} \newcommand{\Escab}[1][{a}{b}]{\mathcal{E}sc(\intf #1)} % les fonctions continues ... ----------------------------------------- \newcommand{\CIE}[1][I,E]{\mathcal{C}(#1)} \newcommand{\CI}[1][I]{\mathcal{C}(#1)} \newcommand{\CabE}[2][{a}{b}]{\mathcal{C}(\intf #1,#2)} \newcommand{\Cab}[1][{a}{b}]{\mathcal{C}(\intf #1)} % les fonctions continues par morceaux ... ---------------------------- \newcommand{\CMIE}[1][I,E]{\mathcal{CM}(#1)} \newcommand{\CMI}[1][I]{\mathcal{CM}(#1)} \newcommand{\CMplI}[1][I]{\mathcal{CM}^{+}(#1)} \newcommand{\CMabE}[2][{a}{b}]{\mathcal{CM}(\intf #1,#2)} \newcommand{\CMab}[1][{a}{b}]{\mathcal{CM}(\intf #1)} % les fonctions sommables ... ----------------------------------------- \newcommand{\LI}[2][1]{\mathcal{L}^{#1}(#2)} \newcommand{\LCI}[2][1]{\mathcal{L}_C^{#1}(#2)} % les fonctions dérivables ... ---------------------------------------- \newcommand{\DIE}[1][I,E]{\mathcal{D}(#1)} \newcommand{\DabE}[2][{a}{b}]{\mathcal{D}(\intf #1,#2)} \newcommand{\Dab}[1][{a}{b}]{\mathcal{D}(\intf #1)} % les fonctions de classe Ck ... -------------------------------------- \newcommand{\CkIE}[2][I,E]{\mathcal{C}^{#2}(#1)} \newcommand{\CkabE}[3][{a}{b}]{\mathcal{C}^{#3}(\intf #1,#2)} \newcommand{\Ckab}[2][{a}{b}]{\mathcal{C}^{#2}(\intf #1)} % les fonctions k fois dérivables ... --------------------------------- \newcommand{\DkIE}[2][I,E]{\mathcal{D}^{#2}(#1)} \newcommand{\DkabE}[3][{a}{b}]{\mathcal{D}^{#3}(\intf #1,#2)} \newcommand{\Dkab}[2][{a}{b}]{\mathcal{D}^{#2}(\intf #1)} %les fonctions de classe Ck par morceaux ... -------------------------- \newcommand{\CMkIE}[2][I,E]{\mathcal{C}^{#2}\mahtcal{M}(#1)} \newcommand{\CMkabE}[3][{a}{b}]{\mathcal{C}^{#3}\mathcal{M}(\intf #1,#2)} \newcommand{\CMkab}[2][{a}{b}]{\mathcal{C}^{#2}\mathcal{M}(\intf #1)} % les fonctions périodiques ... ---------------------------------------- \newcommand{\Cdepi}{\mathcal{C}_{2\pi}} \newcommand{\CMdepi}{\mathcal{CM}_{2\pi}} \newcommand{\Tndepi}{\mathcal{T}_{n,2\pi}} \newcommand{\CT}{\mathcal{C}_{T}} \newcommand{\Tdepi}{\mathcal{T}_{2\pi}} \newcommand{\TT}{\mathcal{T}_{T}} %-------------------------------------------------- % Les matrices, %-------------------------------------------------- \newcommand{\mat}[1][B]{\mathcal{M}\mathrm{at}_{\mathcal{#1}}} % matrice Mat dans la base #1 (B) \newcommand{\Mat}[2]{\mathcal{M}\mathrm{at}_{\mathcal{#1},\mathcal{#2}}} % matrice dans les bases #1 et #2 \newcommand{\diag}[2][]{\mathrm{Diag}#1( #2_1,\ldots,#2_n #1)} % matrice diagonale d'ordre n \newcommand{\Diag}[3][]{\mathrm{Diag}#1( #2_1,\ldots,#2_{#3} #1)} % matrice diagonale d'ordre #2 \newcommand{\trans}{\mbox{${}^t\hspace{-1pt}$}} % transposition \newcommand{\tc}[1]{\mbox{${}^t\hspace{-1pt}$}\conjug{#1}} % transposition et conjugaison \DeclareMathOperator{\com}{Com} % comatrice ou matrice des cofacteurs %\DeclareMathOperator{\sp}{sp} \renewcommand{\sp}{\mathop{\mathrm{sp}}\nolimits} % spectre d'une matrice, ... \DeclareMathOperator{\rg}{rg} % rang d'une matrice, ... \DeclareMathOperator{\im}{Im} % image d'une application linéaire \DeclareMathOperator{\tr}{tr} % trace d'une matrice, ... %\renewcommand{\det}{\mathop{\mathrm{det}}\nolimits} % déterminant \newcommand{\Det}[1][B]{\det_{\mathcal{#1}}} % déterminant dans la base B ... \newcommand{\MnpK}{\mathcal{M}_{n,p}(\K)} \newcommand{\Mnp}[2][n,p]{\mathcal{M}_{#1}(#2)} \newcommand{\MnK}{\mathcal{M}_{n}(\K)} \newcommand{\Mn}[2][n]{\mathcal{M}_{#1}(#2)} \newcommand{\GLnK}{\mathcal{GL}_n(\K)} \newcommand{\GLn}[2][n]{\mathcal{GL}_{#1}(#2)} %-------------------------------------------------- % Espaces vectoriels %-------------------------------------------------- \newcommand{\somdir}{\mathop{\oplus}\nolimits} \newcommand{\Somdir}{\mathop{\oplus}\limits} %\newcommand{\somDir}{\mathop{\bigoplus}\nolimits} %\newcommand{\SomDir}{\mathop{\bigoplus}\limits} \newcommand{\lin}[1]{\mathcal{L}(#1)} \newcommand{\Lin}[2]{\mathcal{L}(#1,#2)} \newcommand{\LEF}[1][E,F]{\mathcal{L}(#1)} \newcommand{\LE}[1][E]{\mathcal{L}(#1)} \newcommand{\LK}[2][K]{\mathcal{L}_{\#1}(#2)} \newcommand{\SE}[1][E]{\mathcal{S}(#1)} % ensemble des endomorphismes symétriques sur #1, E par défaut \newcommand{\ASE}[1][E]{\mathcal{A}(#1)} % ensemble des endomorphismes antisymétriques sur #1, E par défaut \newcommand{\SnR}[1][\R]{\mathcal{S}_n(#1)} % ensemble des matrices symétriques d'ordre n sur #1, \R par défaut \newcommand{\AnR}[1][\R]{\mathcal{A}_n(#1)} % ensemble des matrices antisymétriques d'ordre n sur #1, \R par défaut \newcommand{\GLE}[1][E]{\mathcal{GL}(#1)} % groupe des automorphismes de #1, par défaut E \newcommand{\GLK}[2][K]{\mathcal{GL}_{\#1}(#2)} \newcommand{\OrE}[1][E]{\mathcal{O}(#1)} % groupe des automorphismes orthogonaux de #1, par défaut E \newcommand{\SOE}[1][E]{\mathcal{SO}(#1)} % groupe spécial orthogonal de #1, par défaut E \newcommand{\OpE}[1][E]{\mathcal{O}^+(#1)} % groupe spécial orthogonal de #1, par défaut E \newcommand{\OmE}[1][E]{\mathcal{O}^-(#1)} % ensemble des automorphismes orthogonaux de det=-1 de #1, par défaut E \newcommand{\OnR}[2][n]{\mathcal{O}_{#1}(#2)} % groupe des automorphismes orthogonaux de #2^#1, par défaut #2^n \newcommand{\On}[1][n]{\mathcal{O}(#1)} % groupe des matrices orthogonales d'ordre #1, par défaut n \newcommand{\SOn}[1][n]{\mathcal{SO}(#1)} % groupe spécial orthogonal d'ordre #1, par défaut n \newcommand{\Opn}[1][n]{\mathcal{O}^+(#1)} % groupe spécial orthogonal d'ordre #1, par défaut n \newcommand{\Omn}[1][n]{\mathcal{O}^-(#1)} % ensemble des matrices orthogonales de det=-1, d'ordre #1, par défaut n \newcommand{\LpEF}{\mathcal{L}_{p}(E,F)} \newcommand{\Lp}[2][p]{\mathcal{L}_{#1}(#2)} %----------------------------------------------------------------------