%TITRE{Aix 1998} %VTEX{\entete} %P{§l/syracuse/poulecl/brevet/index.xml§Retour à l'index des sujets§} %S{Partie numérique} %SS{Exercice 1} TAG:1 FICHIER:aix1998num1.tex: Calculer $$A=\frac{7}{3}-\frac{5}{3}\times\frac{2}{3}\kern1cm\mbox{et}\kern1cm B=\sqrt{200}-4\sqrt3\times\sqrt6$$ \par ($B$ doit être écrit sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus petit possible). § M:texel: fichier="aix1998num1" patron="base1" %SS{Exercice 2} TAG:2 FICHIER:aix1998num2.tex: Résoudre le système d'équations $$\left\{\begin{tabular}{l} $2x+y=90$\\ $30x+40y=2\,000$\\ \end{tabular} \right. $$ § M:texel: fichier="aix1998num2" patron="base1" %SS{Exercice 3} TAG:3 FICHIER:aix1998.7:*: FICHIER:aix1998num3.tex: \par\compo{7}{aix1998}{1}{On donne $$f(x)=x+2;\kern1cm g(x)=2;\kern1cm h(x)=2x$$ \begin{enumerate} \item Parmi les quatre droites tracées ci-dessous, trois d'entre elles représentent les fonctions $f$, $g$ et $h$. Laquelle représente $f$ ? Laquelle représente $g$ ? Laquelle représente $h$ ? \item Parmi ces fonctions, l'une est linéaire, laquelle ? Lesquelles sont affines ? \end{enumerate} } § M:texel: fichier="aix1998num3" patron="base1" %SS{Exercice 4} TAG:4 FICHIER:aix1998.1:*: FICHIER:aix1998.2:*: FICHIER:aix1998.3:*: FICHIER:aix1998num4.tex: \begin{enumerate} \item Laquelle de ces surfaces hachurées a pour aire $25-(x+3)^2$ ? $$\includegraphics{aix1998.1}$$ $$\includegraphics{aix1998.2}\kern1cm\includegraphics{aix1998.3}$$ \par On pose $E=25-(x+3)^2$. \item Développer et réduire $E$. \item Factoriser $E$. \item Calculer E pour $x=\sqrt2$, puis en donner la troncature à 0,01 près. \item Résoudre l'équation $(2-x)(x+8)=0$. \par Expliquer, en utilisant la question 1, pourquoi l'une des solutions de l'équation était prévisible. \end{enumerate} § M:texel: fichier="aix1998num4" patron="base1" %S{Partie géométrique} %SS{Exercice 1} TAG:5 FICHIER:aix1998.4:*: FICHIER:aix1998geo1.tex: \par\compo{4}{aix1998}{1}{Une pyramide régulière est représentée ici en perspective : \begin{enumerate} \item Sur le solide $SABCD$, nommer les arêtes de même longueur que $[SA]$. \par Quelle est la nature de la face ABCD ? Expliquer. \item Calculer le volume de la pyramide $SABCD$. \end{enumerate} } § M:texel: fichier="aix1998geo1" patron="base1" %SS{Exercice 2} TAG:6 FICHIER:aix1998.5:*: FICHIER:aix1998geo2.tex: \par\compo{5}{aix1998}{1}{Un câble de $20\,m$ de long est tendu entre le sommet d'un poteau vertical et le sol horizontal. Il forme un angle de 40° avec le sol (voir schéma). \begin{enumerate} \item Calculer la hauteur du poteau. \item Représenter la situation par une figure à l'échelle $\dfrac{1}{200}$ (les données de la situation doivent être placées sur la figure). \end{enumerate} } § M:texel: fichier="aix1998geo2" patron="base1" %SS{Exercice 3} TAG:7 FICHIER:aix1998geo3.tex: $(O,I,J)$ est un repère orthonormal du plan tel que $OI=1\,cm$ et $OJ=1\,cm$. \begin{enumerate} \item Tracer le repère et ses axes ainsi que les points $A(3;12)$; $B(11;-6)$; $P(7;3)$. \par Démontrer que $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à $P$. \item Tracer la droite $(d)$ d'équation $y=\dfrac{4}{9}x$. \par Démontrer que le point $P$ n'est pas sur la droite $(d)$. \item Calculer le coefficient directeur de la droite $(AB)$. \par Les droites $(d)$ et $(AB)$ sont-elles perpendiculaires ? Justifier. \item Les points $A$ et $B$ sont-ils symétriques par rapport à la droite $(d)$ ? Justifier. \end{enumerate} § M:texel: fichier="aix1998geo3" patron="base1" %S{Problème} TAG:8 FICHIER:aix1998.6:*: FICHIER:aix1998pb.tex: \par\compo{6}{aix1998}{1}{\paragraph{Prélude} \begin{enumerate} \item D'après la figure ci-contre, tracer $ABCP$ en respectant les données suivantes : $$AB=6\,cm;\,BC=8\,cm;\,BM=3\,cm\;\mbox{ et } (CP)//(AB)$$ \item Mesurer les angles $\widehat{BAM}$ et $\widehat{MAC}$. \par Pourquoi ces mesures ne permettent-elles pas d'affirmer que la droite $(AM)$ est la bissectrice de $\widehat{BAC}$? \end{enumerate} } \par{\em Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.} \paragraph{Première Partie} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la longueur $AC$. \item Calculer $\widehat{BAC}$ et $\widehat{BAM}$ le plus précisément possible. \par Expliquer pourquoi les valeurs obtenues ne permettent pas d'affirmer que la droite $(AM)$ est la bissectrice de $\widehat{BAC}$. \end{enumerate} \item Calculer la longueur $CP$. \item Quelle est la nature du triangle $ACP$ ? Que peut-on en déduire pour les angles $\widehat{MAC}$ et $\widehat{CPM}$ ? \item Démontrer alors que $\widehat{MAC}=\widehat{BAM}$ et donc que la droite $(AM)$ est bien la bissectrice de $\widehat{BAC}$. \end{enumerate} \paragraph{Deuxième Partie} \begin{enumerate} \item La droite $(AM)$ est, d'après la première partie, la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ . Sur la figure tracée à la première question du prélude : \begin{itemize} \item tracer la bissectrice, $(d)$, de l'angle $\widehat{ABM}$; \item nommer $O$ le point d'intersection de la droite $(d)$ et de la droite $(AM)$; \item tracer la hauteur issue de $O$ du triangle $AOB$ et la hauteur issue de $O$ du triangle $BOM$ (ces hauteurs sont des rayons du cercle inscrit dans le triangle $BAC$); \item tracer ce cercle. \end{itemize} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle $ABM$. \item Exprimer l'aire du triangle $AOB$ et l'aire du triangle $BOM$ en fonction du rayon $r$ du cercle inscrit dans le triangle $BAC$. \item Trouver une relation entre ces trois aires. \par En déduire le rayon $r$. \end{enumerate} \end{enumerate} § M:texel: fichier="aix1998pb" patron="base1" %P{§l/syracuse/poulecl/brevet/index.xml§Retour à l'index des sujets§} %%EOF