Le trifolium comme podaire de la deltoïde
Lors de la construction de la deltoïde centrée en O(0,0),
c'est-à-dire la trace d'un point fixe T d'un cercle de
rayon a/3 qui roule dans un cercle de rayon a, on prend la
droite définie par le point P (contact entre les deux cercles) et
T, on trace la perpendiculaire à (PT) passant par T
et on projette O sur cette dernière pour obtenir M. Quand
le petit cercle roule dans le grand, M décrit une
podaire de la deltoïde : le trifolium.
%@AUTEUR: Maxime Chupin %@DATE: 1 octobre 2007 verbatimtex %&latex \documentclass{article} \usepackage[charter]{mathdesign} \usepackage{amsmath} \begin{document} etex path carre,cardioide; carre = (0,0)--(1,0)--(1,1)--(0,1)--cycle; vardef proj(expr P,M,N) = save H; pair H; H = whatever [M,N]; H - P = whatever * (M - N) rotated 90; H enddef; u:=1.5cm; a:=3u; q:=-3; path pod; % la deltoïde picture delt; delt:=image( path gcercle,pcercle,rayon,epi; pair N,O'; for i:=0 upto (180): O':=((a+(a/q))*cosd(i*2),(a+(a/q))*sind(i*2)); pcercle := fullcircle scaled ((2*a)/q) shifted O'; rayon:= (0,0)--(12*u*cosd((q+1)*i*2),12*u*sind((q+1)*i*2)); rayon := rayon shifted O'; N := rayon intersectionpoint pcercle; if i=0: epi := N; else: epi := epi--N; fi; pickup pencircle scaled 0.8pt; draw epi; endfor; ); for j:=0 upto 180: beginfig(j+1); pair O,P,M,T,H,G,K; O:=(0,0); path droite[],gcercle,pcercle,rayon; pickup pencircle scaled 0.6pt; % les axes drawarrow (-1.2*a,0)--(1.2*a,0); drawarrow (0,-1.2*a)--(0,1.2*a); % le grand-cercle gcercle:=fullcircle scaled (2*a); % le centre du cercle H:=((a+(a/q))*cosd(j*2),(a+(a/q))*sind(j*2)); % le petit cercle pcercle := fullcircle scaled ((2*a)/q) shifted H; % fabrication du point fixe sur le petit cercle (point décrivant la deltoide) rayon:= (0,0)--(12*u*cosd((q+1)*j*2),12*u*sind((q+1)*j*2)); rayon := rayon shifted H; T := rayon intersectionpoint pcercle; % le point de contact entre le petit cercle et le grand P:= (a*cosd(j*2),a*sind(j*2)); draw delt withcolor blue; droite1 := 40[P,T]--40[T,P]; draw P--T withcolor green; droite2 := droite1 rotatedaround (P,90) shifted (T-P); draw droite2 withcolor green; droite3:= droite1 shifted (-P); draw gcercle dashed evenly withcolor blue; draw pcercle dashed evenly withcolor green; draw H--T dashed evenly; % Le point décrivant le trifolium % test de construction if (j=0) or (j=60) or (j=120) or (j=180): M:=O; else: M:= droite3 intersectionpoint droite2; fi; if j=0: pod:=M; else: pod:=pod--M; fi; pickup pencircle scaled 0.7pt; draw O--M withcolor green; draw carre scaled 8 rotated (angle(M-T)+90) shifted M dashed withdots scaled 0.3 withcolor 0.5 white; draw carre scaled 8 rotated (angle(M-T)+270) shifted T dashed withdots scaled 0.3 withcolor 0.5 white; draw pod withpen pencircle scaled 1pt withcolor red; label.bot(btex $x$ etex , (1.1a,0)); label.rt(btex $y$ etex , (0,1.1a)); label.urt(btex \begin{Large}$\rho=\lambda \cos(3t)$\end{Large} etex, (0.5a,a)); dotlabel.urt(btex $M$ etex, M); dotlabel.urt(btex $H$ etex, H); dotlabel.urt(btex $P$ etex, P); dotlabel.urt(btex $T$ etex, T); dotlabel.urt(btex $O$ etex, O); clip currentpicture to (-1.2*a,-1.2*a)--(1.2*a,-1.2*a)--(1.2*a,1.2*a)--(-1.2*a,1.2*a)--cycle; endfig; endfor; end