\textit{Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre et
l'unité d'aire est le $cm^2$. On pourra utiliser une feuille de
papier millimétré.}
\begin{enumerate}
\item $(O,I,J)$ est un repère orthonormé, avec $OI=OJ=1cm$.
\begin{enumerate}
\item Placer les points suivants :
$$A(-2;-1) \qquad B(-5;3) \qquad C(3;9) $$
\item Donner les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et
$\overrightarrow{BC}$ puis vérifier par un calcul que $AB=5$ et
$BC=10$.
\end{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AC}$ et en
déduire la longueur $AC$ (on l'écrira sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$
est un entier).
\item Démontrer que $ABC$ est un triangle rectangle en $B$.
\item Calculer les coordonnées du milieu $K$ du segment $[AC]$.
\item
\begin{enumerate}
\item Placer le point $D$ symétrique de $B$ par rapport au point $K$.
\item Démontrer que $ABCD$ est un rectangle.
\item Calculer son aire, puis celle du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item La droite perpendiculaire à $(AC)$ passantr par $B$ coupe $(AC)$
en $H$ et $(AD)$ en $L$.\\Utiliser l'aire du triangle $ABC$ pour
vérifier que $BH=2\sqrt{5}$.
\item On donne la valeur de $AH$ : $AH=\sqrt{5}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $HC$ (l'écrire sous la forme $a\sqrt{5}$ où $a$ est un entier).
\item Utiliser le théorème de Thalès pour calculer $AL$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}