%TITRE{Amerique du Nord 2003}
%VTEX{\entete}

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%S{Partie numérique}

%SS{Exercice 1}
TAG:1
FICHIER:ameriquenord2003num1.tex:
$$A=1-\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4} \right) \qquad
B=\dfrac{3-\dfrac{5}{2}}{1+\dfrac{1}{5}}$$
\begin{enumerate}
\item En faisant apparaître les différentes étapes de calcul, écrire
$A$ et $B$ sous la forme d'une fraction irréductible.
\item Calculer les quatre-cinquièmes de $\dfrac{35}{8}$.
\\On appellera $C$ le résultat donné sous forme de fraction
irréductible.
\item Montrer que la somme $A+B+C$ est un nombre entier.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="ameriquenord2003num1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:2
FICHIER:ameriquenord2003num2.tex:
\begin{enumerate}
\item En faisant apparaître les étapes, calculer et donner l'écriture
scientifique de : 
$$D=\dfrac{2\times 10^{3}\times5 \times \left(
10^{-5}\right)^{2} }{2+18}$$
\item
\begin{enumerate}
\item $E=2\sqrt{27}+\sqrt{18} \times \sqrt{6}$.
\\Calculer et écrire $E$ sous la forme $a\sqrt{3}$ ($a$ entier relatif).
\item $F=\left( \sqrt{2}-4\right) \left( 2+4\sqrt{2}\right)$.
\\Calculer et écrire $F$ sous la forme $b\sqrt{2}$ ($b$ entier relatif).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="ameriquenord2003num2" patron="base1"

%SS{Exercice 3}
TAG:3
FICHIER:ameriquenord2003num3.tex:
Soit l'expression :
$P=\left(2x-1 \right)^{2}-16$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $P$ pour $x=\dfrac{1}{2}$.
\item Factoriser $P$.
\item Résoudre l'équation
$\left(2x-5 \right) \left(2x+3 \right)=0 $.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="ameriquenord2003num3" patron="base1"

%SS{Exercice 4}
TAG:4
FICHIER:ameriquenord2003num4.tex:
\textit{Les deux questions posées dans cet exercice sont
indépendantes.}
\\$6510$ fourmis noires et $4650$ fourmis rouges décident de s'allier
pour combattre les termites.
\begin{enumerate}
\item Pour cela, la reine des fourmis souhaite constituer, en
utilisant toutes les fourmis, des équipes qui seront toutes composées
de la même façon : un nombre de fourmis rouges et un autre nombre de
fourmis noires.
\\Quel est le nombre maximal d'équipes que la reine peut ainsi former ?
\item Si toutes les fourmis, rouges et noires, se placent en file
indienne, elles forment une colonne de $42,78m$ de long.
\\Sachant qu'une fourmi rouge mesure $2mm$ de plus qu'une fourmi
noire, déterminer la taille d'une fourmi rouge et celle d'une fourmi
noire.
\end{enumerate}   
§

M:texel: fichier="ameriquenord2003num4" patron="base1"

%S{Partie géométrique}

%SS{Exercice 1}
TAG:5
FICHIER:ameriquenord2003.2:*:
FICHIER:ameriquenord2003geo1.tex:
\Compo{1}{ameriquenord2003.2}{1}
{
\textit{Pour cet exercice, on laissera visible les traits de
construction mais aucune justification n'est demandée.}
}
\\Soit le triangle équilatéral $MAK$ de côté mesurant $4cm$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Construire le point $I$ image de $M$ dans la rotation de centre
$K$ et d'angle $120$° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
\item Quelle est la nature exacte du triangle $AKI$ ? (On ne demande
pas de justification.)
\end{enumerate}
\item Construire le point $S$ symétrique de $M$ par rapport à $K$.
\item Construire le point $O$ tel que $K$ soit le milieu de $[AO]$.
\item
\begin{enumerate}
\item Construire le point $N$ image de $K$ dans la translation de
vecteur $\overrightarrow{AM}$.
\item Quelle est la nature exacte du quadrilatère $AMNK$ ? (On ne
demande pas de justification.)
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Tracer le polygone $MAISON$.
\item Quelle est la nature exacte de ce polygone ? (On ne demande pas
de justification.)
\end{enumerate}
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="ameriquenord2003geo1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:6
FICHIER:ameriquenord2003geo2.tex:
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Tracer un triangle $ABC$ tel que $AC=7,5cm$, $BC=10cm$ et
$AB=6cm$.
\item Placer $E$ sur $[AC]$ tel que $AE=4,5cm$ et $F$ sur $[BC]$ tel
que $BF=6cm$.
\end{enumerate}
\item Les droites $(AB)$ et $(EF)$ sont-elles parallèles ? Justifier.
\item On trace la droite parallèle à $(AB)$ passant par $C$. Cette
droite coupe $(BE)$ en $L$.
\\Déterminer $CL$.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="ameriquenord2003geo2" patron="base1"

%SS{Exercice 3}
TAG:7
FICHIER:ameriquenord2003.1:*:
FICHIER:ameriquenord2003geo3.tex:
On considère la figure ci-dessous (dimensions non respectées sur le dessin) :
\par\compo{1}{ameriquenord2003}{1}
{$AI=8cm$\\$BC=12cm$\\$\widehat{AIB}=90$°\\$I$ milieu de $[BC]$.
}
\begin{enumerate}
\item Refaire la figure en vraie grandeur.
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer $AB$.
\item Calculer $\sin\widehat{ABI}$.
\end{enumerate}
\item $O$ est le point de $[BC]$ tel que $BO=5cm$.\\$\cal{(C)}$ est le
cercle de centre $O$ passant par $B$.\\Il recoupe $[AB]$ en $E$ et
$[BC]$ en $F$.
\begin{enumerate}
\item Compléter la figure du $1.$ en traçant le cercle $\cal{(C)}$ et
en plaçant les points $O$, $E$ et $F$.
\item Quelle est la nature du triangle $BEF$ ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="ameriquenord2003geo3" patron="base1"

%S{Problème}
TAG:8

FICHIER:ameriquenord2003.3:*:
FICHIER:ameriquenord2003pbpart1.tex:
\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}

Un industriel est spécialisé dans la fabrication de pieds de lampes.
\\Il crée un nouveau modèle sous forme d'une sphère tronquée.
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie A}}
\end{center}
\Compo{1}{ameriquenord2003.3}{1}
{La sphère a pour centre I et pour rayon $r=10cm$.
\\$[LL']$ est un diamètre de la sphère.
\\H est un point de $[LL']$ tel que $IH=8cm$.
\\Un plan passant par $H$ et perpendiculaire à $[LL']$ coupe cette sphère.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la section ? (On ne demande pas de justification.)
\item Quelle est la nature du triangle $IHM$ ? (On ne demande pas de justification.)
\item En déduire $HM$.
\end{enumerate}
}
§

M:texel: fichier="ameriquenord2003pbpart1" patron="base1"

FICHIER:ameriquenord2003pbpart2.tex:
\begin{center}
\textbf{\Large{Partie B}}
\end{center}
\textit{Les représentations graphiques seront effectuées sur papier millimétré.}
\\L'industriel reçoit des commandes de différentes régions de France.
\\Pour la livraison des produits, il s'adresse alors à deux sociétés de transport et compare leurs tarifs :
\begin{itemize}
\item tarif 1 : 3,5\textgreek{\euro} par $km$ parcouru ;
\item tarif 2 : 2\textgreek{\euro} par $km$ parcouru avec en plus un
forfait fixe de 150\textgreek{\euro}.
\end{itemize}
Soit $y_{1}$ le prix (en \textgreek{\euro}) du transport avec le tarif
1 pour $x\, km$ parcourus.
\\Soit $y_{2}$ le prix (en \textgreek{\euro}) du transport avec le
tarif 2 pour $x\, km$ parcourus.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant :
$$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x$ (en $km$)&50&150&300\\
\hline
$y_{1}$ (en \textgreek{\euro})&&525&\\
\hline
$y_{2}$ (en \textgreek{\euro})&250&&\\
\hline
\end{tabular}
$$
\item Quel est le tarif le plus avantageux pour $50km$ parcourus ? et
pour $300km$ parcourus ?
\end{enumerate}
\item Plus généralement, on obtient donc :  $y_{1}=3,5x$.
\\Exprimer $y_{2}$ en fonction de $x$.
\item Tracer sur une feuille de papier millimétré la droite $(d_{1})$
représentant la fonction : $x \longmapsto 3,5x$ et la droite $(d_{2})$
représentant la fonction : $x \longmapsto 2x+150$ dans le plan muni
d'un repère orthogonal.
\\On prendra sur l'axe des abscisses $1cm$ pour représenter 50\textgreek{\euro}.
\\Pour des raisons pratiques, prendre l'origine du repère en bas et à
gauche de la feuille de papier millimétré.
\item Déterminer graphiquement le nombre de kilomètres à partir duquel
il est plus avantageux pour l'industriel de choisir le tarif 2.
(On laissera visible les pointillés nécessaires à la lecture graphique.)
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="ameriquenord2003pbpart2" patron="base1"

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