Soit $f_k(x)=k\sqrt{x^2+9}+4-x$, $x\in[0;4]$, $k$ étant un réel
supérieur ou égal à 1.
Étudions la fonction $f_2$.
Déclarons que $x\in[0;4]$.
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> assume(x<=4);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[\left[ x\leq 4 \right] \]
\end{maxout}
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> assume(x>=0);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[\left[ x\geq 0 \right] \]
\end{maxout}
Déclarons $f_2$ et calculons sa dérivée.
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> f(x):=2*sqrt(x^2+9)+4-x;
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> a:diff(f(x),x);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[\frac{2\,x}{\sqrt{x^2+9}}-1\]
\end{maxout}
Essayons de factoriser $f'(x)$.
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> factor(a);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[-\frac{\sqrt{x^2+9}-2\,x}{\sqrt{x^2+9}}\]
\end{maxout}
Essayons de résoudre l'équation $\sqrt{x^2+9}-2x=0$ qui nous donnera les
valeurs de $x$ qui annulent la dérivée, restera alors à étudier le signe
de celle-ci.
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> g(x):=sqrt(x^2+9)-2*x;
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> solve(g(x),x);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[\left[ x=\frac{\sqrt{x^2+9}}{2} \right] \]
\end{maxout}
Manifestement,il n'est pas possible de résoudre cette équation avec un
radical.
En remarquant que l'équation $\sqrt{x^2+9}-2x=0$ est équivalente à
$\left(\dfrac{\sqrt{x^2+9}}{2}\right)^2=x^2$, on peut alors trouver les
solutions:
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> h(x):=sqrt(x^2+9)/2;
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxin}
\begin{verbatim}
> solve((h(x)*h(x))-x^2,x);
\end{verbatim}
\end{maxin}
\begin{maxout}
\[\left[ x=-\sqrt{3} , x=\sqrt{3} \right] \]
\end{maxout}
Nous travaillons sur l'intervalle $[0;4]$, donc, seule la solution
$x=\sqrt{3}$ est à prendre en considération dans l'étude du signe de
$f'(x)$.
Si l'on se souvient de ce que l'on a trouvé ici:
\url{http://melusine.eu.org/syracuse/scilab/pscilab/sts/16/}
on avait lu que $f_2$ atteint son minimum en une valeur proche de 1.75,
la valeur exacte étant, on le sait maintenant $x_0=\sqrt{3}$.