%TITRE{Clermont 1996} %VTEX{ \entete} %P{§l/syracuse/poulecl/brevet/index.xml§Retour à l'index des sujets§} %S{Partie numérique} %SS{Exercice 1} TAG:1 FICHIER:clermont1996num1.tex: Ecrire sous la forme d'une fraction la plus simple possible $$A=\frac{3}{2}-\frac{5}{2}\times\frac{3}{10}\kern1cm B=\left(\frac{3}{5}\right)^2\div\frac{9}{20}$$ § M:texel: fichier="clermont1996num1" patron="base1" %SS{Exercice 2} TAG:2 FICHIER:clermont1996num2.tex: Soit $E=(3x-2)^2-81$. \begin{enumerate} \item Développer, réduire et ordonner $E$. \item Factoriser $E$. \item Résoudre l'équation $(3x-11)(3x+7)=0$. \end{enumerate} § M:texel: fichier="clermont1996num2" patron="base1" %SS{Exercice 3} TAG:3 FICHIER:clermont1996num3.tex: On donne $x=\sqrt{72}$ et $y=\sqrt{98}$. \begin{enumerate} \item Ecrire $x$ et $y$ sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ entiers, $a$ étant le plus grand entier possible. \item Ecrire sous la forme la plus simple possible $x^2-y^2$ et $x+y$. \end{enumerate} § M:texel: fichier="clermont1996num3" patron="base1" %SS{Exercice 4} TAG:4 FICHIER:clermont1996.1:*: FICHIER:clermont1996num4.tex: \par\compo{1}{clermont1996}{1}{{\em Ne pas refaire la figure.} $ABCD$ est un rectangle ; l'unité de longueur est le centimètre. On a : $AE=AD=3$ et $EB=x$. \begin{enumerate} \item Calculer le périmètre de $ABCD$ en fonction de $x$. \item Trouver $x$ pour que le périmètre de $ABCD$ soit égal à $20$. \end{enumerate} } § M:texel: fichier="clermont1996num4" patron="base1" %S{Partie géométrique} %SS{Exercice 1} TAG:5 FICHIER:clermont1996.2:*: FICHIER:clermont1996geo1.tex: \par\compo{2}{clermont1996}{1}{La figure ne doit pas être reproduite. L'unité de longueur est le centimètre.\par Le triangle $ABC$ est tel que $AB=5,25$; $BC=8,75$; $AC=7$.} \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle. \item \begin{enumerate} \item Soit $E$ le point du segment $[AC]$ tel que $EC=4$. Calculer $AE$. \item La parallèle à la droite $(AB)$ passant par $E$ coupe $[BC]$ en $F$. Calculer $EF$. \end{enumerate} \item La parallèle à la droite $(AC)$ passant par $F$ coupe le segment $[AB]$ en $G$. Quelle est la nature du quadrilatère $AEFG$ ? (On donnera la réponse la plus précise possible en la justifiant.) \end{enumerate} § M:texel: fichier="clermont1996geo1" patron="base1" %SS{Exercice 2} TAG:6 FICHIER:clermont1996geo2.tex: Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O,\,I,\,J)$, l'unité étant le centimètre, on considère les points : $A(2;3)$; $B(5;6)$; $C(7;4)$; $D(4;1)$. \begin{enumerate} \item Faire la figure sur papier millimétré. \item Calculer les coordonnées du vecteur $\vecteur{\strut AB}$ et celles du vecteur $\vecteur{\strut DC}$; en déduire la nature du quadrilatère $ABCD$. \item Calculer $AC$ et $BD$. \item Démontrer que $ABCD$ est un rectangle. (On pourra utiliser les résultats obtenus en 3.) \end{enumerate} § M:texel: fichier="clermont1996geo2" patron="base1" %S{Problème} TAG:7 FICHIER:clermont1996pbp1.tex: {\em L'unité de longueur est le centimètre.} \paragraph{Première partie} On considère un triangle isocèle $SBC$ tel que $SB=SC=5$ et $BC=6$. La hauteur issue de $S$ coupe le segment $[BC]$ en $I$. \begin{enumerate} \item Faire une figure que l'on complétera dans la question 4. \item Démontrer que $SI=4$. \item Calculer l'aire, en $cm^2$, du triangle $SBC$. \item On note $I'$ le point du segment $[SI]$ tel que $SI'=\dfrac{1}{4}SI$.\par Par $I'$, on trace la parallèle à la droite $(BC)$; elle coupe les droites $(SB)$ et $(SC)$ respectivement en $B'$ et $C'$. Le triangle $SB'C'$ est donc une réduction du triangle $SBC$. \begin{enumerate} \item Préciser le rapport de réduction des longueurs. (On donnera le résultat sans explication.) \item En déduire l'aire, en $cm^2$, du triangle $SB'C'$. \end{enumerate} \end{enumerate} § M:texel: fichier="clermont1996pbp1" patron="base1" FICHIER:clermont1996.3:*: FICHIER:clermont1996.4:*: FICHIER:clermont1996pbp2.tex: \paragraph{Deuxième partie} On considère une pyramide régulière $SABCD$ de sommet $S$ et à base carrée telle que $AB=6$ et $SB=5$. $$\includegraphics{clermont1996.3}$$ \par La hauteur de la pyramide est $[SH]$. On fera les deux figures demandées dans cette partie sur une même feuille de papier millimétré. \begin{enumerate} \item Tracer, en vraie grandeur, la base $ABCD$ de la pyramide et placer précisément le point $H$ sur le dessin. \item Tracer, en vraie grandeur (sans calculer $HB$ mais en utilisant la figure précédente), le triangle $SHB$ rectangle en $H$. \item Quelle est la nature du triangle $SBC$ ? (On précisera les longueurs de ses côtés.) \item On note $I$ le pied de la hauteur issue de $S$ du triangle $SBC$ et $H'$ le point du segment $[SH]$ tel que $SH'=\dfrac{1}{4}SH$.\par On note $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, $I'$ les points d'intersection des droites $(SA)$, $(SB)$, $(SC)$, $(SD)$ et $(SI)$ avec le plan passant par $H'$ et parallèle au plan de la base $ABCD$ de la pyramide. $$\includegraphics{clermont1996.4}$$ \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du quadrilatère $A'B'C'D'$ ? (On précisera les longueurs de ses côtés.) \item Le triangle $SBC$ est le triangle décrit dans la première partie et on a $SI'=\dfrac{1}{4}SI$.\par Calculer, en utilisant les résultats de la première partie, l'aire, en $cm^2$, du trapèze $BB'C'C$. \item En déduire l'aire latérale, en $cm^2$, de la partie tronquée de la pyramide comprise entre les plans parallèles $ABCD$ et $A'B'C'D'$. \end{enumerate} \end{enumerate} § M:texel: fichier="clermont1996pbp2" patron="base1" %P{§l/syracuse/poulecl/brevet/index.xml§Retour à l'index des sujets§} %%EOF