On considère la fonction $f$ définie par
$\displaystyle f(x)=\frac1{e^x-1}$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que la fonction $g:x\mapsto xf(x)$ est prolongeable
  par continuité en $0$. Dans la suite, nous identifierons $g$ avec
  ce prolongement.
 \item Après avoir déterminé le $\mathrm{DL}_4(0)$ de $e^x-1$, calculer
  le $\mathrm{DL}_3(0)$ de $g(x)$.
 \item Montrer alors qu'il existe 4 réels $a$, $b$, $c$, $d$ tels que,
  au voisinage de $0$ sauf en $0$, on ait:
  $$f(x)=\frac{a}{x}+b+cx+dx^2+o(x^2)$$
  Le membre de droite de l'égalité ci-dessus est le \emph{développement
  limité généralisé} de $f$, à l'ordre $2$, au voisinage de $0$
  ($\mathrm{DLG}_2(0)$).
 \item Déterminer le $\mathrm{DLG}_2(0)$ de
  $\displaystyle\frac1{\sh x}$.
\end{enumerate}