On considère les matrices réelles
$$A=\matrice{0&0&1\cr 1&0&1\cr 0&1&-1}\quad\hbox{et}\quad
I=\matrice{1&0&0\cr 0&1&0\cr 0&0&1}$$
Pour tout polynôme réel $P=a_nX^n+..+a_1X+a_0$ on pose
$P(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I$.
\begin{enumerate}
 \item Soit $P=X^3+X^2-X-1$.
 \begin{enumerate}
  \item Factoriser $P$ dans $\R[X]$.
  \item Vérifier que $P(A)=0$, en déduire deux diviseurs de zéro dans
  l'anneau $\mathcal{M}_3(\R)$ des matrices $3\times 3$ à coefficients
  réels.
 \end{enumerate}
 \item On pose
 $$Q=\frac14(X^2+2X+1)\hbox{ et } R=-\frac14(X^2+2X-3)
 \hbox{ et } S=-\frac14(X^3+3X^2-X-3)$$
 $$B=Q(A),\, C=R(A),\, D=S(A)$$
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les matrices $B$, $C$ et $D$.
  \item Calculer $B-C+D$.
  \item Calculer les produits
    $B^2,\, C^2,\, D^2,\, BC,\, CB,\, BD,\, DB,\, CD,\, DC$.
 \end{enumerate}
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Montrer qu'un polynôme $G=aX^2+bX+c$ ($a,b,c\in\R$) est nul si,
  et seulement si
  $$\tilde{G}(1)=\tilde{G}(-1)=\tilde{G'}(-1)=0$$
  \item Montrer que le polynôme $P$ de la question \textbf{1/} divise un
  polynôme $H$ si, et seulement si
  $$\tilde{H}(1)=\tilde{H}(-1)=\tilde{H'}(-1)=0$$
  \item Montrer que pour tout polynôme $T$, on a
  $T(A)=\tilde{T}(1)B+\tilde{T}(-1)C+\tilde{T'}(-1)D$.
  \item Appliquer le résultat précédent aux polynômes
  $T=X$, $T=X^2$ puis $T = X^n$ ($n\in\N$).
 \end{enumerate}
\end{enumerate}