\'Etant donnés trois nombres réels $\lambda$, $a$, $b$, on considère la
suite $(u_n)$ définie par les conditions suivantes:
$$u_0=\lambda\hbox{ et } \forall n \in\N,\, 4u_{n+1}=3u_n^2-2(a+b)u_n+ab+2(a+b)$$
La suite $(u_n)$ est dite \emph{associée} à $\lambda$, $a$, $b$.\\
Les deux parties suivantes sont indépendantes.
\paragraph{A --} Dans cette partie, on suppose que $a<b<2$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que, lorsqu'elle existe, la limite de la suite $(u_n)$ associée
 à $\lambda$, $a$, $b$ est une solution de l'équation
 $$3x^2-2(2+a+b)x+ab+2(a+b)=0$$
 \item On considère la fonction polynôme $f$ définie pour tout $x$ réel par
 $$f(x)=3x^2-2(2+a+b)x+ab+2(a+b)$$
 Déterminer la primitive $g$ de $f$ qui s'annule pour $x=2$ et montrer que $g$ a
 exactement trois zéros que l'on précisera.
 \item En déduire que, lorsqu'elle existe, la limite $\ell$ de la suite
 associée à $\lambda$, $a$, $b$ vérifie l'une des deux inégalités
 $$a<\ell<b \hbox{ ou } b<\ell<2$$
 (On pourra utiliser le théorème de Rolle).
\end{enumerate}
\paragraph{B --} Dans cette partie, on suppose que $a=b=2$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si la suite $(u_n)$ associée à $\lambda$, $2$, $2$ converge,
sa limite est égale à $2$.
\item Montrer que, pour tout $\lambda\in\R$, la suite $(u_n)$ associée à
$\lambda$, $2$, $2$ est croissante.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ associée à $\lambda$, $2$, $2$ est convergente
lorsque $\lambda\in ]\frac23,2[$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ associée à $\lambda$, $2$, $2$ est divergente
lorsque $\lambda\not\in [\frac23,2]$.
\item Préciser les cas $\lambda=\frac23$ ou $\lambda=2$.
\end{enumerate}