%TITRE{Versailles 2004} %VTEX{\entete} %P{§l/syracuse/poulecl/brevet/index.xml§Retour à l'index des sujets§} %S{Partie numérique} %SS{Exercice 1} TAG:1 FICHIER:versailles2004num1.tex: Soient les expressions $$\Eqalign{ A&= \cfrac{9}{5} - \cfrac{2}{5} \times \cfrac{11}{4}\cr B& = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{27} + \sqrt{75}\cr }$$ \begin{enumerate} \item Calculer $A$ en détaillant les étapes du calcul et écrire le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. \item Calculer et écrire $B$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs, $b$ étant un nombre positif le plus petit possible. \end{enumerate} § M:texel: fichier="versailles2004num1" patron="base1" %SS{Exercice 2} TAG:2 FICHIER:versailles2004num2.tex: On considère l'expression $C = (2x - 1)^2 +(2x-1)(x+5)$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire l'expression $C$. \item Factoriser l'expression $C$. \item Résoudre l'équation $(2x - 1)(3x +4) = 0$. \end{enumerate} § M:texel: fichier="versailles2004num2" patron="base1" %SS{Exercice 3} TAG:3 FICHIER:versailles2004num3.tex: \begin{enumerate} \item Les nombres 682 et 352 sont-ils premiers entre eux ? Justifier. \item Calculer le plus grand diviseur commun (PGCD) de 682 et 352. \item Rendre irréductible la fraction $\cfrac{682}{352}$ en indiquant clairement la méthode utilisée. \end{enumerate} § M:texel: fichier="versailles2004num3" patron="base1" %SS{Exercice 4} TAG:4 FICHIER:versailles2004num4.tex: Le diagramme en barres ci-dessous donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de mathématiques par les élèves d'une classe de $3^{\text{e}}$. \vspace{0,5cm} \begin{center} \psset{yunit=0.75cm}\begin{pspicture}(12,8) \multido{\n=0+1}{9}{\psline(0,\n)(12,\n)} \multido{\n=0+1}{9}{\uput[l](0,\n){\n}} \uput[d](1,0){8} \uput[d](2.5,0){9} \uput[d](4,0){10} \uput[d](5.5,0){11} \uput[d](7,0){12} \uput[d](8.5,0){13} \uput[d](10,0){14} \uput[d](11.5,0){15} \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0)(1.5,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(3,5) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.5,0)(4.5,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5,0)(6,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](6.5,0)(7.5,3) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8,0)(9,2) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.5,0)(10.5,7) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](11,0)(12,2) \rput{90}(-1,4){effectifs} \uput[d](13,0){notes} \psline(0,0)(0,8) \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Combien d'élèves y a-t-il dans cette classe ? \item Quelle est la note moyenne de la classe à ce contrôle ? \item Quelle est la note médiane ? \item Quelle est l'étendue de cette série de notes ? \end{enumerate} § M:texel: fichier="versailles2004num4" patron="base1" %S{Partie géométrique} %SS{Exercice 1} TAG:5 FICHIER:versailles2004geo1.tex: \parbox[l]{0.65\textwidth}{Les segments $[CA]$ et $[UI]$ se coupent en $M$.\\ On a : $MO = 21$, $MA = 27$, $MU = 28$, $MI = 36$, $AI = 45$ (l'unité de longueur étant le millimètre).\\ \begin{enumerate} \item Prouver que les droites $(OU)$ et $(AI)$ sont parallèles. \item Calculer la longueur $OU$. \item Prouver que le triangle $AMI$ est un triangle rectangle. \item Déterminer, à un degré près, la mesure de l'angle $\widehat{AIM}$. \item Montrer que les angles $\widehat{MAI}$ et $\widehat{MOU}$ ont la même mesure. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.3\textwidth}{\begin{pspicture}(3.6,4) \pspolygon(0.5,0)(3.2,3.5)(0,3.5)(4.55,0)%AOUI \uput[r](2,2){M} \uput[l](0.5,0){A} \uput[u](3.2,3.5){O} \uput[u](0,3.5){U} \uput[r](4.55,0){I} \end{pspicture}} § M:texel: fichier="versailles2004geo1" patron="base1" %SS{Exercice 2} TAG:6 FICHIER:versailles2004geo2p1.tex: Sur la figure annexe que vous devrez rendre avec la copie, on considère la figure $\mathcal{F}$. \begin{enumerate} \item Construire \begin{enumerate} \item la figure $\mathcal{F}_1$, image de la figure $\mathcal{F}$ par la symétrie centrale de centre $B$ (nommer $E$ l'image de $A$). \item la figure $\mathcal{F}_2$, image de la figure $\mathcal{F}_1$ par la symétrie centrale de centre $C$ (nommer $T$ l'image de $E$). On hachurera, sur le dessin, les figures $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$ ainsi obtenues. \end{enumerate} \item Quelle transformation permet de passer directement de la figure $\mathcal{F}$ à $\mathcal{F}_2$ ? \end{enumerate} § M:texel: fichier="versailles2004geo2p1" patron="base1" FICHIER:versailles2004geo2p2.tex: \begin{center} \psset{unit=5mm}\begin{pspicture}(26,18) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1] \pspolygon[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=white](7,7)(7,9)(9,9)(10,7) \psline(12.9,11.1)(13.1,10.9) \psline(12.9,10.9)(13.1,11.1) \psline(17.9,8.1)(18.1,7.9) \psline(17.9,7.9)(18.1,8.1) \uput[dl](7,7){A} \uput[ul](13,11){B} \uput[dr](18,8){C} \rput(8.5,8){$\mathcal{F}$} \end{pspicture} \end{center} § M:texel: fichier="versailles2004geo2p2" patron="base1" %SS{Exercice 3} TAG:7 FICHIER:versailles2004geo3.tex: \parbox[l]{0.65\textwidth}{La balise ci-contre est formée d'une demi-boule surmontée d'un cône de révolution de sommet $A$.\\ Le segment $[BC]$ est un diamètre de la base du cône et le point $O$ est le centre de cette base.\\On donne $AO = BC = 6\,dm$.\\ \begin{enumerate} \item Montrer que $AB = 3\sqrt5\,dm$. \item Dans cette question, on se propose de calculer des volumes. \begin{enumerate} \item Calculer en fonction de $\pi$ le volume du cône (on donnera la valeur exacte de ce volume). \item Calculer en fonction de $\pi$ le volume de la demi-boule (on donnera la valeur exacte de ce volume). \item Calculer la valeur exacte du volume de la balise, puis en donner la valeur arrondie à 0,1 $dm^3$ près. \end{enumerate} \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.3\textwidth}{\begin{pspicture}(4,7.3) \psarc(2,2){2cm}{180}{360} \psline(0,2)(2,6)(4,2) \psline[linestyle=dotted](0,2)(4,2) \psline[linestyle=dotted](2,2)(2,6) \psellipse(2,2)(2,0.75) \psline(2,2.2)(2.2,2.2)(2.2,2) \psline(2,6)(2,7.2) \psframe*(2,7.2)(3,6.8) \uput[ul](2,6){A} \uput[l](0,2){B} \uput[r](4,2){C} \uput[d](2,2){O} \end{pspicture}} \textbf{On rappelle que} si $V$ est le volume d'une boule de rayon $R$, alors $V = \cfrac{4}{3} \times \pi \times R^3$. \\\textbf{On rappelle que} si $V$ est le volume d'un cône de hauteur $h$ et de rayon $r$, alors $V = \cfrac{\pi \times r^2 \times h}{3}$. § M:texel: fichier="versailles2004geo3" patron="base1" %S{Problème} TAG:8 FICHIER:versailles2004pbp1.tex: On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 6\,cm$ et $AC= 4\,cm$. \paragraph{PARTIE 1}\subitem{}\par \begin{enumerate} \item Construire ce triangle. \item Placer le point $M$ sur le segment $[AB]$ tel que $BM = 3,5\,cm$ et tracer la droite passant par le point $M$ et perpendiculaire à la droite $(AB)$ ; elle coupe le segment $[BC]$ en $E$. \begin{enumerate} \item Calculer $AM$. \item Démontrer que les droites $(AC)$ et $(ME)$ sont parallèles. \item Calculer $EM$ (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible). \item Le triangle $AEM$ est-il un triangle isocèle en $M$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} § M:texel: fichier="versailles2004pbp1" patron="base1" FICHIER:versailles2004pbp2.tex: \paragraph{PARTIE 2}\subitem{}\par On souhaite placer le point $M$ sur le segment $[AB]$ de façon à ce que le triangle $AEM$ soit isocèle en $M$ comme sur la figure ci-dessous que l'on ne demande pas de refaire. On rappelle que : $AB = 6\,cm$ et $AC = 4\, cm$. Les droites $(ME)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires. \par\parbox[l]{0.65\textwidth}{ \begin{enumerate} \item On pose $BM = x$ (on a donc $0 \leqslant x \leqslant 6$). Démontrer, en utilisant la propriété de Thalès, que $$ME = \cfrac{2}{3}x$$ \item\underline{Première résolution du problème posé}.\\ \begin{enumerate} \item Montrer que $MA = 6 - x$. \item Calculer $x$ pour que le triangle $AME$ soit isocèle en $M$. \end{enumerate} \end{enumerate}} \hfill \parbox[l]{0.3\textwidth}{\begin{pspicture}(5,3.5) \pspolygon(0,0)(4.8,0)(0,3.2)(0,0)(1.4,2.3)(1.4,0)%ABCAEM \uput[l](0,0){A} \uput[ur](4.8,0){B} \uput[l](0,3.2){C} \uput[ur](1.4,2.3){E} \uput[d](1.4,0){$M$} \end{pspicture}} \vspace{0,5cm} \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item\underline{Deuxième résolution du problème}\\Soit un repère orthogonal avec pour unités $2\,cm$ sur l'axe des abscisses et $1\,cm$ sur l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Représenter, dans ce repère, les fonctions $f$ et $g$ définies par : \[f(x) = \cfrac{2}{3}x \qquad \text{et} \qquad g(x) = 6-x, \qquad \text{pour}\qquad 0 \leqslant x \leqslant 6.\] \item En utilisant ce graphique, retrouver le résultat de la question \textbf{2.b.}. \end{enumerate} \end{enumerate} § M:texel: fichier="versailles2004pbp2" patron="base1" %P{§l/syracuse/poulecl/brevet/index.xml§Retour à l'index des sujets§} %%EOF