\documentclass[pdftex,10pt]{article} \usepackage{amsmath,amssymb,fancybox,fancyhdr,ifthen} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{times,mathptm} \usepackage[english,frenchb]{babel} \usepackage{times} \usepackage[pdftex]{graphicx} \usepackage{xspace,colortbl} \usepackage[screen,panelright,,french,code,sectionbreak,paneltoc]{pdfscreen} %\usepackage[screen,panelright,french,bluelace]{pdfscreen} \usepackage[pdftex,french]{exerquiz} \begin{screen} \margins{.65in}{.65in}{.65in}{.65in} \screensize{6.6in}{8.6in} \changeoverlay \paneloverlay{but.pdf} \overlay{logo.png} \def\pfill{\vskip6pt} \end{screen} %placement objets flottants \renewcommand{\textfraction}{0.15} \renewcommand{\topfraction}{0.85} \renewcommand{\bottomfraction}{0.65} \renewcommand{\floatpagefraction}{0.60} %MACROS PERSONNELLES %intervalles avec crochets à bonne hauteur \newcommand{\interoo}[2]{\left] #1\, ; \,#2\right[} \newcommand{\interof}[2]{\left] #1\, ; \,#2\right]} \newcommand{\interfo}[2]{\left[ #1\, ; \,#2\right[} \newcommand{\interff}[2]{\left[ #1\, ; \, #2\right]} %Opérateurs mathématiques \DeclareMathOperator{\cotan}{cotan} \DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh} \DeclareMathOperator{\Ln}{Ln} %\DeclareMathOperator{\Arg}{Arg} \DeclareMathOperator{\Argsh}{Argsh} \DeclareMathOperator{\Argch}{Argch} \DeclareMathOperator{\mes}{mes} %ensembles de nombres : N Z Q R C \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\N}{\mathbb N } \newcommand{\Z }{\mathbb Z} %inégalités larges francisées \let\ie=\leqslant \let\se=\geqslant \renewcommand{\le}{ \leqslant } \renewcommand{\ge}{ \geqslant } %flèche vecteur \renewcommand{\vec}[1]{ \overrightarrow{#1} } % arc de cercle \newcommand{\arc}[2]{\overset{% \mbox{ \scalebox{#2}[1]{\rotatebox{90}{$\!)$}}} }{#1} } %ang \newcommand{\ang}[2] {\widehat {\left( \vec{#1}\, ; \, \vec{#2} \right)}} %norne d'un vecteur \newcommand{\norme}[1]{ \left\| #1 \right\|} %déterminant 2x2 \newcommand{\determinant}[4] {\left| \begin{array}{ccc} #1&;\\ \\ #3&; \end{array}\right|} %limite #1 tend vers #2 \def\li#1#2{\lim \limits_{#1\xrightarrow {}#2 } } %parallèle bien incliné \newcommand{\pa}{/\!\!/} %fonction \newcommand{\fonction}[5]{ #1 : \xymatrix@R=0pt{ #2 \ar@{->}[r]& #3\\ #4 \ar@{|->}[r]& #5}} %suite \newcommand{\suite}[1]{\left(#1_{n}\right)_{n\in\N}} \newcommand{\rema}{\underline{Remarque}} \newcommand{\exe}{\underline{Exemple}} \newcommand{\pre}{\underline{Preuve}} %\newcommand{\cas}{\underline{Cas particulier}} \newcommand{\cass}{\underline{Cas particuliers}} \newcommand{\Not}{\underline{Notation}} \newcommand{\Si}{\underline{Si} } \newcommand{\si}{\underline{si} } \newcommand{\alors}{\underline{alors} } \newcommand{\cons}{\underline{Conséquence}} %inclusion de fichier et graphique selon chemin relatif \newcommand{\includeGraphisme}[2][]{ \includegraphics[#1]{\CurrentDir{#2}}} \def\CurrentDir#1{#1} \def\inputTex#1#2{ \begingroup \edef\PreviousCurrentDir##1{\CurrentDir{##1}} \def\tmp{#1} \ifx\tmp\relax \def\CurrentDir##1{\PreviousCurrentDir{##1}} \else \def\CurrentDir##1{\PreviousCurrentDir{#1/##1}} \fi \input{\CurrentDir{#2}} \endgroup} \title{ Démonstration du théorème\\ de Thalès. (Niveau 4\ieme, 3\ieme , 2\ieme)} \pdfcompresslevel= 9 \margins{.5in}{.25in}{.25in}{.25in} % left,right,top, bottom \screensize{13.5cm}{18cm} % height, width \emblema{Rabelais.png} \overlay{logo2.png} \pdfinfo{/Author(Jacques MAROT) /Title(démonstration du théorème de Thalès ) /CreationDate(13 Février 2001)} \author{\color{section1}\Large JACQUES MAROT\\ {\small\href{mailto:jacques.marot@wanadoo.fr} {\color{section1}\texttt{jacques.marot@wanadoo.fr}}}} % define new counter for a 'Problem' environment \newcounter{probno}[section] \renewcommand{\theprobno}{\thesection.\arabic{probno}} \urlid{www.melusine.eu.org/syracuse/poulecl} % Define a problem environment with its own counter. \newenvironment{problem}{% \renewcommand\exlabel{Problem} \renewcommand\exlabelformat{\textbf{\exlabel\ \theprobno.}} \renewcommand\exsllabelformat {\noexpand\textbf{\exlabel\ \theprobno.}} \renewcommand\exrtnlabelformat{$\blacktriangleleft$} \renewcommand\exsecrunhead{Solutions to Problems} \begin{exercise}[probno]} {\end{exercise}} % % Define a example environment with no counter \newenvironment{example}{% \renewcommand\exlabel{Example} \renewcommand\exlabelformat{\textbf{\exlabel.}} \renewcommand\exrtnlabelformat{$\square$} \SolutionsAfter \begin{exercise}[0]}% {\end{exercise}} \begin{document} \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$} \maketitle \begin{center} \begin{minipage}{10cm}\large\hypertarget{contents}{} Il est possible de démontrer le théorème de Thalès dans un un triangle, d'une manière abordable à partir du niveau 4\textsuperscript{e}, Il suffit pour cela de savoir calculer l'aire d'un triangle. C'est ce que nous vous proposons de découvrir dans ce document. \centering \end{minipage}\end{center} \changeoverlay \pagebreak \section{Aire d'un triangle} Rappellons que les éléments nécessaires pour calculer l'aire d'un triangle sont : \begin{itemize} \item La mesure de l'un des 3 côtés du triangle que nous appellerons base. \item la mesure de la hauteur relative à ce côté pris pour base. \end{itemize} \includeGraphisme[scale=0.55] {triangle.pdf}\\ \begin{center} \begin{minipage}{10cm} \begin{center} Les triangles $BEG$ en rouge, $BEH$ en bleu, $BEI$ en vert, $BEJ$ en jaune ou $BEK$ en rose admettent tous $[BE]$ pour base, nous désignerons la mesure de ce segment par \textcolor{red}{ $b$}.\\[2mm] Les points $G$, $H$, $I$, $J$ et $K$ étant tous situés sur sur une même parallèle à $(BE)$, la mesure des hauteurs relative à cette base est la même pour tous ces triangles ; désignons cette mesure par \textcolor{red}{ $h$}.\\[2mm] Ces 5 triangles ont donc tous la même aire: \textcolor{red}{\huge{ $\dfrac{b\times h}{2}$}} \end{center}\end{minipage} \end{center} \pagebreak \par Remarquons aussi qu'il y a trois façons possibles de calculer l'aire d'un triangle, car n'importe quel côté peut être pris pour base. Le cas du triangle rectangle est plus simple. Même si cette formule reste valable, il faut également se souvenir qu'un triangle rectangle est un demi-rectangle. Voici un questionnaire pour lequel la figure de référence est la suivante : \begin{minipage}{6.5 cm} \includeGraphisme[width=6cm]{fig_thales8} \end{minipage} \begin{minipage}{6cm} \noindent\textcolor{red}{\textbf{Légende :}} Dans ce document, lors de la correction, le signe \textcolor{red}{\ding{52}} indique que la réponse correcte a été donnée~; le signe \textcolor{red}{\ding{56}} indique une réponse incorrecte, dans ce cas, la réponse correcte est marquée par \textcolor{green} {\ding{108}}. \end{minipage} \begin{quiz}*{qz:TeX-x}{\footnotesize(Pour remettre à 0 les scores, cliquez sur début)} \begin{questions} \item Quelle est l'expression de l'aire du triangle $ABC$ ? \begin{answers}4 \Ans0 $\dfrac{BC\times BE}{2}$ &\Ans0 $\dfrac{BC\times AD}{3}$ &\Ans1 $\dfrac{AB\times CF}{2}$ &\Ans0 $BE\times AC$ \end{answers} \item Quelle est l'expression de l'aire du triangle $CFA$ ? \begin{answers}4 \Ans0 $\dfrac{CF\times AB}{2}$ &\Ans0 $\dfrac{AF\times AD}{2}$ &\Ans0 $AF\times CA$&\Ans1 $\dfrac{CF\times AF}{2}$ \end{answers} \item \Si $BE=10\,cm$ et $AE=5\,cm$, quelle est l'aire du triangle $BEA$ ? \begin{answers}4 \Ans1 $25\,cm^2$&\Ans0 $18\,cm^2$&\Ans0 $20\,cm^2$&\Ans0 $84\,cm^2$ \end{answers} \end{questions} \end{quiz} \quad {\ScoreField{qz:TeX-x}}\quad{\eqButton{qz:TeX-x}} {\footnotesize ( Pour voir le score cliquez sur fin )} \section{ Cas particulier, toutes les mesures sont connues} \begin{minipage}{ 7cm}\begin{center} \includeGraphisme[width=7cm]{fig_thales0} \end{center}\end{minipage} \begin{minipage}{5 cm} \begin{itemize} \item$(BC)\pa (DE)$, \item la hauteur du triangle $ADE$ relative au côté $[DE]$ mesure $10\,cm$ \item les hauteurs relatives au côté $[DE]$ des triangles $BED$ en jaune ou $CED$ en rouge ont la même mesure :\\ $10\,cm -7cm=3\,cm$. \item la mesure de la base $[ DE]$ est $b=12\,cm$. \end{itemize} \end{minipage} \begin{quiz}*{qz:TeX-a}{\footnotesize ( Pour remettre à 0 les scores, cliquez sur début ) } \begin{questions} \item Quelle est l'aire du triangle $ADE$ ? \begin{answers}4 \Ans0 120 cm$^2$ &\Ans0 240 cm$^2$ &\Ans1 60 cm$^2$ &\Ans0 80 cm$^2$ \end{answers} \item Quelle est l'aire du triangle $BDE$ ? \begin{answers}4 \Ans0 36 cm$^2$ &\Ans0 12 cm$^2$ &\Ans0 72 cm$^2$&\Ans1 18 cm$^2$ \end{answers} \item Quelle est l'aire du triangle $CDE$ ? \begin{answers}4 \Ans0 36 cm$^2$&\Ans1 18 cm$^2$&\Ans0 20 cm$^2$&\Ans0 84 cm$^2$ \end{answers} \end{questions} \end{quiz}\quad \ScoreField{qz:TeX-a}\quad \eqButton{qz:TeX-a} {\footnotesize ( Pour voir le score cliquez sur fin )} \pagebreak \begin{center} \includeGraphisme {fig_thales0} \end{center} \begin{quiz}*{qz:TeX-e}En déduire les aires suivantes, rappelons que l'aire de $ADE$ est 60 cm$^2$ et que l'aire de $BDE$ ou $CDE$ est 18 cm$^2$. \begin{questions} \item Quelle est l'aire du triangle $ADC$ ? \begin{answers}4 \Ans0 120 cm$^2$ &\Ans1 42 cm $^2$ &\Ans0 21 cm$^2$ &\Ans0 84 cm $^2$ \end{answers} \item Quelle est l'aire du triangle $ABE$ ? \begin{answers}4 \Ans1 42 cm$^2$ &\Ans0 120 cm$^2$ &\Ans0 72 cm$^2$&\Ans0 80 cm$^2$ \end{answers} \end{questions} \end{quiz}\quad \ScoreField{qz:TeX-e} \quad\eqButton{qz:TeX-e} \pagebreak \begin{minipage}{7 cm} \begin{center} \includeGraphisme[scale=0.75] {fig_thales1} \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}{ 5 cm} \begin{itemize} \item On trace la droite $(EK)$ perpendiculaire à $(AD)$ passant par $E$. \item On trace la droite $(DH)$ perpendiculaire à $(AC)$ passant par $D$. \end{itemize} \end{minipage} \begin{quiz}*{qz:TeX-b} {\footnotesize \begin{questions} \item En prenant le côté $[AB]$ pour base du triangle $ABE$, \\ quelle est la hauteur relative à ce côté ? \begin{answers}4 \Ans0 $(DH) $ &\Ans0 $(AC)$ &\Ans1 $(EK)$ &\Ans0 $(DE)$ \end{answers} \item Déterminer la valeur du produit $ AB\times EK$. (Penser qu'il s'agit du double de l'aire d'un triangle) \begin{answers}4 \Ans0 21 &\Ans0 42 &\Ans1 84 &\Ans0 24 \end{answers} \item En prenant le côté $[AC]$ pour base du triangle $ACD$, quelle est la hauteur relative à ce côté ? \begin{answers}4 \Ans1 $(DH)$ &\Ans0 $(AC)$ &\Ans0 $(EK)$ &\Ans0 $(DE)$ \end{answers} \item Déterminer la valeur du produit $ AC\times DH$ . (Penser qu'il s'agit du double de l'aire d'un triangle) \begin{answers}4 \Ans0 21 &\Ans0 42 &\Ans0 24 &\Ans1 84 \end{answers} \item Comparer les produits $AB\times EK$ et $ AC\times DH$ . \begin{answers}3 \Ans0{$AB\times EK< AC\times DH$ } &\Ans1{$AB\times EK= AC\times DH$} &\Ans0{$AB\times EK > AC\times DH$} \end{answers} \end{questions}} \end{quiz}\quad\ScoreField{qz:TeX-b}\quad\eqButton{qz:TeX-b} \pagebreak \begin{minipage}{ 7.5 cm} \begin{center} \includeGraphisme[scale=0.75] {fig_thales9} \end{center} \end{minipage} \begin{minipage}{4.5 cm} On peut aussi calculer l'aire du triangle $ADE$ de plusieurs façons, en prenant le côté $[AD]$ ou $[AE]$ pour base. \end{minipage} \begin{quiz}*{qz:TeX-c} {\footnotesize\begin{questions} \item En prenant le côté $[AD]$ pour base du triangle $ADE$, \\ quelle est la droite qui est hauteur relative à ce côté ? \begin{answers}4 \Ans0 $(DH) $ &\Ans0 $(AC)$ &\Ans1 $(EK)$ &\Ans0 $(DE)$ \end{answers} \item En déduire la valeur du produit $ AD\times EK$ . \begin{answers}4 \Ans1 120 &\Ans0 42 &\Ans0 84 &\Ans0 24 \end{answers} \item En prenant le côté $[AE]$ pour base du triangle $ADE$, \\ quelle est la droite qui est hauteur relative à ce côté ? \begin{answers}4 \Ans1 $(DH)$ &\Ans0 $(AC)$ &\Ans0 $(EK)$ &\Ans0 $(DE)$ \end{answers} \item Déterminer la valeur du produit $ AE\times DH$ . \begin{answers}4 \Ans0 21 &\Ans0 42 &\Ans1 120 &\Ans0 84 \end{answers} \item Comparer les produits $AD\times EK$ et $ AE\times DH$ . \begin{answers}3 \Ans0 {\footnotesize$AD\times EK< AE\times DH$ } &\Ans1 {\footnotesize$AD\times EK= AE\times DH$} &\Ans0 {\footnotesize$AD\times EK > AE\times DH$} \end{answers} \end{questions}} \end{quiz}\quad\ScoreField{qz:TeX-c}\quad\eqButton{qz:TeX-c} \pagebreak \begin{center} \includeGraphisme[scale=0.8] {fig_thales9} \end{center} On obtient alors dans ce cas particulier la conclusion du théorème de Thalès qui affirme que :\\ \setlength{\fboxsep}{5 mm} \setlength{\fboxrule}{1 mm} \fcolorbox{magenta}{yellow}{ \begin{minipage}{11cm} \begin{center} {\large $ \text{ Si } (BC)\pa (DE) \text{ alors les rapports } \dfrac{AB}{AD} \text{ et } \dfrac{AC}{AE} \text{ sont égaux .}$} \end{center} \end{minipage} } \setlength{\fboxsep}{0 mm} En effet, dans ce cas particulier on peut calculer ces deux rapports de la manière suivante : $$\left. \begin{array}{ccc} \dfrac{AB}{AD}&=& \dfrac{AB\times \textcolor{red}{EK}}{AD\times \textcolor{red}{EK}}\\ \\ \dfrac{AC}{AE}&=& \dfrac{AC\times \textcolor{red}{DH}}{AE\times \textcolor{red}{DH}} \end{array} \right\} = \dfrac{84}{120}= \dfrac{7\times 12}{10\times 12}=\dfrac{7}{10}$$ \section{ Vers le cas général, la base désignée par \textit{b} est inconnue} \begin{minipage}{ 7cm}\begin{center} \includeGraphisme{fig_thales2} \end{center}\end{minipage} \begin{minipage}{4 cm}On suppose toujours que : \begin{itemize} \item $(BC)\pa (DE)$. \item la hauteur du triangle $ADE$ mesure $10\,cm$ \item la hauteur du trapèze $BCED$ mesure $3\,cm$. \end{itemize} Mais cette fois ci \begin{itemize} \item la mesure de la base $b$ est inconnue. \end{itemize} \end{minipage} \begin{quiz}*{qz:TeX-h} En prenant le côté $[DE].$ pour base, déterminez les aires suivantes : \begin{questions} \item Quelle est l'aire du triangle $ADE$ ? \begin{answers}4 \Ans0 10$b$ &\Ans0 20$b$ &\Ans1 5$b$ &\Ans0 2,5$b$ \end{answers} \item Les aires des triangles $BDE$ et $CDE$ sont les mêmes, quelle est sa valeur ? \begin{answers}4 \Ans0 3$b$ &\Ans1 1,5$b$ &\Ans0 6$b$&\Ans0 $7b$ \end{answers} \end{questions} \end{quiz} \quad \ScoreField{qz:TeX-h} \quad\eqButton{qz:TeX-h} \pagebreak \begin{minipage}{ 7cm}\begin{center} \includeGraphisme{fig_thales2} \end{center}\end{minipage} \begin{minipage}{4 cm}{Par soustraction de l'aire du grand triangle $ADE$ qui est $5b$ et de l'aire du triangle jaune $BDE$ ou du triangle rouge $CDE$ qui est $1,5b$, on en déduit comme dans le cas particulier précédent que les aires des triangles $ADC$ ou $ABE$ ont la même valeur : \setlength{\fboxsep}{2 mm} \setlength{\fboxrule}{0.2 mm} \begin{center} \colorbox{yellow}{$5b- 1,5b=3,5b$} \end{center} } \end{minipage} \setlength{\fboxsep}{0 mm} \begin{quiz}*{qz:TeX-y} On trace les mêmes hauteurs que dans le cas particulier précédent, à l'aide des réponses aux questions précédentes répondre au Q.C.M. suivant : \begin{questions} \item Le produit $ AB\times EK$ est le double de l'aire du triangle : \begin{answers}4 \Ans0 $BDE$ &\Ans1 $ABE$ &\Ans0 $ACD$ &\Ans0 $CDE$ \end{answers} \item Le produit $ AC\times DH$ est le double de l'aire du triangle : \begin{answers}4 \Ans0 $BDE$ &\Ans0 $ABE$ &\Ans1 $ACD$ &\Ans0 $CDE$ \end{answers} \item Les 2 produits précédents sont égaux, quelle est leur valeur ? \begin{answers}4 \Ans0 $3b$ &\Ans0 $3,5b$ &\Ans1 $7b$ &\Ans0 $10b$ \end{answers} \end{questions} \end{quiz}\quad\ScoreField{qz:TeX-y}\quad\eqButton{qz:TeX-y} \pagebreak \begin{minipage}{ 7cm}\begin{center} \includeGraphisme{fig_thales2} \end{center}\end{minipage} \begin{minipage}{4 cm}{Rappelons nous que comme dans le cas particulier précédent, l'aire du triangle $ADE$ qui est $5b$, peut être calculée de plusieurs manières différentes, selon que le côté $[AD]$, $[DE]$ ou $[EA]$ est pris pour base. } \end{minipage} \begin{shortquiz} \begin{questions} \item Parmi les produits ci-dessous, deux sont égaux au double de l'aire du triangle $ADE$, lesquels ? \begin{answers}4 \Ans0 $ AB\times EK$ &\Ans1 $ AD\times EK$ &\Ans1 $ AE\times DH$ &\Ans0 $ AC\times DH$ \end{answers} \item Ces deux produits sont donc égaux, quelle est leur valeur : \begin{answers}4 \Ans0 $5 b$ &\Ans0 $7b$ &\Ans1 $10b$ &\Ans0 $3b$ \end{answers} \end{questions} \end{shortquiz} \pagebreak \begin{center} Même lorsque la mesure de la base $[DE]$ est un nombre $b$ quelconque, \\[5mm] le calcul des rapports \quad $\dfrac{AB\times \textcolor{red}{EK}}{AD\times \textcolor{red}{EK}}$\quad et \quad $ \dfrac{AC\times \textcolor{red}{DH}}{AE\times \textcolor{red}{DH}}$ \\[5mm] aboutit toujours au même résultat :\\ \end{center} \begin{itemize} \item $\dfrac{AB\times \textcolor{red}{EK}}{AD\times \textcolor{red}{EK}}= \dfrac{7b}{10b}$\qquad donc\quad $\dfrac{AB}{AD}= \dfrac{7}{10} $ \quad( en simplifiant par $EK$ et par $b$ ) \item $\dfrac{AC\times \textcolor{red}{DH}}{AE\times \textcolor{red}{DH}}= \dfrac{7b}{10b}$\qquad donc\quad $\dfrac{AC}{AE}= \dfrac{7}{10} $ \quad ( en simplifiant par $DH$ et par $b$ ) \end{itemize} \begin{minipage}{ 6cm} \includeGraphisme[scale=0.9]{fig_thales2} \end{minipage} \begin{minipage}{6 cm} Il en résulte encore dans ce cas le théorème de Thalès :\\[2mm] \setlength{\fboxsep}{1 mm} \setlength{\fboxrule}{1 mm} \fcolorbox{magenta}{yellow}{ \parbox{5.5cm}{ \begin{center} {\large Si $ (BC)\pa (DE)$\\[3mm] alors $\dfrac{AB}{AD}= \dfrac{AC}{AE}$} \end{center}} }\\[2mm] Le parallélisme est intervenu, lorqu'il a fallu calculer les aires de $BDE$ et $CDE$, en se servant de la mesure de leur hauteur relative à $[DE]$, qui est de 3 cm pour les deux triangles \end{minipage} \setlength{\fboxsep}{0 mm} \pagebreak \section{Cas général} On suppose toujours que $(BC)\pa (DE)$, mais aucune mesure n'est supposée avoir une valeur particulière. La mesure du côté $[BE]$ sera toujours désignée par $b$ et la mesure de la hauteur des triangles $BDE$ ou $CDE$ relative à $(DE)$ sera exprimée par $h_3=h_1-h_2$. \begin{minipage}{7cm}{\small \begin{quiz}*{qz:TeX-z} \begin{questions} \item Quelle est l'aire du triangle $ADE$ ? \begin{answers}4 \Ans0 $\dfrac{b h_2}{2}$ &\Ans1 $\dfrac{b h_1}{2} $ &\Ans0 $b h_1$ &\Ans0 $ \dfrac{b h_3}{2}$ \end{answers} \item Comme dans les cas particuliers précédents, les triangles $BDE$ en jaune et $CDE$ en rouge ont la même aire, quelle est-elle ? \begin{answers}4 \Ans0 $ \dfrac{bh_2}{2}$ &\Ans0 $\dfrac{b h_1}{2}$ &\Ans0 $ b h_3$ &\Ans1 $\dfrac{b h_3}{2}$ \end{answers} \item Les triangles $ADC$ ou $ABE$ ont aussi la même aire, obtenue par soustraction des aires précédentes, quelle est-elle? \begin{answers}4 \Ans1 $ \dfrac{bh_2}{2}$ &\Ans0 $ \dfrac{b h_1}{2}$ &\Ans0 $ bh_3$ &\Ans0 $ \dfrac{b h_3}{2}$ \end{answers} \end{questions} \end{quiz} \quad \ScoreField{qz:TeX-z} \quad \eqButton{qz:TeX-z}}\end{minipage}\quad \begin{minipage}{5cm}\centering \includeGraphisme[width=5cm]{fig_thales4} \end{minipage} \begin{center} Indications : On peut effectuer le calcul suivant : $\dfrac{bh_1}{2}- \dfrac{bh_3}{2}= \dfrac{bh_1-bh_3}{2}= \dfrac{b(h_1-h_3)}{2}= \dfrac{bh_2}{2}$ \end{center} \pagebreak Les triangles $ADC$ et $ABE$ ont la même aire: $ \dfrac{bh_2}{2}$, elle peut être aussi calculée de deux autres manières suivantes :\\ \begin{minipage}[c]{6.5cm} \noindent $\left.\parbox{6.2cm}{\begin{itemize} \item[$\bullet$] En prenant $[AD]$ pour base et $(CJ)$ pour hauteur, l'aire de $ADC$ est : $ \dfrac{AD\times CJ}{2} $\\ \item[$\bullet$] En prenant $[AE]$ pour base et $(BI)$ pour hauteur, l'aire de $ABE$ est : $ \dfrac{AE\times BI}{2} $ \end{itemize}}\right\}$ \vspace{1cm} Choisissons dans le triangle $ABC$ le côté $[AB]$ pour base et désignons sa mesure par $a$, l'aire de ce triangle est $ \dfrac{ah_2}{2}$. Elle peut aussi être calculée des deux autres façons suivantes :\\ $\left.\parbox{6.2cm}{\begin{itemize} \item[$\bullet$] En prenant $[AB]$ pour base et $(CJ)$ pour hauteur, l'aire de $ABC$ est : $ \dfrac{ AB \times CJ }{2} $ \item[$\bullet$] En prenant $[AC]$ pour base et $(BI)$ pour hauteur, l'aire de $ABC$ est : $ \dfrac{ AC \times BI }{2}$ \end{itemize}}\right\}$ \end{minipage}\quad \begin{minipage}[c]{5.5cm} \setlength{\fboxsep}{2 mm} On en déduit : $$\fcolorbox{magenta}{yellow}{\parbox{5cm}{$ AD\times CJ= AE\times BI= bh_2$}}$$ \begin{center} \includegraphics[width=4cm]{fig_thales5.mps} \end{center} On en déduit :\\ $$\fcolorbox{magenta}{yellow}{\parbox{5cm}{$ AB \times CJ = AC \times BI = ah_2$ }}$$ \end{minipage} \setlength{\fboxsep}{0 mm} \pagebreak On peut donc simplifier le calcul du rapport $ \dfrac{\text{aire}(ABC)}{\text{aire}(ABE)}$ qui est le même que le rapport $ \dfrac{\text{aire}(ABC)}{\text{aire}(ADC)}$ de la manière suivante : \begin{itemize} \item $\dfrac{AB\times \textcolor{red}{CJ}}{AD\times \textcolor{red}{CJ}}= \dfrac{\textcolor{green}{a}\textcolor{blue}{h_2}}{{b}\textcolor{blue}{h_2}}$ \qquad donc\quad$\dfrac{AB}{AD}= \dfrac{\textcolor{green}{a}}{b} $ \quad( en simplifiant par $\textcolor{red}{CJ}$ et par $\textcolor{blue}{h_2}$ ) \item $\dfrac{AC\times \textcolor{red}{BI}}{AE\times \textcolor{red}{BI}}= \dfrac{\textcolor{green}{a}\textcolor{blue}{h_2}}{{b}\textcolor{blue}{h_2}}$ \qquad donc\quad $\dfrac{AC}{AE}= \dfrac{\textcolor{green}{a}}{b} $ \quad ( en simplifiant par $\textcolor{red}{BI}$ et par $\textcolor{blue}{h_2}$ ) \end{itemize} Nous avons donc trouvé un 3\textsuperscript{ème} rapport : $ \dfrac{a}{b}=\dfrac{BC}{DE}$, égal aux deux déjà trouvés dans les deux cas particuliers précédents. On peut donc énoncer le théorème de Thalès sous la forme suivante : \setlength{\fboxsep}{1 mm} \setlength{\fboxrule}{1 mm} \begin{minipage}{ 5cm} \fcolorbox{magenta}{yellow} {\parbox{4.5cm}{ \begin{center} { \large Si $ B\in [AD] $ et $ C \in [AE]$ sont tels que $(BC)\pa (DE)$\\[3mm] alors $\dfrac{AB}{AD}= \dfrac{AC}{AE}=\dfrac{BC}{DE}$} \end{center}}} \end{minipage} \setlength{\fboxsep}{0 mm} \begin{minipage}{ 7cm } \includeGraphisme[height=5cm]{fig_thales6} \end{minipage} \pdfinfo{ /ModDate(\today)} \section{Exercices} \begin{quiz}*{qz:TeX-u} {\footnotesize \begin{questions} \item Dans la figure ci-dessous, quelle(s) condition(s) faut-il vérifier pour pouvoir appliquer ``L'égalité des 3 rapports''? \begin{center} \includeGraphisme[height=5.5cm]{exothales1} \end{center} \begin{answers}{3} \Ans0 $R$ appartient au segment $[CD]$, $S$ appartient au segment $[CE]$ &\Ans0 Les droites $(RS)$ et $(DE)$ sont parallèles &\Ans1 $R$ appartient au segment $[CD]$, $S$ appartient au segment $[CE]$ et les droites $(RS)$ et $(DE)$ sont parallèles. \end{answers} \item Sans justification, quelle est la conclusion de ``l'égalité des 3 rapports'' appliquée à la figure ci-dessus ? \begin{answers}3 \Ans0$\dfrac{CR}{CS}=\dfrac{CD}{CE}=\dfrac{DE}{RS}$&\Ans1$\dfrac{CR}{CD}=\dfrac{CS}{CE}=\dfrac{RS}{DE}$&\Ans0$\dfrac{CR}{CD}=\dfrac{CS}{CE}=\dfrac{DE}{RS}$ \end{answers} \item \Si $\dfrac{x}{4}=\dfrac{3}{5}$ \alors \begin{answers}3 \Ans0 $x=2$ &\Ans1 $x=\dfrac{12}{5}$ &\Ans0 $x=\dfrac{20}{3}$. \end{answers} \item \Si $\dfrac{4}{x}=\dfrac{3}{5}$ \alors \begin{answers}3 \Ans0 $x=6,67$ &\Ans0 $x\simeq7$ &\Ans1 $x\simeq6,67$ \end{answers} \item Dans la figure ci-dessous, les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. De plus, $AB=6\,cm$ et $AC=8\,cm$.\\ On doit se servir du théorème précédent appliqué aux triangles $AB'C'$ et $ ANM$ où l'on a placé les symétriques de $B$ et $C$ par rapport à $A$. On a donc : $AB=AB'$ et $AC=AC'$ et $ (A'B')\pa (BA)\pa (MN)$. \begin{center} \includeGraphisme[height=6cm]{exothales2} \end{center} \par''L'égalité des 3 rapports'' permet d'écrire : \begin{answers}4 \Ans0 $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$ &\Ans0$\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AC}{AM}=\dfrac{NC}{BM}$ &\Ans1 $\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AC}{AM}=\dfrac{BC}{MN}$&\Ans0$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{MN}{BC}$ \end{answers} \item Pour calculer la longueur $MN$, il manque \begin{answers}4 \Ans0 \parbox{2cm}{la longueur $AM$} &\Ans0 \parbox{2cm}{les longueurs \\$AM$ et $AN$} &\Ans0 la longueur $BC$ &\Ans1 \parbox{2cm}{les longueurs \\$BC$ et $AN$} \end{answers} \item \Si la longueur $AN=15\,cm$ \alors \begin{answers}4 \Ans0 $AM=18\,cm$ &\Ans0 $AM=15\,cm$&\Ans1 $AM=20\,cm$ &\Ans0 $AM=AN$ \end{answers} \item A l'aide de la question précédente, \si $MN=10\,cm$ \alors \begin{answers}4 \Ans0 $BC=10\,cm$ &\Ans1 $BC=4\,cm$ &\Ans0 $BC=12\,cm$ &\Ans0 $BC=6 \,cm$ \end{answers} \end{questions}} \end{quiz}\quad \ScoreField{qz:TeX-u} \quad \eqButton{qz:TeX-u} \end{document}