M:entetemax: titre="Exercice - applications du calcul intégral" taille="1.3"
SH:rm -f *.mc *.png

%S{Énoncé}
FICHIER:enonce.tex:::
\begin{enumerate}
	\item  Calculer l'aire de la figure limitée par la parabole 
	d'équation $y=4x-x^2$ et l'axe des abscisses.
	\item  Calculer l'aire du segment de la parabole d'équation $y=x^2$ 
	limité par la droite d'équa\-tion $y=3-2x$.
	\item  Calculer la longueur de l'arc de la courbe d'équation 
	$y=\ln(x)$ entre les points d'abscis\-ses $x=\sqrt3$ et $x=\sqrt8$.
	\item  Calculer la longueur de l'arc de la courbe d'équation 
	$y=e^x$ entre les points d'abscis\-ses $x=0$ et $x=1$.
	\item Calculer le volume du corps engendré par la rotation autour de 
	l'axe $Ox$ de la figure limitée par l'axe $Ox$ et et la parabole 
	d'équation $y=ax-x^2$ ($a>0$).
	\item Calculer le volume du tore de rayon extérieur $R$ et de rayon 
	intérieur $r$.
	\item Déterminer le centre de gravité d'un secteur circulaire de 
	rayon $a$ et d'angle au centre $2\alpha$.
\end{enumerate}
§

M:texel: f="enonce" patron="latex"

%S{Corrigé}

FICHIER:sequence.txt::n:
>load("integration.mc")$
%P{§g1/§ Les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe
sont §ivisibles§: §m0§ et §m4§. La parabole est au dessus de l'axe entre ces points.}
>integre(4*x-x^2,x,0,4);
%P{§g2/§ On commence par rechercher les abscisses des points d'intersection des deux
courbes.}
>solve(x^2=3-2*x,x);
%P{Il y en a deux, on intègre la différence des ordonnées entre ces deux abscisses.}
>integre(abs(x^2-(3-2*x)),x,rhs(part(%,1)),rhs(part(%,2)));
%P{Tiens, c'est le même résultat qu'à la question précédente.}
%P{§g3/§ Nous allons commencer par définir la longueur d'un arc de courbe à l'aide 
d'une intégrale.}
>s(f,a,b):=integrate(sqrt(1+diff(f(x),x)^2),x,a,b);def
>s(log,sqrt(3),sqrt(8)),logcontract;
%P{Le calcul est suivi de l'appel à §vlogcontract§ qui simplifie les logarithmes 
dispersés dans l'expression.}
%P{§g4/§ On réutilise la fonction §gs§ précédente.}
>s(exp,0,1);
%P{La fonction §m\argsh§ pouvant s'exprimer à l'aide du logarithme, nous allons procéder
à une substitution.}
>subst(lambda([x],log(x+sqrt(1+x^2))),ASINH,%),logcontract;
%P{On a donc substitué §mx\mapsto \ln\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)§ à §m\argsh§, sans
%§inommer§ la première fonction, en utilisant le préfixe §vlambda§.}
%P{§g5/§ Le volume est à considérer comme un empilement de disques de rayon §max-x^2§ et
d'épaisseur §mdx§, pour §mx§ variant de §m0§ à §ma§.}
>integre(%pi*(a*x-x^2)^2,x,0,a);
%P{§g6/§ Le tore est à considérer comme un empilement de couronnes circulaires de
rayons §mR+\sqrt{r^2-z^2}§ et §mR-\sqrt{r^2-z^2}§, d'épaisseur §mdz§ pour §mz§ variant de
%§m-r§ à §m+r§.}
>assume(r>0)$
>integre(%pi*((R+sqrt(r^2-z^2))^2-(R-sqrt(r^2-z^2))^2),z,-r,r);
%P{§g7/§ On prend l'axe de symétrie du secteur angulaire comme axe des abscisses. Ainsi
l'ordonnée du centre de gravité de la plaque (supposée homogène) est nulle. Reste à calculer
l'abscisse, pour cela nous allons utiliser les coordonnées polaires.}
>assume(alpha>0)$
>N:integrate(integrate(r*cos(theta)*r,r,0,a),theta,-alpha,alpha);
>D:integrate(integrate(r,r,0,a),theta,-alpha,alpha);
%P{Il reste à faire le quotient des quantités précédentes (aire pondérée par l'abscisse
et aire du secteur angulaire) pour obtenir l'abscisse du centre de gravité.}
>N/D;
%P{On fait tendre §m\alpha§ vers §m0§ pour vérifier si l'on obtient bien alors la 
position du centre de gravité sur la médiane d'un triangle mesurée à partir du sommet.}
>limit(%,alpha,0);
%P{C'est bon !}
§

M:seq2fabA: f="sequence"

%RM{*.tex *.aux *.dvi *.log *.tmp}