Exercice -- suite et fonction

Jean-Michel Sarlat (jm-sarlat@melusine.eu.org) - 22 avril 2003
1 Énoncé
2 Corrigé

1 - Énoncé

2 - Corrigé

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On commence par introduire la fonction $h$ qui sert à définir la suite $(u_n)$.

(C2) h(x):=1/4*(3*x^2-2*(a+b)*x+a*b+2*(a+b));

tex

Partie A


1/ Si la suite $(u_n)$ converge vers $\ell\in\R$ alors, sachant que l'on a $u_{n+1}=h(u_n)$, que $h$ est une fonction continue en tout point de $\R$ donc en $\ell$, nécessairement: $\ell=h(\ell)$.

(C3) 4*(h(x)-x)=0,expand;

tex

2/ $f(x)$ est le membre de gauche de l'équation précédente.

(C4) f(x):=4*h(x)-4*x;

tex

On détermine $g$:

(C5) g(x):=integrate(f(t),t,2,x);

tex

On factorise l'expression obtenue.

(C6) factor(g(x));

tex

$g(x)$ admet trois zéros qui sont $a$, $b$ et $2$.


3/ Le théorème de Rolle s'applique à $g$ sur les deux segments $[a,b]$ et $[b,2]$, sa dérivée $f$ s'annule donc une fois à l'intérieur de ces deux segments et comme elle ne s'annule au plus que deux fois (polynôme de degré 2), on a là ses deux zéros distincts, $\ell$ est l'un d'eux.


Partie B


On particularise la fonction $f$ dans ce cas où $a=2$ et $b=2$.

(C7) f2(x):=ev(f(x),a=2,b=2);

tex 
(C8) factor(f2(x));

tex

1/ Comme on le voit dans la factorisation précédente, l'équation $f(x)=0$ ou encore $h(x)=x$ n'admet qu'une seule solution: $2$, ce qui permet de justifier que lorsque la suite $(u_n)$ converge, elle converge nécessairement vers $2$.


2/ Le signe de $h(x)-x$ étant toujours positif, on peut en déduire que $(u_n)$ est croissante quelle que soit la valeur de $\lambda$.


3/ Une étude des variations de $h$ sur $\R$ montre que l'intervalle $]\frac23,2[$ est stable. Si $u_0=\lambda$ est dans cet intervalle alors (récurrence) tous les termes de $(u_n)$ y seront, la suite est donc bornée. Comme elle est croissante elle converge et sa limite est $2$.


4/ Toujours d'après l'étude des variations de $h$, on peut établir que si $u_0=\lambda$ n'appartient pas à $[\frac23,2]$ alors tous les termes de la suite $(u_n)$, à partir du rang $1$, sont strictement supérieurs à $2$. La suite $(u_n)$ ne peut alors converger vers $2$, seule limite possible, puisqu'elle est croissante. Dans ce cas elle diverge.


5/ Si $\lambda=\frac23$ ou $\lambda=2$, alors la suite est stationnaire à partir du rang $1$ et vaut $2$.


Voici, pour finir, une représentation de la fonction $h$ permettant de mieux visualiser les scénarios de la partie B.

h
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