Paul cherche un trésor situé à proximité de deux villages $A$ et $B$ et d'un château $C$. Ce trésor est aligné avec le village $B$ et le château $C$ et il se trouve à la même distance du village $A$ que du village $B$.\par Sur un plan représentant la région dans un repère orthonormal $(O,\,I,\,J)$, le village $A$, le village $B$ et le château $C$ correspondent aux points $A(-2;3)$, $B(6;-1)$ et $C(8;-7)$. L'unité sur le plan est $1\,cm$ et correspond à $120\,m$ dans la réalité.
\paragraph{Première partie}
\begin{enumerate}
\item Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère $(O,\,I,\,J)$.
\item Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
\item Calculer les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$.
\item Montrer qu'une équation de la médiatrice du segment $[AB]$ est $y=2x-3$.
\item Déterminer une équation de la droite $(BC)$.
\item Soit $T$ le point d'intersection de la droite $(BC)$ avec la droite d'équation $y=2x-3$. Calculer les coordonnées du point $T$.
\end{enumerate}
\paragraph{Deuxième partie}
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi le point $T$ représente la position du trésor sur le plan.
\item Calculer $AT$. En déduire à $1\,m$ près la distance réelle entre le village $A$ et le trésor.
\end{enumerate}