%FSTYLE{/syracuse/fabrique/styles/fabrique.css}
%AUTEUR{Christophe Poulain}
%MAIL{chrpoulain@nordnet.fr}
%DATE{Novembre 2002}
%TITRE{Le théorème de Pythagore ...}

%P{Voici un cours sur ce fameux théorème des classes de 4ième. L'univers de ce théorème étant très vaste, on trouvera ici, pour l'instant, une activité, un cours et quelques exercices.}

%S{Une activité pour commencer}

TAG:1

FICHIER:pytha1.tex:
{\em Soit un triangle $ABC$, rectangle en $A$ tel que $AB=5\,cm$ et $AC=8\,cm$. A l'extérieur du triangle $ABC$, on construis les carrés $ABDE$, $ACFG$, $BCHI$. Soit $O$ le centre du carré $ACFG$. Par $O$, on trace la parallèle à la droite $(BC)$ et 
la perpendiculaire à la droite $(BC)$.}
\par
\vspace{5mm}
\par
On obtient alors 5 pièces de \og{}puzzle\fg{} : les 4 pièces du carré $ACFG$ auxquelles on ajoute le carré $ABDE$ (ce sont les pièces hachurées).\par
{\bf Peut-on, avec ces 5 pièces, former le carré $BCHI$ ?}
§

M:texel: fichier="pytha1" patron="base1" 

%SS{La figure}

FICHIER:pythagore1.mp:
input constantes;
input geometriepoint;
beginfig(1);
  u:=5mm;
  affixe.B(u*(1,1))so;
  affixe.C(z.B shifted(u*(sqrt(89),0)))se;
  path cc;
  cc=cercledia(B,C);
  affixe.A(cc intersectionpoint cercle(C,8u))n;
  affixe.D(z.A rotatedabout(z.B,90))so;
  affixe.E(z.B rotatedabout(z.A,-90))no;
  affixe.G(z.C rotatedabout(z.A,90))n;
  affixe.F(z.A rotatedabout(z.C,-90))n;
  affixe.H(z.B rotatedabout(z.C,90))se;
  affixe.I(z.C rotatedabout(z.B,-90))so;
  affixe.O(1/2[z.A,z.F])no;
  affixe.K((z.A--z.G) intersectionpoint para(O,B,C,15));
  affixe.L((z.C--z.F) intersectionpoint para(O,B,C,15));
  affixe.M((z.A--z.C) intersectionpoint perpen(O,B,C,15));
  affixe.N((z.F--z.G) intersectionpoint perpen(O,B,C,15));
  picture piece[];
  draw hachure(60,0.5,1);
  clip currentpicture to (z.A--z.M--z.O--z.K--cycle);
  piece1=currentpicture;
  currentpicture:=nullpicture;
  draw hachure(30,0.5,1);
  clip currentpicture to (z.C--z.M--z.O--z.L--cycle);
  piece2=currentpicture;
  currentpicture:=nullpicture;
  draw hachure(60,0.5,2);
  clip currentpicture to (z.L--z.O--z.N--z.F--cycle);
  piece3=currentpicture;
  currentpicture:=nullpicture;
  draw hachure(120,0.5,2);
  clip currentpicture to (z.N--z.G--z.K--z.O--cycle);
  piece4=currentpicture;
  currentpicture:=nullpicture;
  draw hachure(60,0.5,0);
  clip currentpicture to (z.A--z.B--z.D--z.E--cycle);
  piece5=currentpicture;
  currentpicture:=nullpicture;
  for j=1 upto 5:
    draw piece[j];
  endfor;
  affixe.B(u*(1,1))so;
  affixe.C(z.B shifted(u*(sqrt(89),0)))se;
  path cc;
  cc=cercledia(B,C);
  affixe.A(cc intersectionpoint cercle(C,8u))n;
  affixe.D(z.A rotatedabout(z.B,90))so;
  affixe.E(z.B rotatedabout(z.A,-90))no;
  affixe.G(z.C rotatedabout(z.A,90))n;
  affixe.F(z.A rotatedabout(z.C,-90))n;
  affixe.H(z.B rotatedabout(z.C,90))se;
  affixe.I(z.C rotatedabout(z.B,-90))so;
  affixe.O(1/2[z.A,z.F])no;
  affixe.K((z.A--z.G) intersectionpoint para(O,B,C,15));
  affixe.L((z.C--z.F) intersectionpoint para(O,B,C,15));
  affixe.M((z.A--z.C) intersectionpoint perpen(O,B,C,15));
  affixe.N((z.F--z.G) intersectionpoint perpen(O,B,C,15));  
  draw triangle(A,B,C);
  draw codeperp(B,A,C,5);
  draw z.B--z.D--z.E--z.A;
  draw z.A--z.G--z.F--z.C;
  draw z.C--z.H--z.I--z.B;
  draw z.K--z.L;
  draw z.M--z.N;
  draw codeperp(N,O,L,5);  
endfig;
end
§

TAG:2
M:mp2html: mp="pythagore1.mp" html="pythagore1.html"
EXEC:log:Images.pl -t1.5 -i2 -F pythagore1.png pythagore1.mp
%IMG{align=center}{pythagore1.png}

%SS{Visualisation}

<[
<a href="#animation"
   onClick="window.open('http://melusine.eu.org/syracuse/poulecl/animation1/',
                       'animation1',
                       'width=470,height=341,top=10,left=10');">
Voir l'animation</a> 
]>

%S{Vers le théorème de Pythagore}

TAG:3

FICHIER:pytha2.tex:
Exprimons l'aire du carré $BCHI$ de deux façons différentes.
\par
\begin{multicols}{2}
$$\Eqalign{
{\cal A}_{BCHI}&=BC\times BC\cr
{\cal A}_{BCHI}&=BC^2\cr
\cr
}$$
\par
$$\Eqalign{
{\cal A}_{BCHI}&={\cal A}_{ABDE}+{\cal A}_{ACFG}\cr
{\cal A}_{BCHI}&=AB\times AB+AC\times AC\cr
{\cal A}_{BCHI}&=AB^2+AC^2\cr
}$$
\end{multicols}
\par En regroupant les deux résultats, on obtient
$$BC^2=AB^2+AC^2$$
§

M:texel: fichier="pytha2" patron="base1"

%S{Le Cours}

TAG:4

FICHIER:pytha3.tex:
\begin{center}
\begin{minipage}{300pt}
\begin{center}
\hrule
\Huge{\sc Le théorème de Pythagore}
\par
\vspace{2mm}
\hrule
\end{center}
\end{minipage}
\end{center}
\par
\section*{Enoncé du théorème}
\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
{\em\large\bf Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs de ses côtés de l'angle droit.}
\end{minipage}
}
§

M:texel: fichier="pytha3" patron="base1"

FICHIER:pythagore5.mp:
input constantes;
input geometriepoint;
beginfig(1);
affixe.A(u*(1,1))so;
affixe.B(u*(5,0))se;
affixe.C(8/5[z.B,z.A rotatedabout(z.B,-90)])n;
draw triangle(A,B,C);
draw codeperp(A,B,C,5);
endfig;
end
§

M:mp2html: mp="pythagore5.mp" html="pythagore5.html"
EXEC:log:Images.pl -t1.5 -i2 -F pythagore5.png pythagore5.mp
%IMG{align=center}{pythagore5.png}

TAG:5

FICHIER:pytha4.tex:
Dans le triangle $ABC$, rectangle en $B$, le théorème de Pythagore permet d'écrire
$$AC^2=AB^2+BC^2$$
§

M:texel: fichier="pytha4" patron="base1"

%SS{Applications}

TAG:6

FICHIER:pytha5.tex:
\subsection*{Calcul de longueur}
\paragraph{1\ier cas}{\em On construit un triangle $RST$, rectangle en $R$, tel que $RS=8\,cm$ et $RT=6\,cm$. Calculer la longueur $ST$.}
§

M:texel: fichier="pytha5" patron="base1"

FICHIER:pythagore2.mp:
input constantes;
input geometriepoint;
beginfig(1);
u:=5mm;
affixe.R(u*(1,1))so;
affixe.S(u*(9,1))se;
affixe.T(u*(1,7))n;
draw triangle(R,S,T);
draw codeperp(S,R,T,5);
cotation(R,S,-2mm,-2mm,btex $8\,cm$ etex);
cotation(R,T,2mm,2mm,btex $6\,cm$ etex);
cotation(T,S,2mm,2mm,btex ? etex);
endfig;
end
§

M:mp2html: mp="pythagore2.mp" html="pythagore2.html"
EXEC:log:Images.pl -t1.5 -i2 -F pythagore2.png pythagore2.mp
%IMG{align=center}{pythagore2.png}

TAG:7

FICHIER:pytha6.tex:
Dans le triangle $RST$, rectangle en $R$, le théorème de Pythagore permet d'écrire
$$\Eqalign{
ST^2&=SR^2+RT^2\cr
ST^2&=8^2+6^2\cr
ST^2&=64+36\cr
ST^2&=100\cr
ST&=10\cr
}$$
\par La longueur $ST$ mesure $10\,cm$.
§

M:texel: fichier="pytha6" patron="base1"

TAG:8

FICHIER:pytha7.tex:
\paragraph{2\ieme cas} On construit un triangle $IJK$, rectangle en $J$, tel que $IK=9\,mm$ et $IJ=5\,mm$. Calculer la longueur $JK$.
§

M:texel: fichier="pytha7" patron="base1"

FICHIER:pythagore3.mp:
input constantes;
input geometriepoint;
beginfig(1);
u:=5mm;
affixe.I(u*(1,1))so;
affixe.K(u*(9,1))se;
path cc;
cc=cercledia(I,K);
affixe.J(point(0.15*length cc) of cc)n;
draw triangle(I,J,K);
draw codeperp(I,J,K,5);
cotation(I,K,-2mm,-2mm,btex $9\,mm$ etex);
cotation(I,J,2mm,2mm,btex $5\,cm$ etex);
cotation(J,K,2mm,2mm,btex ? etex);
endfig;
end
§

M:mp2html: mp="pythagore3.mp" html="pythagore3.html"
EXEC:log:Images.pl -t1.5 -i2 -F pythagore3.png pythagore3.mp
%IMG{align=center}{pythagore3.png}

TAG:9

FICHIER:pytha8.tex:
Dans le triangle $IJK$, rectangle en $J$, le théorème de Pythagore permet d'écrire:
$$\Eqalign{
IK^2&=IJ^2+JK^2\cr
9^2&=5^2+JK^2\cr
81&=25+JK^2\cr
JK^2&=81-25\cr
JK^2&=56\cr
JK&=\sqrt{56}\cr
JK&\simeq7,5\cr
}$$
\par La longueur $JK$ mesure environ $7,5\,mm$.
\par
\begin{defi} On appelle {\em\bf racine carrée} d'un nombre positif 
$a$ le seul nombre \underline{positif} dont le carré est $a$.
$$\left(\sqrt a\right)^2=a\kern1cm(a\geq0)$$
§

M:texel: fichier="pytha8" patron="base1"

TAG:10

FICHIER:pytha9.tex:
\subsection*{Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle.}
\par Soit $EFG$ un triangle tel que $EF=6\,cm$, $EG=2\,cm$ et $FG=7.5\,cm$.
§

M:texel: fichier="pytha9" patron="base1"

FICHIER:pythagore4.mp:
input constantes;
input geometriepoint;
beginfig(1);
affixe.F(u*(1,1))so;
affixe.G(u*(8.5,1))se;
affixe.E(cercle(F,6cm) intersectionpoint cercle(G,2cm))n;
draw triangle(E,F,G);
cotation(F,E,2mm,2mm,btex $6\,cm$ etex);
cotation(E,G,2mm,2mm,btex $2\,cm$ etex);
cotation(F,G,-2mm,-2mm,btex $7,5\,cm$ etex);
endfig;
end
§

M:mp2html: mp="pythagore4.mp" html="pythagore4.html"
EXEC:log:Images.pl -t1.5 -i2 -F pythagore4.png pythagore4.mp
%IMG{align=center}{pythagore4.png}

TAG:11

FICHIER:pytha10.tex:
Dans le triangle $EFG$, $[FG]$ est le plus grand côté.
$$\left.
\begin{tabular}{l}
$FG^2=7,5^2=42,25$\\
\\
$EF^2+EG^2=6^2+2^2=36+4=40$\\
\end{tabular}
\right\}FG^2\not=EF^2+EG^2
$$
\par Mais, si le triangle était rectangle, ce serait en $E$ (car $[FG]$ est le plus grand côté) et le théorème de Pythagore permettrait d'écrire
$$FG^2=EF^2+EG^2$$
\par Or, cette égalité est fausse : donc le triangle $EFG$ n'est pas rectangle.
§

M:texel: fichier="pytha10" patron="base1"

%S{Les exercices}

TAG:12
%%EOF