$f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par:
\[f(x)={{x\ch x - \sh x}\over {\ch x -1 }}\quad \hbox{si}\quad x\ne 0,\quad
f(0) = \ell\]
où $\ell$ est un réel.
On note ${\cal C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
orthonormé.
\begin{enumerate}
   \item Déterminer le développement limité de $f$ à l'ordre $3$ au voisinage
   de $0$.  En déduire $\ell$ pour que $f$ soit continue en 0. Dans la suite, on
   donne à $\ell$ cette valeur.
   \item Montrer que $f$ est dérivable en 0 et préciser la position
   de $\mathcal{C}$ par rapport à sa tangente au point d'abscisse $0$.
   \item  Montrer que $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$.
   \item Préciser la droite asymptote à $\mathcal{C}$  au voisinage de
   $+\infty$ et préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à cette
   asymptote.  Tracer $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}