%TITRE{Polynésie Septembre 2000}
%VTEX{\entete}

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%S{Partie numérique}

%SS{Exercice 1}
TAG:1

FICHIER:polynesiesep2000num1.tex:
Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée.
$$A=\frac{16}{45}\times\frac{35}{8}\qquad
B=-\frac{4}{3}+\frac{11}{12}\div\frac{22}{18}\qquad
C=\frac{2,1\times 10^{-5}}{70\times 10^{-7}}$$
§

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%SS{Exercice 2}
TAG:2

FICHIER:polynesiesep2000num2.tex:
\begin{enumerate}
\item On donne l'expression $A=\left(5-\sqrt2\right)\left(5+\sqrt2\right)$.
\\Montrer, par le calcul, que $A=23$.
\item On donne le produit suivant $B=\sqrt{21}\times\sqrt{42}$.
\\Ecrire $B$ sous la forme $a\sqrt2$, où $a$ est un entier.
\item Ecrire sous la forme d'une fraction simplifiée : $C=\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{45}}$.
\end{enumerate}
§

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%SS{Exercice 3}
TAG:3

FICHIER:polynesiesep2000num3.tex:
On considère l'expression $E=(x+2)^2-(x+2)(5x-1)$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Résoudre l'équation $(x+2)(-4x+3)=0$.
\end{enumerate}
§

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%SS{Exercice 4}
TAG:4

FICHIER:polynesiesep2000num4.tex:
Résoudre le système d'équations à deux inconnues $x$ et $y$ suivant :
$$\left\{\begin{array}{l}
4x+2y=14\\
3x-5y=30\\
\end{array}
\right.
$$
§

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%S{Partie géométrique}

%SS{Exercice 1}
TAG:5

FICHIER:polynesiesep2000.3:*:
FICHIER:polynesiesep2000geo1.tex:
\compo{3}{polynesiesep2000}{1}{Dans tout cet exercice, les mesures sont exprimées en $cm$.
\\La figure n'est pas à l'échelle.
\\On donne : $AB=5$ ; $AE=3$ ; $AF=4,5$ ; $AC=7,5$.
\\Démontrer que les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles.
}
§

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%SS{Exercice 2}
TAG:6

FICHIER:polynesiesep2000.4:*:
FICHIER:polynesiesep2000geo2.tex:
Un bateau est amarré par sa proue$^*$ $A$ à une bouée $B$, située au niveau de la mer.
\\\textit{Les mesures des longueurs sont exprimées en mètres.}
\\\textit{Le dessin ci-dessous n'est pas à l'échelle.}
\\\textit{$(^*)$ La proue désigne l'avant du bateau.}
$$\includegraphics[scale=0.75]{polynesiesep2000.4} $$
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, l'angle $\widehat{ABC}$ mesure 30°.
\\On a $AB=6$ ; montrer que $AC=3$.
\item Construire le triangle $ABC$, à l'échelle $1/100$.
\item Calculer la longueur $BC$ ; on donnera le résultat arrondi au décimètre.
\end{enumerate}
\item On veut calculer $DB$.
\begin{enumerate}
\item Sachant que $AD=4$, calculer $DC$, dont on donnera une valeur arrondie au décimètre.
\item En déduire $DB$, arrondi au mètre.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
§

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%SS{Exercice 3}
TAG:7

FICHIER:polynesiesep2000geo3.tex:
Dans cet exercice, les longueurs sont exprimées en centimètres.
\begin{enumerate}
\item Construire un triangle $ABC$ tel que :
$$AB=4\quad AC=5\quad BC=6$$
\item Construire le point $D$, image du point $A$ par la translation de vecteur $\vecteur{BC}$.
\item Démontrer que les segments $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu, que l'on nommera $I$.
\item Construire le point $M$ tel que $\vecteur{AM}=\vecteur{AB}+\vecteur{AI}$.
\item Recopier et compléter les égalités suivantes :
$\vecteur{CD}=\vecteur{B...}$ et $\vecteur{MC}=\vecteur{...I}$.
\end{enumerate}
§

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%S{Problème}
TAG:8

FICHIER:polynesiesep2000.1:*:
FICHIER:polynesiesep2000.2:*:
FICHIER:polynesiesep2000pb.tex:
\textit{Dans tout le problème, les longueurs sont exprimées en $cm$ et les volumes en $cm^3$.}

\dispo{1}{\includegraphics{polynesiesep2000.1}}{\includegraphics{polynesiesep2000.2}}

On rappelle que le volume du cylindre de révolution d'aire de base $S$ et de hauteur $h$ est donné par la formule $V=S \times h$.

On rappelle que le volume d'un cône de révolution d'aire de base $S$ et de hauteur $h$ est donné par la formule $V=\dfrac13S \times h$.

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie I}} 
\end{center}

On considère les deux verres représentés ci-dessus.
\begin{itemize}
\item le premier verre est un cylindre de révolution dont l'aire de base est 30 et dont la hauteur mesure $2x$, où $x$ est un nombre positif, $x \leqslant 4$.
\item Le deuxième verre est constitué d'un cône dont l'aire de base est 30 et dont la hauteur mesure $x$, surmonté d'un cylindre dont l'aire de base est 30 et dont la hauteur vaut 2.
\end{itemize}
Soient $V_{1}$ le volume du premier verre et $V_{2}$ le volume du deuxième verre.
\begin{enumerate}
\item Exprimer ces volumes en fonction de $x$.
\item
\begin{enumerate}
\item $V_{1}$ est-il proportionnel à $x$ ? Justifier.
\item $V_{2}$ est-il proportionnel à $x$ ? Justifier.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}
§

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FICHIER:polynesiesep2000pb1.tex:
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie II}} 
\end{center}

\textit{Cette partie peut être traitée même sans avoir résolu la partie I.}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Tracer dans un repère orthogonal $(O, I, J)$ en prenant :
\begin{itemize}
\item $2cm$ pour 1 unité sur l'axe des abscisses ;
\item $1cm$ pour 10 unités sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
On placera l'origine $O$ du repère en bas à gauche de la feuille.
\item Dans ce repère, construire les représentations graphiques des fonctions $f_{1}$ et $f_{2}$ définies par :

$f_{1}(x)=60x$ et $f_{2}(x)=10x+60$.
\end{enumerate}
\item Résoudre l'équation suivante :
$$ 60x=10x+60$$
\item Retrouver sur le graphique la solution de cette équation, en faisant apparaître en couleur les tracés effectués.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie III}} 
\end{center}
En utilisant les résultats obtenus dans la partie I et la partie II, déterminer pour quelles valeurs de $x$ le deuxième verre a une contenance inférieure à celle du premier.
§

M:texel: fichier="polynesiesep2000pb1" patron="base1"

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