exercices-a4-V1.tex

%% Usage : MAC
% \documentclass[12pt,a4paper]{article}
% \usepackage[applemac]{inputenc}
% \usepackage{amssymb}
% \usepackage{t1enc}
% \usepackage[frenchb]{babel}
% \usepackage{geometry,mathtime}
% \geometry{margin=2cm,head=0.5cm,headsep=10pt,foot=1cm}
 
%% Usage : Linux, Windows
% \documentclass[12pt,a4paper]{article}
% \usepackage[latin1]{inputenc}
% \usepackage{amssymb}
% \usepackage{t1enc}
% \usepackage[frenchb]{babel}
% \usepackage{geometry,palatino,euler}
% \geometry{margin=2cm,head=0.5cm,headsep=10pt,foot=1cm}
 
%=====================================================================
\def\C{\mathbf{C}}
\let\le\leqslant
\let\ge\geqslant
% Symboles, notations
\def\abs#1{\vert #1 \vert}
%=====================================================================
% Redéfinitions LaTeX
\renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}}
\def\labelenumi{{\bf \theenumi /}}
\def\labelenumii{{\theenumii)}}
%=====================================================================
% Définition de \exo
\newcount\exonumber \exonumber=0
\def\theExoNumber{\bf\the\exonumber}
\def\sautExo{\vskip 15pt}
\def\placeExo{\goodbreak\global\advance\exonumber by 1\par\sautExo
         \noindent{\textbf{Exercice \the\exonumber}}}
\def\exo#1#2{\placeExo\kern1pt ${}^{\hbox{#1}}$ #2\\}
\def\finexo{}
%=====================================================================
\everymath{\displaystyle}
\def\titre#1{\begin{center}\Large\sf #1\end{center}}
\def\mention#1{\noindent #1}
\def\ajustement{}
\begin{document}
 
\titre{Exercices d'entraînement pour la préparation aux Olympiades de 
mathématiques du 9 mai 2001}
 
\mention{\textbf{N.B.}~: Les signes ${}^{\hbox{$\star$}}$ et 
${}^{\hbox{$\star\star$}}$ donnent une indication sur le niveau de la 
difficulté. Cette estimation ne peut être que personnelle et subjective.}
 
\exo{}{}
     L'équation $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}=1$, $x>0$, 
     $y>0$, $z>0$, a un ensemble de solutions qui est a) infini~? b) 
     vide~? c) réduit à un élément~?
\finexo
 
 
\exo{}{}
     Observer, continuer, généraliser~: 
     $$\matrix{1&\times&2&\times&3&\times&4&+&1&=&5^2\cr
               2&\times&3&\times&4&\times&5&+&1&=&11^2\cr
	       3&\times&4&\times&5&\times&6&+&1&=&19^2}$$
     Existe-t-il une ligne sur laquelle on trouve $2001^2$~?
\finexo
 
\exo{}{}
     Combien existe-t-il de couples $(x,y)$ d'entiers relatifs tels que~: 
     $$\abs{x}+\abs{y}\le 1000\hbox{ ?}$$
\finexo
 
\exo{$\star$}{}
     Soit un quadrilatère convexe $ABCD$.\\
     La parallèle à $(BD)$ passant par le milieu $I$ de la diagonale 
     $[AC]$ et la parallèle à $(AC)$ passant par le milieu $J$ de la 
     diagonale $[BD]$ se coupent en~$O$.\\
     Démontrer que les $4$ segments joignant le point $O$ aux 
     milieux $M$, $N$, $P$, $Q$ des $4$ côtés $[AB]$, $[BC]$, 
     $[CD]$, $[DA]$ partagent le quadrilatère $ABCD$ en $4$ 
     quadrilatères de même aire.
\finexo
 
\exo{$\star\star$}{}
     Un certain nombre de jetons sont répartis dans $2n+1$ sachets. 
     Supposons que, en retirant l'un quelconque de ces sachets, il 
     soit possible de répartir le reste en deux groupes de $n$ 
     sachets, de telle sorte que chaque groupe contienne le même 
     nombre total de jetons. Démontrer que chaque sachet contient le 
     même nombre de jetons.
\finexo
 
\exo{}{}
     Soit $x$ un entier naturel, on pose $p(x)$ le produit de ses 
     chiffres. Démontrer que $12$ est l'unique entier naturel $x$ 
     compris entre $0$ et $100$ tel que~: 
     $$x^2-10x-22=p(x)$$
\finexo
 
\exo{$\star$}{}
     On affecte à chaque point du plan une couleur~: rouge ou bleu.\\
     Montrer qu'il existe au moins un triangle équilatéral dont les 
     trois sommets sont de la même couleur.\\[1mm]
     On a affecte à chaque point du plan une couleur~: rouge ou bleu.\\
     Montrer qu'il existe un rectangle dont les sommets sont de la 
     même couleur.
\finexo
 
\exo{$\star$}{}
     On considère un triangle $ABC$ dont la hauteur issue de $C$ 
     mesure $h$. Quelle est la valeur maximale atteinte par le 
     produit des hauteurs lorsque $C$ décrit une droite parallèle à 
     la droite $(AB)$~?
\finexo
 
\exo{$\star\star$}{(Concours général 1986)}
     \begin{enumerate}
         \item  $u$ et $v$ étant deux réels, montrer 
         $\abs{u}+\abs{v}\le \abs{u+v}+\abs{u-v}$
         \item  $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$, $u_{4}$ étant $4$ réels, 
         montrer que~: 
	 {\ajustement
	 $$\abs{u_{1}}+\abs{u_{2}}+\abs{u_{3}}+\abs{u_{4}} \le 
	 \abs{u_{1}+u_{2}} + \abs{u_{3}+u_{4}} + \abs{u_{1}+u_{3}} + 
	 \abs{u_{2}+u_{4}} + \abs{u_{1}+u_{4}} + \abs{u_{2}+u_{3}}$$
	 }
     \end{enumerate}
     (En fait, dans l'énoncé original on se plaçait dans $\C$)
\finexo
 
 
\end{document}