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par-cylindres-cones.tex

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\section{Généralisation de la notion de cylindre et de cône}
\subsection{Cylindre ou nappe cylindrique quelconque}
Cette partie généralise la notion de cylindre, ou de nappe cylindrique\footnote{Cette partie a été écrite à l'initiative de
Maxime Chupin, suite à une question sur la liste de diffusion de \url{http://melusine.eu.org/cgi-bin/mailman/listinfo/syracuse}}. Il faut définir une courbe \textit{directrice} par une fonction et la direction  de l'axe du \textit{cylindre}. Dans l'exemple ci-dessous la directrice est une sinusoïde, située dans le plan $z=-2$~:
\begin{gbar}
 \begin{verbatim}
\defFunction[algebraic]{G1}(t){t}{2*sin(t)}{-2}
 \end{verbatim}
\end{gbar}
La direction du cylindre est définie par les coordonnées d'un vecteur dans le paramètre \Cadre{axe=0 1 1}. Le dessin fait appel à  \Cadre{object=cylindre} qui en plus de ses paramètres usuels dont la hauteur \Cadre{h=4} -- il s'agit de la \textbf{longueur de la génératrice} et non de la distance entre les deux plans passant par les bases, est affecté de ceux définissant la directrice \Cadre{function=G1} et la plage de la variable $t$ \Cadre{range=-3 3}.
\begin{gbar}
 \begin{verbatim}
\psSolid[object=cylindre,
   h=4,function=G1,
   range=-3 3,
   ngrid=3 16,
   axe=0 1 1,
   incolor=green!50,
   fillcolor=yellow!50]
 \end{verbatim}
\end{gbar}
 
\begin{center}
\psset{unit=0.75}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\psset{lightsrc=viewpoint,viewpoint=100 10 20 rtp2xyz,Decran=100}
\psSolid[object=grille,base=-4 4 -6 6,linecolor={[rgb]{0.72 0.72 0.5}},action=draw](0,0,-2)
\defFunction[algebraic]{G1}(t){t}{2*sin(t)}{-2}
\defFunction[algebraic]{G2}(t){t}{2*sin(t)+4}{2}
\psSolid[object=courbe,function=G1,
   range=-3 3,r=0,
   linecolor=blue,
   linewidth=2pt]
\psSolid[object=cylindre,
   h=5.65685,function=G1,
   range=-3 3,
   ngrid=3 16,
   axe=0 1 1,
   incolor=green!50,
   fillcolor=yellow!50]
\psSolid[object=courbe,function=G2,
   range=-3 3,r=0,
   linecolor=blue,
   linewidth=2pt]
\psSolid[object=parallelepiped,
   a=8,b=12,c=4,action=draw](0,0,0)
\psSolid[object=plan,action=draw,
   definition=equation,
   args={[0 0 1 -2] 90},
   base=-6 6 -4 4,planmarks,showBase]
\psSolid[object=plan,action=draw,
   definition=equation,
   args={[0 1 0 -6] 180},
   base=-4 4 -2 2,planmarks,showBase]
\psSolid[object=plan,action=draw,
   definition=equation,
   args={[1 0 0 -4] 90},
   base=-6 6 -2 2,planmarks,showBase]
\psSolid[object=vecteur,
         linecolor=red,
         args=0 3 3]
\end{pspicture}
\end{center}
 
Dans cet exemple suivant, afin de représenter les deux plans horizontaux passant par les bases, on fait le calcul de la distance entre ces deux plans.
\begin{gbar}
 \begin{verbatim}
\pstVerb{/ladistance 2 sqrt 2 mul def}
 \end{verbatim}
\end{gbar}
{\psset{unit=0.75,lightsrc=viewpoint,viewpoint=100 -10 20 rtp2xyz,Decran=100}
\begin{LTXexample}[width=8cm]
\begin{pspicture}(-1.5,-3)(6.5,6)
\psSolid[object=grille,base=-3 3 -1 8,action=draw]
\pstVerb{/ladistance 2 sqrt 2 mul def}
\defFunction[algebraic]{G3}(t)
   {6*(cos(t))^3*sin(t)}
   {4*(cos(t))^2}
   {0}
\defFunction[algebraic]{G4}(t)
   {6*(cos(t))^3*sin(t)}
   {4*(cos(t))^2+ladistance}
   {ladistance}
\psSolid[object=courbe,function=G3,
   range=0 6.28,r=0,
   linecolor=blue,
   linewidth=2pt]
\psSolid[object=cylindre,
   range=0 -6.28,
   h=4,
   function=G3,
   axe=0 1 1,
   ngrid=3 36,
   fillcolor=green!50,
   incolor=yellow!50]
\psSolid[object=courbe,function=G4,
   range=0 6.28,r=0,
   linecolor=blue,
   linewidth=2pt]
\psSolid[object=vecteur,
         linecolor=red,
         args=0 ladistance dup]
\psSolid[object=plan,action=draw,
   definition=equation,
   args={[0 0 1 ladistance neg] 90},
   base=-1 8 -3 3,planmarks,showBase]
\axesIIID(0,4.5,0)(4,8,5)
\rput(0,-3){\texttt{axe=0 1 1}}
\end{pspicture}
\end{LTXexample}}
 
 
{\psset{unit=0.75,lightsrc=viewpoint,viewpoint=100 -10 20 rtp2xyz,Decran=100}
\begin{LTXexample}[width=8cm]
\begin{pspicture}(-1.5,-3)(6.5,6)
\psSolid[object=grille,base=-3 3 -1 6,action=draw]
\defFunction[algebraic]{G5}(t)
   {t}{0.5*t^2}{0}
\defFunction[algebraic]{G6}(t)
    {t}{0.5*t^2}{4}
\psSolid[object=courbe,function=G5,
   range=-3 2,r=0,
   linecolor=blue,
   linewidth=2pt]
\psSolid[object=cylindre,
   range=-3 2,
   h=4,
   function=G5,
   axe=0 0 1, %% valeur par défaut
   incolor=green!50,
   fillcolor=yellow!50,
   ngrid=3 8]
\psSolid[object=courbe,function=G6,
   range=-3 2,r=0,
   linecolor=blue,
   linewidth=2pt]
\axesIIID(0,4.5,0)(4,6,5)
\psSolid[object=vecteur,
         linecolor=red,
         args=0 0 4]
\psSolid[object=plan,action=draw,
   definition=equation,
   args={[0 0 1 -4] 90},
   base=-1 6 -3 3,planmarks,showBase]
\end{pspicture}
\end{LTXexample}}
 
{\psset{unit=0.75,lightsrc=viewpoint,viewpoint=100 -10 20 rtp2xyz,Decran=100}
\begin{LTXexample}[width=8cm]
\begin{pspicture}(-1.5,-3)(6.5,6)
\psset{lightsrc=viewpoint,viewpoint=100 45 45,Decran=100}
\psSolid[object=grille,base=-3 3 -2 7,fillcolor=gray!30]
\defFunction[algebraic]{G7}(t)
   {2*cos(t)}{2*sin(t)}{0}
\defFunction[algebraic]{G8}(t)
    {2*cos(t)}{2*sin(t)+4}{4}
\psSolid[object=courbe,function=G7,
   range=0 6.28,r=0,
   linecolor=blue,
   linewidth=2pt]
\psSolid[object=cylindre,
   range=0 6.28,
   h=5.65685,
   function=G7,
   axe=0 1 1,
   incolor=green!20,
   fillcolor=yellow!50,
   ngrid=3 36]
\psSolid[object=courbe,function=G8,
   range=0 6.28,r=0,
   linecolor=blue,
   linewidth=2pt]
\axesIIID(2,4.5,2)(4,8,5)
\psSolid[object=vecteur,
         linecolor=red,
         args=0 1 1](0,4,4)
\psSolid[object=plan,action=draw,
   definition=equation,
   args={[0 0 1 -4] 90},
   base=-2 7 -3 3,planmarks,showBase]
\end{pspicture}
\end{LTXexample}}
 
 
\encadre{La directrice peut être une courbe quelconque et n'est pas obligatoirement une courbe plane et horizontale.}
 
\begin{LTXexample}[width=8cm]
\begin{pspicture}(-1.5,-4)(4,6)
\psset{unit=0.75,lightsrc=viewpoint,viewpoint=100 -5 10 rtp2xyz,Decran=100}
\psSolid[object=grille,base=-4 4 -4 4,ngrid=8. 8.](0,0,-1)
\defFunction[algebraic]{G9}(t)
    {3*cos(t)}
    {3*sin(t)}
    {1*cos(5*t)}
\psSolid[object=cylindre,
   range=0 6.28,
   h=5,
   function=G9,
   axe=0 0 1,
   incolor=green!50,
   fillcolor=yellow!50,
   ngrid=4 72,grid]
\end{pspicture}
\end{LTXexample}
 
\subsection{Cône ou nappe conique quelconque}
Cette partie généralise la notion de cône et de nappe conique\footnote{Cette partie, comme la précédente, a été écrite à l'initiative de
Maxime Chupin, suite à une question sur la liste de diffusion de \url{http://melusine.eu.org/cgi-bin/mailman/listinfo/syracuse}}. Il faut définir une courbe \textit{directrice} par une fonction qui dessinera la base du cône, puis le sommet du \textit{cône} qui par défaut est \Cadre{origine=0 0 0}.  Les parties supérieure et inférieure du cône sont symétriques par rapport au sommet.  Dans l'exemple ci-dessous la directrice est un arc de parabole, situé dans le plan $z=-2$.
 
\begin{LTXexample}[width=7.5cm]
\begin{pspicture}(-3,-4)(4.5,6)
\psset{unit=0.75,lightsrc=viewpoint,viewpoint=100 10 10 rtp2xyz,Decran=100}
\psSolid[object=grille,base=-4 4 -3 3,action=draw](0,0,-2)
\defFunction[algebraic]{G1}(t){t}{0.25*t^2}{-2}
\defFunction[algebraic]{G2}(t){-t}{-0.25*t^2}{2}
\psSolid[object=courbe,function=G1,
  range=-3.46 3,r=0,
  linecolor=blue,linewidth=2pt]
\psSolid[object=cone,function=G1,
  range=-3.46 3,ngrid=3 16,
  incolor=green!50,
  fillcolor=yellow!50,
  origine=0 0 0]
\psSolid[object=courbe,
  function=G2,range=-3.46 3,
   r=0,linecolor=blue,
   linewidth=2pt]
\psPoint(0,0,0){I}
\uput[l](I){\red$(0,0,0)$}
\psdot[linecolor=red](I)
\gridIIID[Zmin=-2,Zmax=2,spotX=r](-4,4)(-3,3)
\end{pspicture}
\end{LTXexample}
 
\begin{LTXexample}[width=7.5cm]
\begin{pspicture}(-3,-4)(4.5,6)
\psset{unit=0.7,lightsrc=viewpoint,viewpoint=100 -10 20 rtp2xyz,Decran=100}
\psSolid[object=grille,base=-4 4 -3 3,
  linecolor={[rgb]{0.72 0.72 0.5}},action=draw](0,0,-2)
\defFunction[algebraic]{G1}(t){t}{2*sin(t)}{-2}
\defFunction[algebraic]{G2}(t){-t}{-2*sin(t)}{2}
\psSolid[object=courbe,function=G1,
   range=-3.14 3.14,r=0,
   linecolor=blue,
   linewidth=2pt]
\psSolid[object=cone,function=G1,
   range=-3.14 3.14,ngrid=3 16,
   incolor=green!50,
   fillcolor=yellow!50,
   origine=0 0 0]
\psSolid[object=courbe,
   function=G2,range=-3.14 3.14,
   r=0,linecolor=blue,
   linewidth=2pt]
\psPoint(0,0,0){I} \uput[l](I){\red$(0,0,0)$}
\psdot[linecolor=red](I)
\gridIIID[Zmin=-2,Zmax=2,spotX=r](-4,4)(-3,3)
\end{pspicture}
\end{LTXexample}
 
\begin{LTXexample}[width=7.5cm]
\begin{pspicture}(-3,-4)(4.5,6)
\psset{unit=0.7,lightsrc=viewpoint,viewpoint=100 -10 20 rtp2xyz,Decran=100}
\psSolid[object=grille,base=-4 4 -4 4,linecolor={[rgb]{0.72 0.72 0.5}},action=draw](0,0,-2)
\defFunction[algebraic]{G1}(t){t}{2*sin(t)}{-2}
\defFunction[algebraic]{G2}(t){-t}{-2*sin(t)-2}{2}
\psSolid[object=courbe,function=G1,
   range=-3.14 3.14,r=0,
   linecolor=blue,
   linewidth=2pt]
\psSolid[object=cone,
   function=G1,range=-3.14 3.14,
   ngrid=3 16,incolor=green!50,
   fillcolor=yellow!50,
   origine=0 -1 0]
\psSolid[object=courbe,
   function=G2,range=-3.14 3.14,
   r=0,linecolor=blue,
   linewidth=2pt]
\psPoint(0,-1,0){I}\uput[l](I){\red$(0,-1,0)$}
\psdot[linecolor=red](I)
\gridIIID[Zmin=-2,Zmax=2,spotX=r](-4,4)(-4,4)
\end{pspicture}
\end{LTXexample}
 
\encadre{Pour les cônes aussi, la directrice peut être une courbe quelconque et n'est pas obligatoirement une courbe plane et horizontale, comme dans
l'exemple suivant écrit par Maxime Chupin.
\newline
\centerline{\url{http://melusine.eu.org/lab/bpst/pst-solides3d/cone/cone-dir_02.pst}}}