Dans le plan rapporté à un repère orthonormé $(E,\vecteur{\imath},\vecteur{\jmath})$, on place le point $A$ de coordonnées $(5;6)$, le point $B$ de coordonnées $(-3;2)$; le point $C$ de coordonnées $(10;-4)$, puis on trace le triangle $ABC$. (Faire un dessin qui sera complété au cours du problème). \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point $D$ tel que $\vecteur{BD}=\vecteur{CA}$. \item Prouver que le point $M$, milieu du segment $[AB]$ appartient à la droite $(CD)$. \item Trouver une équation de la droite $(BC)$ et en déduire les coordonnées du point $P$, intersection de la drotie $(BC)$ avec l'axe des abscisses. \item Démontrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle. \item Calculer les coordonnées du centre $R$ du cercle passant par les trois points $A$, $B$, $C$ (ou cercle circonscrit au triangle $ABC$). Le point $A'$ de coordonnées $(2;-8)$ est-il élément de ce cercle ? Pourquoi ? \item Encadrer par deux naturels consécutifs la mesure en dregrés de l'angle $\widehat{ABC}$ du triangle $ABC$ en utilisant le sinus, ou le cosinus, ou la tangente de cet angle (on se servira de l'extrait de table ci-dessous). \end{enumerate} $$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Degrés&sinus&tangente&cosinus\\ \hline 48&0,7431&1,111&0,6691\\ 49&0,7547&1,150&0,6561\\ 50&0,7660&1,192&0,6428\\ 51&0,7771&1,235&0,6293\\ 52&0,7880&1,280&0,6157\\ 53&0,7986&1,327&0,6018\\ 54&0,8090&1,376&0,5878\\ \hline \end{tabular} $$ |