Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O,\,I,\,J)$. On choisit
le centimètre pour unité sur les deux axes.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Placer les points $B(2;4)$ et $D(-4;2)$.
\item Donner, par lecture graphique, les coefficients directeurs
respectifs des droites $(OB)$ et $(OD)$.
\item Démontrer que $OB=OD=2\sqrt5$.
\item Quelle est la nature du triangle $DOB$ ?
\end{enumerate}
\item On projette orthogonalement $B$ en $A$ sur l'axe des abscisses
et en $C$ sur l'axe des ordonnées. De même, $E$ et $F$ sont les
projetés orthogonaux de $D$ respectivement sur l'axe des abscisses et
l'axe des ordonnées.
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner les coordonnées de $A$, $C$, $E$
et $F$.
\item Déterminer par le calcul une équation de la droite $(AF)$.
\item Pourquoi la droite $(EC)$ a-t-elle pour équation $y=x+4$ ?
\item En déduire que les droites $(EC)$ et $(AF)$ sont
perpendiculaires.
\end{enumerate}
\item Les droites $(EC)$ et $(AF)$ se coupent en $K$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $K$.
\item Démontrer que $K$ est le milieu de $[DB]$.
\item Quelle est la mesure exacte de l'angle $\widehat{CEO}$ ?
Justifier votre réponse.
\item En déduire que le triangle $EKA$ est rectangle et isocèle.
\end{enumerate}
\item Démontrer que les points $D$, $E$, $O$, $F$, $K$ appartiennent à
un même cercle dont on précisera les coordonnées du centre et la
mesure en centimètres du rayon.
\item On considère la rotation de centre $O$ qui transforme $I$ en
$J$. Quelle est dans cette rotation l'image du rectangle $OABC$ ?
Justifier votre réponse.
\end{enumerate}