%TITRE{Poitiers 1999}
%VTEX{\entete}

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%S{Partie numérique}

%SS{Exercice 1}
TAG:1
FICHIER:poitiers1999num1.tex:
$$A=\frac{12}{15}-\frac{8}{15}\div\frac{16}{9}\kern1cm
B=\left(3\sqrt2-4\right)\left(3\sqrt2+4\right)$$
\par Calculer les nombres $A$ et $B$ et vérifier qu'ils sont inverses
l'un de l'autre.
§

M:texel: fichier="poitiers1999num1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:2

FICHIER:poitiers1999.1:*:
FICHIER:poitiers1999num2.tex:
\par\compo{1}{poitiers1999}{1}{{\em L'unité de longueur est le
centimètre.}\par Sur la figure ci-contre, $ABCD$ est un rectangle; $E$
est le point du segment $[AB]$ tel que $AE=8$ ; $F$ est le point du
segment $[AD]$ tel que $DF=6$.\par On pose $EB=x$ ($x$ est un nombre
positif) et on donne $AF=2x$.\par La parallèle au côté $[AD]$ passant
par $E$ coupe le côté $[CD]$ en $G$. La parallèle au côté $[AB]$
passant par $F$ coupe le côté $[BC]$ en $H$. Les droites $(EG)$ et
$(FH)$ se coupent en $I$.}
\begin{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $x$ le rectangle $ABCD$ est-il un carré?
\item Pour quelle valeur de $x$ les rectangles $DFIG$ et $IEBH$
ont-ils même aire ?
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="poitiers1999num2" patron="base1"

%SS{Exercice 3}
TAG:3

FICHIER:poitiers1999num3.tex:
A l'entrée d'une ville, un panneau lumineux (tableau ci-dessous) donne
la capacité des quatre parcs de stationnement payant de la ville et le
nombre de places disponibles pour chacun d'eux
$$\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
&Capacité&Places disponibles\\
\hline
$P_1$&500&125\\
\hline
$P_2$&850&136\\
\hline
$P_3$&340&102\\
\hline
$P_4$&310&124\\
\hline
\end{tabular}
$$
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le parc $P_1$ a un taux d'occupation de $75\,\%$.
\item Classer ces quatre parcs de stationnement dans l'ordre
décroissant de leurs taux d'occupation.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="poitiers1999num3" patron="base1"

%S{Partie géométrique}

%SS{Exercice 1}
TAG:4

FICHIER:poitiers1999geo1.tex:
{\em Le plan est rapporté à un repère orthonormal. L'unité graphique
est le centimètre.}\par On considère les points $A(2;-4)$ et
$B(-2;8)$.\par Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure
de l'exercice.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite $(AB)$ a pour équation $y=-3x+2$.
\item On considère la droite $(d)$ d'équation
$y=\dfrac{1}{3}x+2$. Construire la droite $(d)$.
\par Les droites $(d)$ et $(AB)$ sont-elles perpendiculaires ?
Justifier la réponse.
\item Calculer les coordonnées du point $R$, point d'intersection des
droites $(d)$ et $(AB)$ et démontrer que $R$ est le milieu du segment
$[AB]$.
\item Que représente la droite $(d)$ pour le segment $[AB]$ ?
Justifier la réponse.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="poitiers1999geo1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:5

FICHIER:poitiers1999.2:*:
FICHIER:poitiers1999geo2.tex:
La figure ci-après, que l'on ne demande pas de reproduire, représente
un rectangle $ABCD$ de centre $O$ et le point $E$ symétrique de $O$
par rapport à $C$.
$$\includegraphics{poitiers1999.2}$$
\begin{enumerate}
\item On considère la rotation de centre $O$ qui transforme $B$ en
$C$.\par Quelle est l'image de $D$ par cette rotation? (On ne demande
pas de justifier.)
\item Parmi les affirmations suivantes, recopier celles qui sont
vraies (on ne demande pas de justification).
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\vecteur{\strut OA}=\vecteur{\strut OC}$
\item $\vecteur{\strut OC}=\vecteur{\strut OE}$
\item $OA=CE$
\item $\vecteur{\strut BE}=\vecteur{\strut BO}+\vecteur{\strut OE}$
\item $\vecteur{\strut AB}+\vecteur{\strut AC}=\vecteur{\strut BC}$
\item $\vecteur{\strut AB}+\vecteur{\strut AD}=\vecteur{\strut AC}$
\item $D$ est l'image de $C$ par la translation de vecteur
$\vecteur{\strut AB}$
\end{enumerate}
\end{multicols} 
\item On considère le point $F$ tel que $\vecteur{\strut
OF}=\vecteur{\strut BE}$. Démontrer que $C$ est le milieu du segment
$[BF]$.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="poitiers1999geo2" patron="base1"

%S{Problème}
TAG:6

FICHIER:poitiers1999.3:*:
FICHIER:poitiers1999pb.tex:
\par\compo{3}{poitiers1999}{1}{{\em L'unité de longueur est le
centimètre}. La figure ci-contre représente un trapèze rectangle
$ABCD$.  \par On donne $AB=3$, $AD=4$, $CD=5$. Les droites $(AB)$ et
$(CD)$ sont parallèles. Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en
$O$.}
\paragraph{Première partie}
\begin{enumerate}
\item Reproduire la figure en vraie grandeur.\par{\em On pourra
commencer la construction au centre d'une feuille de papier millimétré
et la compléter au fur et à mesure du problème.}
\item Démontrer que le triangle $BCD$ est isocèle.
\item Montrer que l'aire en centimètres carrés du trapèze $ABCD$ est
égale à 16.
\item Montrer que $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}$.
\item Les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $S$. Placer le point
$S$.
\par Démontrer que les angles $\widehat{CBD}$ et $\widehat{ABS}$ ont
même mesure.
\end{enumerate}
\paragraph{Deuxième partie}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item En posant $SA=x$, démontrer que$$\frac{x}{x+4}=\frac{3}{5}$$
\item En déduire la distance $SA$.
\end{enumerate}
\item Déterminer la valeur arrondie à un degré près de la mesure de
l'angle $\widehat{ASB}$.
\item Construire le point $B'$, symétrique du point $B$ par rapport à
la droite $(AD)$.
\par Construire le point $S'$, image du point $B'$ par la translation
de vecteur $\vecteur{\strut BA}$.
\item Tracer le segment $[S'D]$.
\par On considère maintenant la figure comme une partie d'un patron de
la pyramide de base $ABCD$, de sommet $S$ et de hauteur $[SA]$.
\par Terminer le patron de cette pyramide en prenant soin de coder sur
la figure les segments de même longueur.
\item Calculer le volume de cette pyramide.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="poitiers1999pb" patron="base1"

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