\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par
$g(x)=-\frac12+\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}$.\\
\'Etudier la continuité et la dérivabilité de $g$; en déduire les variations
de $g$.
\item Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie par
$f(x)=-\frac{x}2+1+\frac12\sqrt{x^2+1}$.\\
\'Etudier la fonction $f$; étudier la position de la courbe représentative de
$f$, $\mathcal{C}_f$, par rapport à ses asymptotes, puis construire
$\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormé $(O,\mathbf{i},\mathbf{j})$
(unité: 2 cm).
\item Déduire de l'étude précédente l'existence d'un intervalle $I$ de $\R$,
à préciser, tel que $f$ permette de définir une bijection de $\R$ sur $I$.
Vérifier que la bijection réciproque est telle que, pour tout $x$ de $I$:
$$f^{-1}(x)=\frac1{4(x-1)}+1-x$$
Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f^{-1}}$, représentant $f^{-1}$ dans
$(O,\mathbf{i},\mathbf{j})$.
\end{enumerate}