Exercice - applications du calcul intégral

Jean-Michel Sarlat (jm-sarlat@melusine.eu.org) - 29 avril 2003
1 Énoncé
2 Corrigé

1 - Énoncé

2 - Corrigé

maxima >>

(C2) load("integration.mc")$

1/ Les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe sont visibles: $0$ et $4$ . La parabole est au dessus de l'axe entre ces points.

(C3) integre(4*x-x^2,x,0,4);

tex

2/ On commence par rechercher les abscisses des points d'intersection des deux courbes.

(C4) solve(x^2=3-2*x,x);

tex

Il y en a deux, on intègre la différence des ordonnées entre ces deux abscisses.

(C5) integre(abs(x^2-(3-2*x)),x,rhs(part(%,1)),rhs(part(%,2)));

tex

Tiens, c'est le même résultat qu'à la question précédente.


3/ Nous allons commencer par définir la longueur d'un arc de courbe à l'aide d'une intégrale.

(C6) s(f,a,b):=integrate(sqrt(1+diff(f(x),x)^2),x,a,b);

tex 
(C7) s(log,sqrt(3),sqrt(8)),logcontract;

tex

Le calcul est suivi de l'appel à logcontract qui simplifie les logarithmes dispersés dans l'expression.


4/ On réutilise la fonction s précédente.

(C8) s(exp,0,1);

tex

La fonction $\argsh$ pouvant s'exprimer à l'aide du logarithme, nous allons procéder à une substitution.

(C9) subst(lambda([x],log(x+sqrt(1+x^2))),ASINH,%),logcontract;

tex

On a donc substitué $x\mapsto \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$ à $\argsh$ , sans nommer la première fonction, en utilisant le préfixe lambda.


5/ Le volume est à considérer comme un empilement de disques de rayon $ax-x^2$ et d'épaisseur $dx$ , pour $x$ variant de $0$ à $a$ .

(C10) integre(%pi*(a*x-x^2)^2,x,0,a);

tex

6/ Le tore est à considérer comme un empilement de couronnes circulaires de rayons $R+\sqrt{r^2-z^2}$ et $R-\sqrt{r^2-z^2}$ , d'épaisseur $dz$ pour $z$ variant de $-r$ à $+r$ .

(C11) assume(r>0)$

(C12) integre(%pi*((R+sqrt(r^2-z^2))^2-(R-sqrt(r^2-z^2))^2),z,-r,r);

tex

7/ On prend l'axe de symétrie du secteur angulaire comme axe des abscisses. Ainsi l'ordonnée du centre de gravité de la plaque (supposée homogène) est nulle. Reste à calculer l'abscisse, pour cela nous allons utiliser les coordonnées polaires.

(C13) assume(alpha>0)$

(C14) N:integrate(integrate(r*cos(theta)*r,r,0,a),theta,-alpha,alpha);

tex 
(C15) D:integrate(integrate(r,r,0,a),theta,-alpha,alpha);

tex

Il reste à faire le quotient des quantités précédentes (aire pondérée par l'abscisse et aire du secteur angulaire) pour obtenir l'abscisse du centre de gravité.

(C16) N/D;

tex

On fait tendre $\alpha$ vers $0$ pour vérifier si l'on obtient bien alors la position du centre de gravité sur la médiane d'un triangle mesurée à partir du sommet.

(C17) limit(%,alpha,0);

tex

C'est bon !

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