Ici le plus commode est d'utiliser les coordonnées polaires.
Pour la cardioïde:
$$r=1-\cos\theta$$
Soit $\theta_0$ l'angle polaire du point $M_0$. La longueur de l'arc $OM_0$
est égale à:
$$l_0=\int_0^{\theta_0}\sqrt{r'^2+r^2}d\theta =
                                    4\left(1-\cos\frac{\theta_0}2\right)$$
L'angle $V_0$ que fait le premier vecteur de Frenet avec la direction polaire
vérifie:
$$\tan V_0 = \frac{r}{r'}=\tan\frac{\theta_0}{2}$$
L'angle de rotation de la base de Frenet par rapport à la base du repère (que
l'on retrouve en $M$ au moment du contact) est donc
$$\theta_0+\frac12\theta_0=\frac32\theta_0$$
La transformation qui permet le passage de la première à la seconde cardioïde
est défini analytiquement par
$$\matrice{x'\cr y'}=
  \matrice{\cos\frac{3\theta_0}2 & \sin\frac{3\theta_0}2\cr
          -\sin\frac{3\theta_0}2 & \cos\frac{3\theta_0}2}
  \matrice{x-(1-\cos\theta_0)\cos\theta_0\cr
           y-(1-\cos\theta_0)\sin\theta_0}
  + \matrice{4(1-\cos\frac{\theta_0}2)\cr 0}$$