%TITRE{Centres étrangers 1997} %VTEX{\entete} %P{§l/syracuse/poulecl/brevet/index.xml§Retour à l'index des sujets§} %S{Partie numérique} %SS{Exercice 1} TAG:1 FICHIER:centresetrangers1997num1.tex: Factoriser $A$ et $B$, développer et réduire $C$ : $$A=(x-1)^2-(8-x)(x-1)\kern1cm B=x^2-26x+169\kern1cm C=(4x+1)^2-(5x-2)(3x-1)$$ § M:texel: fichier="centresetrangers1997num1" patron="base1" %SS{Exercice 2} TAG:2 FICHIER:centresetrangers1997num2.tex: Résoudre les équations ou inéquations : \begin{multicols}{3} $x(2x-7)=0$\par $4x^2=100$\par$\dfrac{5x+1}{6}>\dfrac{3x-3}{8}$ \end{multicols} § M:texel: fichier="centresetrangers1997num2" patron="base1" %SS{Exercice 3} TAG:3 FICHIER:centresetrangers1997num3.tex: Calculer les nombres suivants (on demande des valeurs exactes les plus simples possibles et non des valeurs approchées) : $$\Eqalign{ E&=\sqrt{16}+\sqrt9-\sqrt25\kern1cm&&\cr F&=4\sqrt2\times\sqrt{900}\mbox{ (en fonction de $\sqrt5$)}&G&=\left(\sqrt6-\sqrt3\right)^2\mbox{ (en fonction de $\sqrt2$) }\cr }$$ § M:texel: fichier="centresetrangers1997num3" patron="base1" %SS{Exercice 4} TAG:4 FICHIER:centresetrangers1997num4.tex: Le périmètre d'un rectangle est égal à $36\,cm$. Si on triple sa longueur et que l'on double sa largeur, son périmètre augmente de $56\,cm$. Déterminer la longueur et la largeur du rectangle. § M:texel: fichier="centresetrangers1997num4" patron="base1" %S{Partie géométrique} %SS{Exercice 1} TAG:5 FICHIER:centresetrangers1997.1:*: FICHIER:centresetrangers1997geo1.tex: $$\includegraphics{centresetrangers1997.1}$$ L'unité est le centimètre. \par $ABCDEFGH$ est un pavé droit dont les dimensions sont $AB = 8$; $BC = 6$; $EA = 5$. Le point $M$ est le milieu de $[DC]$. \begin{enumerate} \item Dessiner dans le plan en vraie grandeur le quadrilatère $ABCM$. \par Démontrer que le quadrilatère $ABCM$ est un trapèze rectangle. Calculer son aire en précisant l'unité. \item On considère la pyramide $EABCM$ de sommet $E$. Quelle est sa hauteur ? (On ne demande pas de justifier la réponse.) \par Calculer le volume de cette pyramide en précisant l'unité. \end{enumerate} § M:texel: fichier="centresetrangers1997geo1" patron="base1" %SS{Exercice 2} TAG:6 FICHIER:centresetrangers1997.2:*: FICHIER:centresetrangers1997geo2.tex: \par\compo{2}{centresetrangers1997}{1}{On donne le croquis ci-contre qu'on ne demande pas de reproduire. L'unité est le centimètre. \par Le triangle $BHC$ est rectangle en $H$. $AH = 2$, $HC = 5,2$, $BC = 6,5$. Les dimensions ne sont pas respectées sur le croquis. \begin{enumerate} \item Calculer $BH$. \item Calculer $\sin\widehat{HBC}$. En déduire la mesure de l'angle $\widehat{HBC}$ (on donnera la valeur arrondie au degré près). \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{ABH}$ (on donnera la valeur arrondie au degré près). \end{enumerate} } § M:texel: fichier="centresetrangers1997geo2" patron="base1" %SS{Exercice 3} TAG:7 FICHIER:centresetrangers1997geo3.tex: L'unité est le centimètre. \par On donne un triangle $ABD$ tel que $AB= 5$, $AD = 6$ et $BD = 7$. \begin{enumerate} \item Construire le point $E$ image du point $A$ par la translation de vecteur $\vecteur{\strut BD}$. \item Construire le point $F$ tel que $\vecteur{\strut BF}=\vecteur{\strut AB}+\vecteur{\strut BD}$. \item Montrer que $D$ est le milieu de $[EF]$. \end{enumerate} § M:texel: fichier="centresetrangers1997geo3" patron="base1" %S{Problème} TAG:8 FICHIER:centresetrangers1997.3:*: FICHIER:centresetrangers1997pb.tex: L'unité de longueur est le centimètre. \par $EFG$ est un triangle tel que $EF = 6$, $EG = 8$, $FG = 10$. \begin{enumerate} \item Dans cette première partie, $M$ est le point de la demi-droite $[EF)$ tel que $M$ n'appartient pas au segment $[EF]$ et $FM = 2$. La parallèle à la droite $(EG)$ passant par $M$ coupe la droite $(GF)$ en $L$ selon la figure suivante sur laquelle les dimensions ne sont pas respectées. $$\includegraphics{centresetrangers1997.3}$$ \begin{enumerate} \item Calculer $FL$ et $ML$. (On donnera chacun des deux résultats sous forme d'une fraction irréductible.) \item Calculer le périmètre ${\cal P}_1$ du triangle $EFG$ et le périmètre ${\cal P}_2$ du triangle $FML$. Démontrer que ${\cal P}_2=\dfrac{1}{3}{\cal P}_1$ et expliquer ce résultat. \item Démontrer que les triangles $EFG$ et $FML$ sont rectangles. \item Calculer l'aire ${\cal A}_1$ du triangle $EFG$ et l'aire ${\cal A}_2$ du triangle $FML$ en précisant l'unité. Démontrer que ${\cal A}_2=\dfrac{1}{9}{\cal A}_1$ et expliquer ce résultat. \end{enumerate} \item Dans cette deuxième partie, le point $M$ est toujours sur la demi-droite $[EF)$ et $M$ n'appartient pas au segment $[EF]$. On pose $FM = x$. La parallèle à la droite $(EG)$ passant par $M$ coupe la droite $(GF)$ en $L$. \begin{enumerate} \item Calculer $ML$ et $FL$ en fonction de $x$. \item Démontrer que le périmètre ${\cal P}_2$ du triangle $FML$, exprimé en fonction de $x$, est égal à $4x$. \item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on ${\cal P}_1={\cal P}_2$ ? \end{enumerate} \item Soit $(O,\,I,\,J)$ un repère orthogonal tel que $OI=2$ et $OJ=0,5$. \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement les fonctions affines définies par $f(x)=4x$ et $g(x)=24$. \item Comment ce graphique permet-il de retrouver les résultats de la question 2.c.? \end{enumerate} \end{enumerate} § M:texel: fichier="centresetrangers1997pb" patron="base1" %P{§l/syracuse/poulecl/brevet/index.xml§Retour à l'index des sujets§} %%EOF