La deltoïde

Table des matières

1 Description
2 Représentation à partir de l’équation cartésienne
3 Caustique
4 Développée de la deltoïde
5 Courbe inverse de la deltoïde
6 Podaire d’une deltoïde
7 Radiale d’une deltoïde
8 Enveloppe des droites de Simson
9 Dérivation

Needs["ParaPlot`"];

Needs["PlaneCurveFormulas`"];

Needs["PlaneCurveGenerator`"];

1 Description

La deltoïde (ou encore tricuspide) est un cas particulier d’hypocycloïde (à trois rebroussements).

Représentation paramétrique: x=2/3cost + 1/3cos 2t, y=2/3sint+1/3sin 2t.

Équation cartésienne: (x²+y²)²−8x(x²−3y²)+18(x²+y²)−27=0.

ParaPlot[
     Rotate[Deltoid[][t], -Pi/2],
     {t,0, 2 Pi, 2 Pi/120},
     SecantConnection → {60,1},
     PlotDot → False, PlotCurve → False,
     Axes → False,
     AspectRatio → Automatic
]

DeltoidGenerator[
    {0, 5.4, .05},
    LastFrameOnly → True
]

ParaPlot[
    Deltoid[][t],
    {t,0, 2 Pi},
    AspectRatio → Automatic
]

2 Représentation à partir de l’équation cartésienne

DeltoidEqCart = (x^2+y^2)^2-8x(x^2-3y^2)+18(x^2+y^2)-27;

ContourPlot[
   DeltoidEqCart == 0,
   {x,-3,3},
   {y,-3,3},
   PlotPoints → 50
]

ContourPlot[
   DeltoidEqCart,
   {x,-3,3},
   {y,-3,3},
   PlotPoints → 40
]

3 Caustique

Les caustiques d’une deltoïde sont des astroïdes.

theta = 1.1;
lightSource = 20000{Cos[theta],Sin[theta]};
p =  N[2Pi/12]; d = N[Degree];
gp1 = First[
   ParaPlot[Deltoid[][t], {t, 0, 2 Pi},
   Which[N[0 ≤ theta < 30 d],
    Range @@ {-4p+0.001`,4p-0.001`,0.1`},
     N[30 d ≤ theta < 90 d],
    Range @@ {0+0.001`,4 p-0.001`,0.1`},
     N[90 d ≤ theta < 150 d],
    Range @@ {0+0.001`,8p-0.001`,0.1`},
     N[150 d ≤ theta ≤ 180 d],
    Range @@ {4p+0.001`,8p-0.001`,0.1`}],
   CausticLineLength → 30000, 
   CausticOrigin → lightSource,
   CausticLineStyle → {Hue[0]}, 
   PlotCurve → True,
   PlotDot → False,
   CurveColorFunction → (GrayLevel[1] &),
   AspectRatio → Automatic,
   PlotRange → {{-1.5,1.6},{-1.6,1.6}},
   DisplayFunction → Identity]];
gp2 = First[
   ParaPlot[Deltoid[][t], {t, 0, 2Pi},
   Which[N[0 ≤ theta < 30 d],
    Range @@ {4p+0.001`,8p-0.001`,0.1`},
     N[30 d ≤ theta < 90 d],
    Range @@ {4p+0.001`,12p-0.001`,0.1`},
     N[90 d ≤ theta < 150 d],
    Range @@ {-4p+0.001`,0-0.001`,0.1`},
     N[150 d ≤ theta ≤ 180 d],
    Range @@ {-4p+0.001`,4p-0.001`,0.1`}],
   CausticLineLength → 30000,
   CausticOrigin → -lightSource,
   PlotCurve → True,
   CausticLineStyle → {Hue[0]},
   PlotCurve → False, PlotDot → False,
   CurveColorFunction → (GrayLevel[1] &),
   AspectRatio → Automatic,
   PlotRange → {{-1.5,1.6}, {-1.6,1.6}},
   DisplayFunction → Identity]];
Show[Graphics[{gp1, gp2}],
   PlotRange → {{-2, 2}, {-2, 2}},
   Axes → False, AspectRatio → Automatic,
   PlotRange → {{-1.5,1.6}, {-1.6,1.6}},
   Background → Hue[0, 0, 0]
]

4 Développée de la deltoïde

Et bien, c’est une deltoïde !

ParaPlot[
   Deltoid[][t],
   {t, 0.001, 2 Pi, 2 Pi/(3 20)},
   PlotEvolute → True,
   AspectRatio → Automatic
]

Ce que l’on peut voir autrement, de façon plus sophistiquée...

gp1=First[ParaPlot[
    Rotate[Deltoid[][t], Pi/2], 
    {t, 0.001, 2Pi, (2Pi)/(3 30)},
    PlotCurve → False,
    PlotDot → False,
    PlotOsculatingCircle → True,
    LineStyle → {
        RGBColor[RandomReal[],
        RandomReal[],
        RandomReal[]]},
    CurveColorFunction → {Hue[0] &},
    DisplayFunction → Identity]
];
gp2=First[ParaPlot[
    Rotate[Deltoid[][t], Pi/2],
    {t, 0.001, 2Pi, (2Pi)/(3 30)},
    PlotCurve → False, 
    PlotEvolute → True,
    LineStyle → {GrayLevel[0]},
    DisplayFunction → Identity]
];
gp2=DeleteCases[gp2, Line[___], -1];
Show[Graphics[{gp1, gp2}],
    Background → Hue[0, 0, 0],
    PlotRange → All,
    AspectRatio → Automatic,
    Axes → False
]

5 Courbe inverse de la deltoïde

ParaPlot[
    Deltoid[][t],
    {t, 0, 2 Pi, 2 Pi/(3 100)},
    InversionCircle → {{0,0},1},
    PlotDot → False,
    CurveColorFunction → {Hue[.7,.9,.9]&},
    AspectRatio → Automatic
]

ParaPlot[
   {
     Deltoid[][t], 
     Inversion[Deltoid[][t], {{0,0},.5}] 
   },
   {t, 0, 2 Pi},
   PlotStyle → {
     {Hue[.65]}, 
     {Hue[.0], Thickness[.005]}
   },
   Epilog → {Hue[.18], Circle[{0,0},.5]},
   AspectRatio → Automatic,
   Ticks → {{-1,-.5,.5,1},{-1,-.5,.5,1}}
]

6 Podaire d’une deltoïde

On obtient un trifolium.

ParaPlot[
   Deltoid[][t],
   {t,0, 2 Pi, 2 Pi/(30 3)},
   PedalPoint → {0,0},
   PlotDot → False,
   PlotCurve → False,
   Axes → False,
   AspectRatio → Automatic
]

7 Radiale d’une deltoïde

C’est encore un trifolium...

ParaPlot[
   Rotate[Deltoid[][t], -Pi/2], 
   {t, 0.001, 2Pi, 2Pi/(30 3)},
   PlotRadial → True,
   PlotDot → False,
   CurveColorFunction → {Hue[0, 0, 0] &},
   LineStyle → {
     RGBColor[RandomReal[],
     RandomReal[],
     RandomReal[]]
   },
   Axes → False,
   AspectRatio → Automatic
]

8 Enveloppe des droites de Simson

La deltoïde est l’enveloppe des droites de Simson d’un triangle fixé (Robert Simson, 1687-1768).

DeltoidGenerator2[
    {1, 3, 3.5},
    {0, 3.2, 5/30},
    LastFrameOnly → True
]

DeltoidGenerator2[
    {1, 3, 4.8}, 
    {0, 5.7, 5/30},
    LastFrameOnly → True
]

DeltoidGenerator2[
    {1, 3, 4},
    {2, 6, 3/50},
    LastFrameOnly → True,
    NumberOfFrames → 1
]

9 Dérivation

Voici la deltoïde accompagnée des courbes paramétrées dérivées d’ordre 1 et 2.

ParaPlot[
    Evaluate@{
     D[Deltoid[][t], {t, 2}],
     D[Deltoid[][t], {t, 1}],
     Deltoid[][t]
    },
    {t, 0, 2 Pi},
    AspectRatio → Automatic
]