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Source de pythagore.tex

Fichier TeX
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\urlid{www.paul-eluard.ac-lille.fr}
%% Fichiers et convenances personnels
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\input christ5.tex
%\columnseprule0.25pt
%% Titre
\title{\begin{tabular}{c}
Démonstration du\\
\\
\Huge\sf Théorème de Pythagore\\
\end{tabular}}
\author{\begin{tabular}{c}
{\Large Christophe \sc{Poulain}}\\
\href{chrpoulain@nordnet.fr}{chrpoulain@nordnet.fr}\\
\version{1.1}
\end{tabular}
}
\date{\today}
%%Document
\begin{document}
\begin{slide}
\maketitle
\begin{center}
\begin{minipage}{12cm}
{\small\textcolor{blue}{Il est possible de démontrer le théorème de Pythagore dans un triangle
rectangle d'une manière abordable en 4\ieme. Il suffit de savoir
calculer l'aire d'un triangle, d'avoir des acquis sur les angles et le
développement d'expressions littérales.}}
\end{minipage}
\end{center}
\end{slide}
\begin{slide}
\tableofcontents\hypertarget{contents}{}
\end{slide}
\section{Notions nécessaires}
\subsection{Aire d'un triangle}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{pythagore0.mps}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
Rappellons quelques éléments nécessaires pour calculer l'aire d'un triangle.
\par Il faut disposer de:
\begin{itemize}
\item[$\diamond$] la mesure, notée $b$, de l'un des 3 côtés du triangle que nous appellerons \textcolor{blue}{base};
\item[$\diamond$] la mesure, notée $h$, de \textcolor{blue}{la hauteur relative} à \underline{cette base}.
\end{itemize}
\par La formule de calcul est la suivante
{\Large
$$\frac{b\times h}{2}$$
}
\par Remarquons qu'il y a donc trois façons possibles de calculer
l'aire d'un triangle.
\end{minipage}
\par\cas : Le cas du triangle rectangle est plus simple. Même si cette
formule reste valable, il faut également se souvenir qu'un triangle
rectangle représente un demi-rectangle.
\pagebreak
\begin{quiz}*{qz:TeX-a}{\footnotesize(Pour remettre à 0 les scores,
    cliquez sur début)}
\par Voici un questionnaire pour lequel la figure de référence est la
suivante :
$$\includegraphics{pythagore1.mps}$$
\begin{questions}
\item Quelle est l'expression de l'aire du triangle $ABC$ ?
\begin{answers}4
\Ans0 $\dfrac{BC\times BE}{2}$ &\Ans0 $\dfrac{BC\times AD}{3}$ &\Ans1
$\dfrac{AB\times CF}{2}$ &\Ans0 $BE\times AC$
\end{answers}
\item Quelle est l'expression de l'aire du triangle $CFA$ ?
\begin{answers}4
\Ans0 $\dfrac{CF\times AB}{2}$ &\Ans0 $\dfrac{AF\times AD}{2}$ &\Ans0
$AF\times CA$&\Ans1 $\dfrac{CF\times AF}{2}$
\end{answers}
\item \Si $BE=10\,cm$ et $AE=5\,cm$, quelle est l'aire du triangle $BEA$ ?
\begin{answers}4
\Ans1 $25\,cm^2$&\Ans0 $18\,cm^2$&\Ans0 $20\,cm^2$&\Ans0 $84\,cm^2$
\end{answers}
\end{questions}
\end{quiz}
\par
\raisebox{-1.5pt}{\ScoreField{qz:TeX-a}}\raisebox{3pt}{\eqButton{qz:TeX-a}}
{\footnotesize ( Pour voir le score cliquez sur fin )}
\pagebreak
\subsection{Le carré}
Rappellons quelques définitions et propriétés des quadrilatères
particuliers.
\par
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{pythagore2.mps}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{defi}
\Si quadrilatère possède 3 angles droits \alors ce quadrilatère est un rectangle.
\end{defi}
\end{minipage}
\par
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{pythagore3.mps}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{defi}
\Si un quadrilatère possède 4 côtés de même longueur \alors ce
quadrilatère est un losange.
\end{defi}
\end{minipage}
\par
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{pythagore4.mps}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{defi}
\Si un quadrilatère est \underline{\color{red} à la fois} un
rectangle et un losange \alors ce quadrilatère est un carré.
\end{defi}
\par Rappellons également que l'aire d'un carré de côté $c$ est donnée
par la formule
$${\cal A}=c^2$$
\end{minipage}
\pagebreak
\subsection{Développement}
On a la propriété suivante :
\begin{prop}
\Si $a$, $b$, $c$, $d$ sont 4 nombres quelconques \alors
$$(a+b)\times(c+d)=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d$$
\end{prop}
\par Donnons quelques exemples d'applications
$$\Eqalign{
(2x+4)\times(x+3)&=2x\times x+2x\times3+4\times x+4\times12\cr
(2x+4)\times(x+3)&=2x^2+6x+8x+12\cr
(2x+4)\times(x+3)&=2x^2+14x+12\cr
\cr
(4x-1)\times(x+2)&=4x\times x+4x\times2+(-1)\times x+(-1)\times2\cr
(4x-1)\times(x+2)&=4x^2+8x+(-x)+(-2)\cr
(4x-1)\times(x+2)&=4x^2+7x-2\cr
\cr
(3x-1)^2&=(3x-1)\times(3x-1)\cr
(3x-1)^2&=3x\times3x+3x\times(-1)+(-1)\times3x+(-1)\times(-1)\cr
(3x-1)^2&=9x^2-3x-3x+1\cr
(3x-1)^2&=9x^2-6x+1\cr
}$$
\pagebreak
\begin{quiz}*{qz:TeX-b}{\footnotesize(Pour remettre à 0 les scores, cliquez sur début)}
\par
\begin{questions}
\item Quel est le développement de l'expression $A=(x+2)\times(x+1)$ ?
\begin{answers}4
\Ans0 $A=2x+3$ &\Ans0 $A=x^2+2$ &\Ans0 $A=x^2+2x+2$ &\Ans1 $A=x^2+3x+2$
\end{answers}
\item Quel est le développement de l'expression $B=(2x-1)\times(3x-2)$ ?
\begin{answers}4
\Ans1 $B=6x^2-7x+2$ &\Ans0 $6x^2+2$ &\Ans0 $5x^2-7x+2$&\Ans1 $5x-3$
\end{answers}
\item Quel est le développement de l'expression $C=(x+3)^2$ ?
\begin{answers}4
\Ans0 $x^3+9$&\Ans1 $x^2+6x+9$&\Ans0 $2x+6$&\Ans0 $x^2+9$
\end{answers}
\item Quel est le développement de l'expression $D=(a+b)^2$ ?
\begin{answers}4
\Ans0 $D=a^2+b^2$&\Ans0 $D=a^2+a\times b+b^2$&\Ans1 $D=a^2+2\times
a\times b+b^2$&\Ans0 $D=2a+2b$
\end{answers}
\end{questions}
\end{quiz}
\par
\raisebox{-1.5pt}{\ScoreField{qz:TeX-b}}\raisebox{3pt}{\eqButton{qz:TeX-b}}
{\footnotesize ( Pour voir le score cliquez sur fin )}
\pagebreak
\section{Démonstration}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics{pythagore5.mps}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
Considérons, comme figure de départ, le triangle $ABC$, rectangle en
$A$, ci-contre et posons $AB=a$, $AC=b$ et $BC=c$.
\end{minipage}
\par
\begin{minipage}{7cm}
\par On construit alors la figure ci-contre, composée de 4 triangles $ABC$,
$BDE$, $EFG$ et $GHC$, identiques tels que les points $A$, $B$, $D$
soient alignés tout comme les points $D$, $E$, $F$ puis les points
$F$, $G$, $H$ et enfin les points $H$, $C$, $A$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{pythagore6.mps}
\end{center}
\end{minipage}
\pagebreak
\par
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{pythagore7.mps}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\par Le quadrilatère $ADFH$ possède 3 angles droits donc le
quadrilatère $ADFH$ est un rectangle.
\par Les côtés du quadrilatère $ADFH$ ont la même longueur $a+b$ donc
le quadrilatère $ADFH$ est un losange.
\par Comme le quadrilatère $ADFH$ est à la fois un rectangle et un
losange alors le quadrilatère $ADFH$ est un carré.
\end{minipage}
\par Son aire est, par conséquent :
$$\Eqalign{
{\cal A}_{ADFH}&=AD^2\cr
{\cal A}_{ADFH}&=(a+b)^2\cr
{\cal A}_{ADFH}&=(a+b)\times(a+b)\cr
{\cal A}_{ADFH}&=a\times a+a\times b+b\times a+b\times b\cr
{\cal A}_{ADFH}&=a^2+ab+ba+b^2\cr
{\cal A}_{ADFH}&=a^2+ab+ab+b^2\cr
\color{red}{\cal A}_{ADFH}&\color{red}=a^2+2\times ab+b^2\cr
}
$$
\pagebreak
\par Or, le carré $ADFH$ est composé de 5 pièces : 4 triangles
rectangles identiques et d'un quadrilatère $BEGC$. Quelle est la
nature de ce quadrilatère ?
\par
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{pythagore8.mps}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
Comme les triangles $ABC$ et $BDE$ sont identiques alors les
angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{EBD}$ sont égaux.
\par Donc
$$\Eqalign{
\textcolor{kaki}{\widehat{ABC}}+\textcolor{red}{\widehat{CBE}}+\textcolor{blue}{\widehat{EBD}}&=180\cr
\textcolor{kaki}{\widehat{ABC}}+\textcolor{red}{\widehat{CBE}}+\textcolor{blue}{\widehat{ACB}}&=180\cr
\textcolor{red}{\widehat{CBE}}+\underbrace{\textcolor{blue}{\widehat{ACB}}+\textcolor{kaki}{\widehat{ABC}}}_{\begin{tabularx}{3.5cm}{X}
$=90$ car $ABC$ est rectangle en $A$
\end{tabularx}}&=180\cr
\textcolor{red}{\widehat{CBE}}+90&=180\cr
\textcolor{red}{\widehat{CBE}}&=180-90\cr
\textcolor{red}{\widehat{CBE}}&=90ƒ\cr
}$$
\par De même, on démontre que
$$\widehat{BEG}=\widehat{EGC}=90ƒ$$
\end{minipage}
\par Le quadrilatère $BEGC$ possède donc 3 angles droits : c'est un
rectangle.
\par De plus, $BE=EG=GC=CB=c$.
\par Le quadrilatère $BEGC$ possède 4 côtés de même longueur : c'est
un losange.
\par Par conséquent, le quadrilatère $BEGC$ est à la fois un rectangle
et un losange : le quadrilatère $BEGC$ est un carré.
\par Son aire est :
$$\Eqalign{
{\cal A}_{BEGC}&=BE^2\cr
{\cal A}_{BEGC}&=c^2\cr
}$$
\par On peut recalculer l'aire du carré $ADFH$ :
$$\Eqalign{
{\cal A}_{ADFH}&=4\times{\cal A}_{ABC}+{\cal A}_{BEGC}\cr
{\cal A}_{ADFH}&=4\times\frac{AB\times AC}{2}+c^2\cr
\color{red}{\cal A}_{ADFH}&\color{red}=2\times a\times b+c^2\cr
}$$
\par Et on avait obtenu
$${\cal A}_{ADFH}=a^2+2\times a\times b+b^2$$
\par On a alors deux expressions différentes pour l'aire ${\cal
  A}_{ADFH}$ : ces deux expressions sont égales.
\par
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics{pythagore5.mps}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
$$\Eqalign{
a^2+2\times a\times b+b^2&=2\times a\times b+c^2\cr
\underbrace{\color{blue}2\times a\times
  b}_{}+a^2+b^2&=\underbrace{\color{blue}2\times a\times b}_{}+c^2\cr
a^2+b^2&=c^2\cr
}$$
\end{minipage}
\par C'est le Théorème de Pythagore.
\pagebreak
\section{Enoncé du théorème et applications}
\begin{theo}[Théorème de Pythagore]
Dans un triangle rectangle, le carré de la mesure de l'hypoténuse est
égale à la somme des carrés des mesures des côtés de l'angle droit.
\vskip5mm
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics{pythagore9.mps}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\par\Si $RST$ est un triangle rectangle en $R$, le théorème de
Pythagore permet d'écrire
$$ST^2=SR^2+RT^2$$
\end{minipage}
\end{theo}
\subsection{Applications}
Le théorème de Pythagore permet deux applications :
\begin{itemize}
\item Le calcul de la longueur d'un côté du triangle rectangle
  connaissant les deux autres :
\item La démonstration qu'un triangle n'est pas rectangle.
\end{itemize}
\pagebreak
\subsubsection{Calcul de longueurs}
\columnseprule0.25pt
\begin{multicols}{2}
Considérons un triangle $EDF$ rectangle en $F$ tel que $EF=4\,cm$ et
$FD=3\,cm$.
\par Dans le triangle $EDF$, rectangle en $F$, le théorème de
Pythagore permet d'écrire
$$\Eqalign{
ED^2&=EF^2+DF^2\cr\pause
ED^2&=4^2+3^2\cr\pause
ED^2&=16+9\cr\pause
ED^2&=25\cr\pause
ED&=5\mbox{ car }5\times5=25\cr\pause
}$$
\par La longueur $ED$ mesure $5\,cm$.\pause
\vskip2cm
\par Considérons un triangle $RST$ rectangle en $R$ tel que $ST=13\,cm$ et
$RT=10\,cm$.\pause
\par Dans le triangle $RST$, rectangle en $R$, le théorème de
Pythagore permet d'écrire
$$\Eqalign{
ST^2&=SR^2+RT^2\cr\pause
13^2&=SR^2+10^2\cr\pause
169&=SR^2+100\cr\pause
SR^2&=169-10\cr\pause
SR^2&=69\cr\pause
SR&=\sqrt{69}\cr\pause
SR&\simeq8,3\,cm\cr\pause
}$$
\par La longueur $SR$ mesure environ $8,3\,cm$.
\end{multicols}
\pagebreak
\begin{quiz}*{qz:TeX-c}{\footnotesize(Pour remettre à 0 les scores, cliquez sur début)}
\par
\begin{questions}
\item Dans le triangle $ABC$, rectangle en $B$, le théorème de
  Pythagore permet d'écrire
\begin{answers}3
\Ans0 $AB^2=AC^2+BC^2$ &\Ans0 $BC^2=AC^2+AB^2$ &\Ans1 $AC^2=AB^2+BC^2$
\end{answers}
\item \Si $OM=9$ \alors
\begin{answers}3
\Ans1 $OM^2=81$ &\Ans0 $OM^2=3$ &\Ans0 $OM^2=18$
\end{answers}
\item \Si $KL^2=64$ \alors
\begin{answers}3
\Ans0 $KL=32$&\Ans1 $KL=8$&\Ans0 $KL=9$
\end{answers}
\item \Si le triangle $RST$ est rectangle en $R$ tel que $RS=12\,cm$
  et $RT=5\,cm$ \alors
\begin{answers}3
\Ans0 $ST=\sqrt{119}\,cm$&\Ans0 $ST=17\,cm$&\Ans1 $RS=13\,cm$
\end{answers}
\item\Si le triangle $EDF$ est rectangle en $D$ tel que $ED=5\,cm$ et
  $EF=12\,cm$ \alors
\begin{answers}3
\Ans0 $DF=13\,cm$&\Ans1 $DF=\sqrt{119}\,cm$&\Ans0 $DF=17\,cm$
\end{answers}
\end{questions}
\end{quiz}
\par
\raisebox{-1.5pt}{\ScoreField{qz:TeX-c}}\raisebox{3pt}{\eqButton{qz:TeX-c}}
{\footnotesize ( Pour voir le score cliquez sur fin )}
\pagebreak
\subsubsection{Démonter qu'un triangle n'est pas rectangle}
Considérons un triangle $ABC$ tel que $AB=3\,cm$, $AC=4\,cm$ et
$BC=6\,cm$.
\par On a
\par
\begin{multicols}{2}
$\Eqalign{
BC^2&=6^2\cr
BC^2&=36\cr
}$
\par
$\Eqalign{
AC^2+AB^2&=4^2+3^2\cr
AC^2+AB^2&=16+9\cr
AC^2+AB^2&=25\cr
}$
\end{multicols}
\par Donc
$$BC^2\not=AC^2+AB^2$$
\par\Si le triangle $ABC$ {\bf était} rectangle, il le {\bf serait}
forcément en $A$ car le côté $[BC]$ est le plus grand et le théorème
de Pythagore {\bf permettrait} d'écrire
$$BC^2=AC^2+AB^2$$
\par Ce qui est impossible car $BC^2\not=AC^2+AB^2$. Donc le triangle
$ABC$ n'est pas rectangle.
\end{document}