M:entetemax: titre="Polynômes et matrices" taille="1.35" %S{Énoncé} FICHIER:enonce.tex:: On considère les matrices réelles $$A=\matrice{0&0&1\cr 1&0&1\cr 0&1&-1}\quad\hbox{et}\quad I=\matrice{1&0&0\cr 0&1&0\cr 0&0&1}$$ Pour tout polynôme réel $P=a_nX^n+..+a_1X+a_0$ on pose $P(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I$. \begin{enumerate} \item Soit $P=X^3+X^2-X-1$. \begin{enumerate} \item Factoriser $P$ dans $\R[X]$. \item Vérifier que $P(A)=0$, en déduire deux diviseurs de zéro dans l'anneau $\mathcal{M}_3(\R)$ des matrices $3\times 3$ à coefficients réels. \end{enumerate} \item On pose $$Q=\frac14(X^2+2X+1)\hbox{ et } R=-\frac14(X^2+2X-3) \hbox{ et } S=-\frac14(X^3+3X^2-X-3)$$ $$B=Q(A),\, C=R(A),\, D=S(A)$$ \begin{enumerate} \item Calculer les matrices $B$, $C$ et $D$. \item Calculer $B-C+D$. \item Calculer les produits $B^2,\, C^2,\, D^2,\, BC,\, CB,\, BD,\, DB,\, CD,\, DC$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer qu'un polynôme $G=aX^2+bX+c$ ($a,b,c\in\R$) est nul si, et seulement si $$\tilde{G}(1)=\tilde{G}(-1)=\tilde{G'}(-1)=0$$ \item Montrer que le polynôme $P$ de la question \textbf{1/} divise un polynôme $H$ si, et seulement si $$\tilde{H}(1)=\tilde{H}(-1)=\tilde{H'}(-1)=0$$ \item Montrer que pour tout polynôme $T$, on a $T(A)=\tilde{T}(1)B+\tilde{T}(-1)C+\tilde{T'}(-1)D$. \item Appliquer le résultat précédent aux polynômes $T=X$, $T=X^2$ puis $T = X^n$ ($n\in\N$). \end{enumerate} \end{enumerate} § M:texel: f="enonce" patron="latex" %VTEX{\newpage} %P{Les calculs qui suivent répondent aux questions posées ou viennent appuyer les démonstrations.} %S{Calculs} FICHIER:ex01.txt: >load("polymat.mc")$ >A:matrix([0,0,1],[1,0,1],[0,1,-1]); >P:X^3+X^2-X-1$ >P1:factor(P); >polymat(P,A); >block(A1:polymat(part(P1,1),A),A2:polymat(part(P1,2),A),[A1,A2]); >A1 . A2; >Q:1/4*(X^2+2*X+1)$ >B:polymat(Q,A);{1\over 4}|4*§| >R:-1/4*(X^2+2*X-3)$ >C:polymat(R,A);{1\over 4}|4*§| >S:-1/4*(X^3+3*X^2-X-3)$ >D:polymat(S,A);{1\over 2}|2*§| >B-C+D;{1\over 2}|2*§| >B^^2;{1\over 4}|4*§| >C^^2;{1\over 4}|4*§| >D^^2; >B . C; >C . D;{1\over 2}|2*§| >D . B; >load("ordpoly.mc")$ >block([a1,b1,c1],ordpoly((a1+b1+c1)*Q+(a1-b1+c1)*R+(-2*a1+b1)*S-(a1/2-b1/4)*P)); § M:seq2fabA: f="ex01" %RM{*.tex *.tmp *.log *.dvi *.aux *.out}