\par\compo{3}{bordeaux1996}{1}{$ABC$ est un triangle tel que $AB=6$, $BC=10$ et $\widehat{ABC}=120$°. La hauteur issue de $A$ coupe la droite $(BC)$ au point $H$. {(\em La figure ci-contre est donnée à titre indicatif on ne demande pas de la reproduire.)} } \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{HBA}$. En déduire $BH$. \item Calculer $AH$, puis l'aire du triangle $ABC$ (on donnera les valeurs exactes). \item Prouver que $AC=14$. \end{enumerate} \item $M$ est un point quelconque du segment $[BC]$. On pose $CM=x$ $(0\leq x\leq10)$. La parallèle à la droite $(AB)$ contenant $M$ coupe $[AC]$ en $N$. \begin{enumerate} \item Exprimer en fonction de $x$ : $NM$ et $NC$, puis $BM$ et $AN$. \item Déduire de la question précédente que le périmètre ${\cal P}_1$ du triangle $NMC$ vaut $3x$ et que le périmètre ${\cal P}_2$ du trapèze $ABMN$ vaut $-\dfrac{9}{5}x+30$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Tracer sur une même figure, pour compris entre 0 et 10, les représentations graphiques, dans un repère orthogonal, de la fonction qui à $x$ associe $3x$ et de celle qui à $x$ associe $-\dfrac{9}{5}x+30$ (unité : $1\,cm$ sur l'axe des abscisses et $0,5\,cm$ sur l'axe des ordonnées).\par On désigne par $K$ le point d'intersection de ces deux représentations. \item A l'aide du graphique, encadrer par deux entiers consécutifs l'abscisse du point $K$ (on laissera apparents les traits de construction). \item Déterminer les valeurs exactes des coordonnées de $K$. \item En déduire pour quelle valeur de $x$ le triangle $NMC$ et le trapèze $ABMN$ ont le même périmètre. Quelle est alors la valeur de ce périmètre ? \end{enumerate} \end{enumerate} |