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Soit $(v)$ la suite définie par la relation de récurrence suivante:
 
$v_0$ réel quelconque et, pour tout $n\in \mathbb N^*$,\,
$v_{n+1}=-\frac{1}{2v_n+6}$.
 
Fixons une valeur de $v_0$ et déclarons la suite $(v)$:
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> v[0]:0;
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[0\]
\end{maxout}
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> v[n]:=-0.5*v[n-1]+6;
\end{verbatim}
\end{maxin}
Calculons maintenant les 12 premiers termes de la suite:
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> makelist(v[n],n,0,11);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[\left[ 0 , 6 , 3.0 , 4.5 , 3.75 , 4.125 , 3.9375 , 4.03125 , 3.984375
  , 4.0078125 , 3.99609375 , 4.001953125 \right] \]
\end{maxout}
On peut penser que $v$ converge vers 4.
 
Changeons de valeur pour $v_0$,prenons 2.
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> v[0]:2;
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[2\]
\end{maxout}
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> makelist(v[n],n,0,11);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[\left[ 2 , 6 , 3.0 , 4.5 , 3.75 , 4.125 , 3.9375 , 4.03125 , 3.984375
  , 4.0078125 , 3.99609375 , 4.001953125 \right] \]
\end{maxout}
Nous remarquons que la limite semble être la même.
 
Essayons de nouveau,prenons $v_0=-3$.
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> v[0]:-3;
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[-3\]
\end{maxout}
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> makelist(v[n],n,0,11);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[\left[ -3 , 6 , 3.0 , 4.5 , 3.75 , 4.125 , 3.9375 , 4.03125 , 3.984375
  , 4.0078125 , 3.99609375 , 4.001953125 \right] \]
\end{maxout}
 
Il ne fait plus de doute que la valeur de $v_0$ ne semble pas affecter
la convergence de la suite $(v)$ vers 4.
 
Étudions la suite $(w)$ définie par $w_n=v_n-4$.
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> w[n]:=v[n]-4;
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> makelist(w[n+1]/w[n],n,1,15);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[\left[ -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5
  , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 , -0.5 \right] \]
\end{maxout}
 
La suite $(w)$ semble être géométrique de raison -0.5, il ne reste plus
qu'à démontrer la propriété rigoureusement.
 
La raison de la suite $(w)$ étant, en valeur absolue, inférieure
strictement à 1, on peut en déduire que
$\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}w_n=0}$, donc que la suite $(v)$
converge bien vers 4, ceci quelque soit la valeur de $v_0$.