Exercice - étude de fonction

1 - Énoncé

2 - Corrigé

maxima >>

(C2) f(x):=(x*cosh(x)-sinh(x))/(cosh(x)-1);

1/ Un rapide calcul de tête nous indique que le numérateur et le dénominateur de l'expression sont d'ordre et en au voisinage de . Pour obtenir un développement limité à l'ordre en de il faut donc anticiper la simplification par et développer le numérateur et le dénominateur à l'ordre . Enfin, si on devait le faire à la main...

(C3) taylor(f(x),x,0,3);

La limite de est donc , il suffit de poser pour que soit continue en .

(C4) c:limit(f(x)/x,x,0);

2/ est dérivable en (ce que l'on pouvait déduire du développement précédent) et .

(C5) taylor(f(x)-c*x,x,0,3);

La différence est équivalente à au voisinage de , la courbe représentative de traverse donc sa tangente à l'origine, elle passe de dessous au dessus (point d'inflexion).

(C6) diff(f(x),x);

3/ Le signe de la dérivée n'est pas simple à déterminer sous cette forme, on factorise!

(C7) factor(%);

Là, les choses sont plus nettes. La quantité dont le signe n'est pas immédiat est , on a toutefois vite fait de se convaincre qu'elle est positive sur , en s'appuyant sur le signe de sa dérivée qui est manifestement positive. La fonction est croissante sur .

(C8) a:limit(f(x)/x,x,inf);

(C9) b:limit(f(x)-a*x,x,inf);

4/ Les deux calculs précédents prouvent l'existence d'une droite asymptote à , son équation est .

(C10) g(x):=f(x)-a*x-b;

(C11) exponentialize:true$

L'étude de la position de la courbe par rapport à son asymptote au voisinage de peut être faite en recherchant un équivalent de . Demander, comme cela, un développement de ne convient pas à maxima, c'est pourquoi on passe à l'écriture à l'aide d'exponentielles des fonctions et .

(C12) factor(g(x));

La factorisation de prépare le développement à suivre.

(C13) taylor(%,x,inf,1);

Un équivalent de au voisinage de est qui est positif. La courbe est donc au dessus de son asymptote vers .

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