Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O,\,I,\,J)$. On choisit le centimètre pour unité sur les deux axes. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Placer les points $B(2;4)$ et $D(-4;2)$. \item Donner, par lecture graphique, les coefficients directeurs respectifs des droites $(OB)$ et $(OD)$. \item Démontrer que $OB=OD=2\sqrt5$. \item Quelle est la nature du triangle $DOB$ ? \end{enumerate} \item On projette orthogonalement $B$ en $A$ sur l'axe des abscisses et en $C$ sur l'axe des ordonnées. De même, $E$ et $F$ sont les projetés orthogonaux de $D$ respectivement sur l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées. \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, donner les coordonnées de $A$, $C$, $E$ et $F$. \item Déterminer par le calcul une équation de la droite $(AF)$. \item Pourquoi la droite $(EC)$ a-t-elle pour équation $y=x+4$ ? \item En déduire que les droites $(EC)$ et $(AF)$ sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item Les droites $(EC)$ et $(AF)$ se coupent en $K$. \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de $K$. \item Démontrer que $K$ est le milieu de $[DB]$. \item Quelle est la mesure exacte de l'angle $\widehat{CEO}$ ? Justifier votre réponse. \item En déduire que le triangle $EKA$ est rectangle et isocèle. \end{enumerate} \item Démontrer que les points $D$, $E$, $O$, $F$, $K$ appartiennent à un même cercle dont on précisera les coordonnées du centre et la mesure en centimètres du rayon. \item On considère la rotation de centre $O$ qui transforme $I$ en $J$. Quelle est dans cette rotation l'image du rectangle $OABC$ ? Justifier votre réponse. \end{enumerate} |