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Source de doc-pst-dosage.tex

Fichier TeX
\documentclass[11pt]{article}
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 \DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{pletters}{`K}
 \DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{pletters}{`A}
 \DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{pletters}{`B}
 \DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{pletters}{`H}
 \DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{pletters}{`O}
 \DeclareMathSymbol{p}{\mathalpha}{pletters}{`p}
 \DeclareMathSymbol{d}{\mathalpha}{pletters}{`d}
 \DeclareMathSymbol{e}{\mathalpha}{pletters}{`e}
%re-définition d'enumerate
\renewcommand{\labelenumi}{\bf\theenumi)}
\renewcommand{\labelenumii}{\bf\theenumii)}
\renewcommand{\labelenumiii}{\theenumiii)}
\def\greek#1{\expandafter\@greek\csname c@#1\endcsname}
\def\@greek#1{\ifcase#1\or$\ALPHA$\or$\BETA$\or$\GAMMA$\or$\DELTA$\fi}%
\renewcommand{\theenumiii}{\greek{enumiii}}
% fin enumerate
%
\lstnewenvironment{example}[1][]{%
  \lstset{basicstyle=\small\ttfamily,columns=flexible,frame=single,%
    backgroundcolor=\color{yellow!20},xleftmargin=\fboxsep,%
    xrightmargin=\fboxsep}\lstset{#1}}{}
%
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{1pt}
\fancyhf{}
\fancyhead[C]{\pscirclebox[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\thepage}}
\fancyfoot[C]{14 janvier 2\,006}
\fancyfoot[R]{Dosages acide/base}
\fancyfoot[L]{Chimie avec PSTricks}


\pagestyle{fancy}
%
\newpsstyle{ChampagneSurface}{linecolor=gray,linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=Beige}
\newpsstyle{ChampagneTube}{linecolor=gray,linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=MonGris}
\newpsstyle{BleuCiel}{linecolor=gray,linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=Bluea}
%
\title{Courbes de dosage pH-métrique acide-base\\
avec \cadregris{\textbf{\textsf{PSTricks}}}\\
d'après l'article de Marc \textsc{Chapelet} : B.U.P.
N$^{\mathrm{o}}668$}
\author{Manuel \textsc{Luque}\\
documentation : version 2}
\parindent=0pt
\begin{document}
\maketitle
\section{L'article du BUP\protect\footnote{Ce bulletin, de novembre 1\,984, n'étant
peut-être pas facilement accessible dans tous les lycées, j'ai
adapté et reproduit, avec l'autorisation de Marc Chapelet, son
article.}}
\subsection{L'équation à programmer}
Le calcul exposé concerne le dosage d'un triacide par une base
faible. Ce cas permet aussi, très simplement, de traiter l'étude des
dosages suivants :
\begin{itemize}
  \item acide fort -- base forte ;
  \item acide fort -- base faible ;
  \item acide faible -- base forte ;
  \item acide faible -- base faible ;
  \item diacide ou triacide -- base forte ;
  \item diacide ou triacide -- base faible.
\end{itemize}
Un triacide de formule symbolisée par $AH_3$, de concentration
molaire $c_0$ de volume $v_0$, en solution dans l'eau, peut donner
des ions $AH_2^-$, $AH_{\phantom{2}}^{2-}$ et
$A_{\phantom{2}}^{3-}$. Les constantes d'acidité ont pour
expression~:
\[
K_1=\frac{x[AH_2^-]}{[AH_3]}\qquad
K_2=\frac{x[AH_{\phantom{2}}^{2-}]}{[AH_2^-]}\qquad
K_3=\frac{x[A^{3-}]}{[AH_{\phantom{2}}^{2-}]}
\]
si $x$ désigne la concentration molaire $[H_3O^{+}]$.

La base faible B, de concentration molaire $c$, de volume $v$, en
solution peut donner l'ion $BH^+$. La constante de dissociation
$K_B$ a pour expression :
\[
K_B=\frac{[HO^-][BH^+]}{[B]}=\frac{K_e[BH^+]}{x[B]}
\]
En tenant compte du produit ionique de l'eau :
\[
K_e=[H_3O^+][HO^-]\quad (pK_e=14).
\]
La conservation de la quantité de matière pour l'acide s'écrit :
\[
[AH_3]+[AH_2^{-}]+[AH^{2-}]+[A^{3-}]=\frac{c_0v_0}{v_0+v}
\]
ou encore :
\begin{equation}\label{equA}
[AH_3]\left(1+\frac{K_1}{x}+\frac{K_1K_2}{x^2}+\frac{K_1K_2K_3}{x^3}\right)=\frac{c_0v_0}{v_0+v}
\end{equation}
La conservation de la quantité de matière pour la base s'écrit :
\[
[B]+[BH^+]=\frac{c v}{v_0+v}
\]
d'où :
\begin{equation}\label{equB}
[BH^+]\left(1+\frac{K_e}{xK_B}\right)=\frac{c v}{v_0+v}
\end{equation}
La neutralité électrique lors du dosage s'écrit :
\[
[H_3O^+]+[BH^+]=[HO^-]+[AH_2^{-}]+2[AH^{2-}]+3[A^{3-}]
\]
ou encore en tenant et en tenant compte de~(\ref{equA})
et~(\ref{equB})~:
\begin{equation}\label{equC}
x+\frac{c v}{v_0+v}\cdot\frac{1}{1+\dfrac{K_e}{xK_B}}=
\frac{K_e}{x}+\frac{c_0v_0}{v_0+v}\cdot\frac{%
\dfrac{K_1}{x}+\dfrac{2K_1K_2}{x^2}+\dfrac{3K_1K_2K_3}{x^3}}%
{1+\dfrac{K_1}{x}+\dfrac{K_1K_2}{x^2}+\dfrac{K_1K_2K_3}{x^3}}
\end{equation}
Comme il n'est pas simple de calculer $x$ et donc le pH $(pH=-\log
x)$ pour chaque valeur du volume $v$, il faut procéder à l'opération
inverse, c'est-à-dire calculer $v$ pour différentes valeurs du pH.
On obtient en arrangeant~(\ref{equC})~:
\[
\frac{v}{v_0}=\frac{c_0\dfrac{\left(1+\dfrac{2K_{1}}{x}+\dfrac{3K_{2}K_{3}}{x^2}\right)}
                                {\left(\dfrac{x}{K_{1}}+1+\dfrac{K_{2}}{x}+\dfrac{K_{2}K_{3}}{x^2}\right)}
                            + \dfrac{K_e}{x}-x}
                     {x-\dfrac{K_e}{x}+\dfrac{c}{1+\dfrac{K_e}{xK_B}}}
\]
Il est plus intéressant d'étudier la quantité $\dfrac{c
v}{c_0v_0}=u$, pour l'étude de la neutralisation. D'où~:
\begin{equation}\label{equD}
u=\frac{\dfrac{\left(1+\dfrac{2K_{1}}{x}+\dfrac{3K_{2}K_{3}}{x^2}\right)}
                                {\left(\dfrac{x}{K_{1}}+1+\dfrac{K_{2}}{x}+\dfrac{K_{2}K_{3}}{x^2}\right)}
                            + \dfrac{K_e}{c_0x}-\dfrac{x}{c_0}}
                     {\dfrac{x}{c}-\dfrac{K_e}{c x}+\dfrac{1}{1+\dfrac{K_e}{xK_B}}}
\end{equation}
\subsection{Le programme}
\subsubsection{Le principe}
\begin{itemize}
  \item pour des valeurs du pH variant de 0 à 14 par pas de~0,1,
  calculer $u=\dfrac{c v}{c_0v_0}$.
  \item Ne retenir que les valeurs positives de $u$.
\end{itemize}
\subsubsection{Les différents dosages étudiés}
Si on étudie le dosage d'un diacide, il suffit de faire $K_3=0$(ce
qui implique $[A^{3-}]=0$).

Pour un monoacide faible, on pose : $K_2=0$ et $K_3=0$.

Pour un acide fort, comme $AH_3$ est totalement dissocié en
$AH_2^{-}$, on a $[AH_3]=0$ et on pose :
$\dfrac{1}{K_1}=\dfrac{[AH_3]}{x[AH_2^-]}=0$.

Pour une base forte, on a $[B]=0$, on pose donc
:~$\dfrac{1}{K_B}=0$.
\newpage
\section{Les commandes et les paramètres}
Le volume de solution titrée est limité à 15~mL pour des raisons de
mise en page, d'une part afin que le graphique soit bien centré sur
la page et d'autre part pour conserver une échelle simple :
$\mathrm{1\ mL\longleftrightarrow1\ cm}$. Il faudra donc choisir les
concentrations et volumes adéquats pour que l'équivalence se situe
avant 15~mL.
\subsection{Dosage d'un acide fort  par une base forte}
\subsubsection{La commande}
\begin{example}
\dosageAB[options]
\end{example}
\subsubsection{Les paramètres}
\begin{center}
\newcommand*\titretab[1]{\multicolumn{1}{c}{\bfseries#1}}
\begin{tabular}{>{\bfseries\sffamily\color{blue}}lccm{5.5cm}}
  \toprule
  \titretab{Option} & \titretab{Type} & \titretab{Défaut}
& \titretab{Description}
\\\toprule
  VA      &nombre   &10& volume d'acide en mL \\
  CA        &nombre   &0.1& concentration de la solution acide en mol.L$^{-1}$\\
  CB      &nombre   &0.1& concentration de la solution basique en mol.L$^{-1}$\\
\midrule
  dpH &booléen   &true& trace $\displaystyle\mathsf{\frac{dpH}{dV_B}}$\\
  dpHunit  &nombre   &1& facteur d'échelle pour $\displaystyle\mathsf{\frac{dpH}{dV_B}}$
\\\midrule
  Equivalence      &booléen   &true& marque le point d'équivalence~E\\
  valeurs   &booléen    &false & calcule et place les coordonnées du point E\\
  tangentes   &booléen  &false& détermine E par la méthode des tangentes et trace les tangentes\\
  pH1 &nombre  &5& valeur du pH pour le premier point de tangence\\
\midrule
  pHstyle     &suite de paramètres &redbold& style du tracé de $\mathrm{pH=f(v_B)}$ \\
  dpHstyle      &suite de paramètres  &bluenormal & style du tracé de la dérivée du pH par rapport à $\mathrm{v_B}$
\\
  tangentesstyle        &  suite de paramètres &Darkgray& style du tracé des tangentes
\\\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\begin{example}
\newpsstyle{redbold}{linecolor=red,linewidth=1.5\pslinewidth}
\newpsstyle{bluenormal}{linecolor=blue}
\newpsstyle{DarkGray}{linecolor=darkgray}
\end{example}
\subsection{Dosage d'une base forte par un acide fort}
\subsubsection{La commande}
\begin{example}
\dosageBA[options]
\end{example}
\subsubsection{Les paramètres}
Ils sont identiques à ceux du dosage d'un acide fort par une base forte, on précisera
la valeur de VB au départ.
\begin{center}
\newcommand*\titretab[1]{\multicolumn{1}{c}{\bfseries#1}}
\begin{tabular}{>{\bfseries\sffamily\color{blue}}lccm{5cm}}
  \toprule
  \titretab{Option} & \titretab{Type} & \titretab{Défaut}
& \titretab{Description}
\\\toprule
  VB      &nombre   &10& volume de base en mL \\
  CA        &nombre   &0.1& concentration de la solution acide en mol.L$^{-1}$\\
  CB      &nombre   &0.1& concentration de la solution basique en mol.L$^{-1}$
\\\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\subsection{Dosage d'un monoacide faible  par une base forte}
\subsubsection{La commande}
\begin{example}
\dosageAfBF[options]
\end{example}
\subsubsection{Les paramètres}
Identiques aux précédents, il faut préciser le  $\mathrm{pK_A}$ de l'acide.
\begin{center}
\newcommand*\titretab[1]{\multicolumn{1}{c}{\bfseries#1}}
\begin{tabular}{>{\bfseries\sffamily\color{blue}}lccm{5cm}}
  \toprule
  \titretab{Option} & \titretab{Type} & \titretab{Défaut}
& \titretab{Description}
\\\toprule
  VA      &nombre   &10& volume d'acide en mL \\
  CA        &nombre   &0.1& concentration de la solution acide en mol.L$^{-1}$\\
  CB      &nombre   &0.1& concentration de la solution basique en mol.L$^{-1}$\\
  pKA     &nombre   &4.75& $\mathrm{pK_A}$ de l'acide faible\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\subsection{Dosage d'une monobase faible  par un acide fort}
\subsubsection{La commande}
\begin{example}
\dosageBfAF[options]
\end{example}
\subsubsection{Les paramètres}
Identiques aux précédents, on donne le volume de base dosé et $\mathrm{pK_B}$ correspondant.
\begin{center}
\newcommand*\titretab[1]{\multicolumn{1}{c}{\bfseries#1}}
\begin{tabular}{>{\bfseries\sffamily\color{blue}}lccm{5cm}}
  \toprule
  \titretab{Option} & \titretab{Type} & \titretab{Défaut}
& \titretab{Description}
\\\toprule
  VB      &nombre   &10& volume d'acide en mL \\
  CA        &nombre   &0.1& concentration de la solution acide en mol.L$^{-1}$\\
  CB      &nombre   &0.1& concentration de la solution basique en mol.L$^{-1}$\\
  pKB     &nombre   &4.75& $\mathrm{pK_A}$ de l'acide faible\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\subsection{Dosage d'un triacide par une base forte}
\subsubsection{La commande}
\begin{example}
\dosagetriacide[options]
\end{example}
\subsubsection{Les paramètres}
Identiques aux précédents, on précisera le volume d'acide dosé et les $\mathrm{pK_A}$
des différentes acidités.
\begin{center}
\newcommand*\titretab[1]{\multicolumn{1}{c}{\bfseries#1}}
\begin{tabular}{>{\bfseries\sffamily\color{blue}}lccm{5cm}}
  \toprule
  \titretab{Option} & \titretab{Type} & \titretab{Défaut}
& \titretab{Description}
\\\toprule
  VA      &nombre   &10& volume d'acide en mL \\
  CA        &nombre   &0.1& concentration de la solution acide en mol.L$^{-1}$\\
  CB      &nombre   &0.1& concentration de la solution basique en mol.L$^{-1}$\\
  pKA1     &nombre   &2.1& $\mathrm{pK_{A1}}$ \\
  pKA2     &nombre   &7.2& $\mathrm{pK_{A2}}$ \\
  pKA3     &nombre   &12& $\mathrm{pK_{A3}}$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{center}
\clearpage
\section{Les exemples}
\psset{valeurs=true}
\subsection{Dosage d'un acide fort concentration molaire $C_A$, de
volume $V_A$ par une base forte
 de concentration $C_B$}
 On trace $\mathrm{pH}=f(V_B)$ et
 $\dfrac{\mathrm{dpH}}{\mathrm{d}V_B}=g(V_B)$. $x=[\mathrm{H_3O^+}]$.
\[
V_B=V_A\frac{C_A+\dfrac{K_e}{x}-x}{C_B+x-\dfrac{K_e}{x}}
\]

\begin{example}
\dosageAB[CA=0.0001,CB=0.0001,VA=8.5,unit=0.8,tangentes=true,pH1=4.5]
\end{example}


\dosageAB[CA=0.001,CB=0.001,VA=8.5,unit=0.8,tangentes=true,pH1=4.5]
\psscalebox{0.5}{\pstDosage[glassType=becher,phmetre=true,niveauReactifBurette=25,niveauLiquide1=40,%
aspectLiquide1=ChampagneSurface]}

 \vspace{1cm}

  À l'équivalence :
\[
V_{B}=\frac{C_A V_A}{C_B}\quad;\quad \mathrm{pH=7}
\]

 \clearpage
\subsection{Dosage d'une base forte de concentration $C_B$, de volume
$V_B$ par un acide fort concentration molaire $C_A$}

 On trace $\mathrm{pH}=f(V_A)$ et
 $\dfrac{\mathrm{dpH}}{\mathrm{d}V_A}=g(V_A)$.
\[
V_A=V_B\frac{\dfrac{K_e}{x}-x-C_B}{x-\dfrac{K_e}{x}-C_A}
\]
\begin{example}
\dosageBA[dpHunit=0.2,CA=0.12,CB=0.08,pH1=11.5]
\end{example}
\dosageBA[dpHunit=0.2,CA=0.12,CB=0.08,pH1=11.5,tangentes=true]

 \vspace{1cm}

  À l'équivalence :
\[
V_{A}=\frac{C_B V_B}{C_A}\quad;\quad \mathrm{pH=7}
\]
\clearpage
\subsection{Dosage d'un acide faible concentration molaire $C_A$, de
volume $V_A$, dont on donne le $\mathrm{pK_A}$ par une base forte
 de concentration $C_B$, avec $x=[\mathrm{H_3O^+}]$}
 \[
V_B=V_A\frac{\dfrac{C_A}{\dfrac{x}{K_A}+1}+\dfrac{K_e}{x}-x}{C_B+x-\dfrac{K_e}{x}}
\]
\begin{example}
\dosageAfBF[pKA=4.75,VA=20,CB=0.1,CA=0.05,dpHunit=0.25,pH1=6,tangentes=true]
\end{example}
\dosageAfBF[pKA=4.75,VA=20,CB=0.1,CA=0.05,dpHunit=0.25,pH1=6,tangentes=true]

 \vspace{1cm}

  À l'équivalence :
\[
V_{B}=\frac{C_A V_A}{C_B}\quad;\quad
pH=7+\frac{1}{2}pK_A+\frac{1}{2}\log\left(\frac{C_A
C_B}{C_A+C_B}\right)
\]
\clearpage
\subsection{Dosage d'une base faible concentration molaire $C_B$, de
volume $V_B$, dont on donne le $\mathrm{pK_B}$ par un acide fort
 de concentration $C_A$}
 \[
V_A=V_B\frac{\dfrac{C_A}{1+\dfrac{K_e}{xK_B}}-\dfrac{K_e}{x}+x}{C_A+\dfrac{K_e}{x}-x}
\]
\begin{example}
\dosageBfAF[pKB=4.75,VB=20,CB=0.01,CA=0.02,tangentes=true,pH1=8]%
\end{example}
\centerline{\cadregris{\textbf{Courbe de variation du
pH-ammoniac/acide chlorhydrique}}}

\dosageBfAF[pKB=4.75,VB=20,CB=0.01,CA=0.02,dpHunit=0.25,tangentes=true,pH1=8]%

 \vspace{1cm}

  À l'équivalence :
\[
V_{A}=\frac{C_B V_B}{C_A}\quad;\quad
pH=7-\frac{1}{2}pK_B-\frac{1}{2}\log\left(\frac{C_A
C_B}{C_A+C_B}\right)
\]
\clearpage
\subsection{Un autre exemple de dosage d'un acide faible par une base forte}
\begin{example}
\dosageAfBF[pKA=7.3,VA=20,CB=0.02,CA=0.01,dpHunit=2,pH1=8.5,tangentes=true]
\end{example}
\dosageAfBF[pKA=7.3,VA=20,CB=0.02,CA=0.01,dpHunit=2,pH1=8.5,tangentes=true]

\clearpage
\subsection{Superposer des courbes différentes}
\begin{example}
\newpsstyle{grise}{linecolor=blue,linewidth=1.5\pslinewidth}
\newpsstyle{Dashed}{linecolor=black,linewidth=1.5\pslinewidth,linestyle=dashed}
\begin{pspicture}(\textwidth,10)
\rput[l](0,0){%
\psset{pHstyle=grise,dpH=false,Equivalence=false,tangentes=false}%
    \dosageAfBF[pKA=4.75,VA=10,CB=0.01,CA=0.01]}
\rput[l](0,0){\psset{pHstyle=Dashed}
    \dosageAfBF[pKA=4.75,VA=10,CB=0.0001,CA=0.0001]}
\end{pspicture}
\end{example}
\newpsstyle{grise}{linecolor=blue,linewidth=1.5\pslinewidth}
\newpsstyle{Dashed}{linecolor=black,linewidth=1.5\pslinewidth,linestyle=dashed}
\begin{pspicture}(\textwidth,10)
\rput[l](0,0){\psset{pHstyle=grise}\dosageAfBF[pKA=4.75,VA=10,CB=0.01,CA=0.01,dpH=false,Equivalence=false,pH1=6,tangentes=false]}
\rput[l](0,0){\psset{pHstyle=Dashed}\dosageAfBF[pKA=4.75,VA=10,CB=0.0001,CA=0.0001,dpH=false,Equivalence=false,tangentes=false]}
\end{pspicture}
\clearpage
\subsection{Dosage d'un triacide $\mathrm{AH_3}$, de concentration
molaire $C_A$, de volume $V_A$, dont les constantes d'acidité sont
$K_{A1}$, $K_{A2}$ et $K_{A3}$, par une base forte $B$, de concentration
$C_B$}
\[V_B=V_A\frac{C_A\dfrac{\left(1+\dfrac{2K_{A1}}{x}+\dfrac{3K_{A2}K_{A3}}{x^2}\right)}
                                {\left(\dfrac{x}{K_{A1}}+1+\dfrac{K_{A2}}{x}+\dfrac{K_{A2}K_{A3}}{x^2}\right)}
                            + \dfrac{K_e}{x}-x}
                     {x-\dfrac{K_e}{x}+C_B}
\]
\begin{example}
\dosagetriacide[VA=5,dpHunit=0.75]
\end{example}
\centerline{\cadregris{\textbf{Dosage de l'acide phosphorique par la soude}}}

\dosagetriacide[VA=5,dpHunit=0.75]
\clearpage
\section{Changer le papier millimétré}
On peut redéfinir le papier millimétré initialement défini par :
\begin{example}
\newcommand\grille{%
        \psset{gridwidth=0.8\pslinewidth}
        \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=10,
                subgridwidth=0.1\pslinewidth,
                subgridcolor=gray,gridcolor=red](15,14)%
        \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,
                subgridwidth=0.4\pslinewidth,
                subgridcolor=gray,gridcolor=red](15,14)%
        \psset{arrowscale=1.5,arrowinset=0.2}%
        \uput[0](0,14){\cadre{\textsf{pH}}}%
        \psaxes{->}(15,14)}
\end{example}
En écrivant, par exemple :
\begin{example}
\renewcommand\grille{%
        \psgrid[subgridwidth=0.2\pslinewidth,gridlabels=0pt](15,14)%
        \psset{arrowscale=1.5,arrowinset=0.2}%
        \uput[l](0,14){\cadregris{\textsf{pH}}}%
        \psaxes{->}(15,14)}
\end{example}
\clearpage
\renewcommand\grille{%
        \psgrid[subgridwidth=0.2\pslinewidth,gridlabels=0pt](15,14)%
        \psset{arrowscale=1.5,arrowinset=0.2}%
        \uput[l](0,14){\cadregris{\textsf{pH}}}%
        \psaxes{->}(15,14)}
\begin{example}
\dosageBfAF[pKB=5.2,VB=20,CB=0.01,CA=0.02,dpHunit=0.25,tangentes=true,pH1=7.5]%
\end{example}
\dosageBfAF[pKB=5.2,VB=20,CB=0.01,CA=0.02,dpHunit=0.25,tangentes=true,pH1=7.5]%
\end{document}