L'unité de longueur est le centimètre. \par $EFG$ est un triangle tel que $EF = 6$, $EG = 8$, $FG = 10$. \begin{enumerate} \item Dans cette première partie, $M$ est le point de la demi-droite $[EF)$ tel que $M$ n'appartient pas au segment $[EF]$ et $FM = 2$. La parallèle à la droite $(EG)$ passant par $M$ coupe la droite $(GF)$ en $L$ selon la figure suivante sur laquelle les dimensions ne sont pas respectées. $$\includegraphics{centresetrangers1997.3}$$ \begin{enumerate} \item Calculer $FL$ et $ML$. (On donnera chacun des deux résultats sous forme d'une fraction irréductible.) \item Calculer le périmètre ${\cal P}_1$ du triangle $EFG$ et le périmètre ${\cal P}_2$ du triangle $FML$. Démontrer que ${\cal P}_2=\dfrac{1}{3}{\cal P}_1$ et expliquer ce résultat. \item Démontrer que les triangles $EFG$ et $FML$ sont rectangles. \item Calculer l'aire ${\cal A}_1$ du triangle $EFG$ et l'aire ${\cal A}_2$ du triangle $FML$ en précisant l'unité. Démontrer que ${\cal A}_2=\dfrac{1}{9}{\cal A}_1$ et expliquer ce résultat. \end{enumerate} \item Dans cette deuxième partie, le point $M$ est toujours sur la demi-droite $[EF)$ et $M$ n'appartient pas au segment $[EF]$. On pose $FM = x$. La parallèle à la droite $(EG)$ passant par $M$ coupe la droite $(GF)$ en $L$. \begin{enumerate} \item Calculer $ML$ et $FL$ en fonction de $x$. \item Démontrer que le périmètre ${\cal P}_2$ du triangle $FML$, exprimé en fonction de $x$, est égal à $4x$. \item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on ${\cal P}_1={\cal P}_2$ ? \end{enumerate} \item Soit $(O,\,I,\,J)$ un repère orthogonal tel que $OI=2$ et $OJ=0,5$. \begin{enumerate} \item Représenter graphiquement les fonctions affines définies par $f(x)=4x$ et $g(x)=24$. \item Comment ce graphique permet-il de retrouver les résultats de la question 2.c.? \end{enumerate} \end{enumerate} |