En 1997, le championnat de voile UNSS de la région Bourgogne s'est
déroulé au lac des Settons dans la Nièvre.
\par Le plan est muni d'un repère orthonormal $(S,I,J)$; une unité
représente $10\,km$ sur chaque axe. $S$ désigne le lac des Settons,
$D$ la ville de Dijon, de coordonnées $(7;2)$, $N$ la ville de Nevers,
de coordonnées $(-7;-2)$ et $C$ la ville de Corbigny (dans la Nièvre),
de coordonnées $(-3;1)$.
\begin{enumerate}
\item Faire une figure, en plaçant les points $S$, $D$, $N$, $C$ ainsi
que les points $A(-4;7)$ et $M(6;-9)$ représentant les villes
d'Auxerre et de Mâcon. On complétera cette figure au fur et à mesure
du problème.
\item
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les coordonnées des vecteurs $\vecteur{\strut NS}$
et $\vecteur{\strut SD}$?
\item Montrer que le point $S$ est le milieu du segment $[ND]$.
\end{enumerate}
\item Montrer que $ND=2\sqrt{53}$ et en déduire la distance à vol
d'oiseau Nevers-Dijon, arrondie à la dizaine de kilomètres la plus
proche.
\item Montrer qu'une équation de la droite $(AN)$ est $y=3x+19$.
\item Déterminer une équation de la droite $(\Delta)$, perpendiculaire
à la droite $(AN)$ et contenant le point $S$.
\item Vérifier, par le calcul, que la droite $(\Delta)$ passe par le
point $C$.
\item En justifiant la réponse :
\begin{enumerate}
\item Les droites $(CS)$ et $(AD)$ sont-elles parallèles ?
\item La droite $(CS)$ contient-elle le milieu du segment $[AN]$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}