\documentclass[12pt]{article} \usepackage{pst-mirror,pst-grad} \usepackage[garamond]{mathdesign} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage[a4paper,dvips,hmargin=2cm,vmargin=3cm]{geometry} \usepackage[colorlinks=true,dvips]{hyperref} \usepackage[frenchb]{babel} % Mluque5130@aol.com % image dans une boule % 6 juillet 2002 % page 134 optique géométrique supérieure Bouasse % quadrillage plan défini la % normale en son origine % les coordonnées de l'origine % les coordonnées dans ce plan % de ses coins % point (x,y,z=D) % ligne % le 7 juillet 2002 % arc & cercle % A, B et C (les premières lettres... ) % tout ce qui précède est abandonné ! % 17 juillet 2002 % définir un cercle par le plan % auquel il appartient % normale en son centre % et coordonnées du centre % 18 juillet : quadrillage dans un plan % défini comme précédemment % Frame défini dans son plan % lui même défini par sa normale % et son origine % 20 juillet 2002 % le Cube % 22 juillet % le tetraèdre % 23 juillet % amélioration du test de visibilité % 25 juillet 2002 % BouleSphere % introduction d'un fichier .pro % qui permet de diviser par 2 % la taille des des fichiers .dvi et .ps % Cylindre % 26 juillet % modifications sur la sphère % 28 juillet un décor % 29 juillet 2002 % permutations des coordonnées x,y,z % dans l'ordre et le sens conventionnel % D --> x : distance à la boule % du plan vertical perpendiculaire à Ox % contenant le point M(x,y,z) % Oz vertical % redéfinition de la sphère % et du cylindre % 31 juillet 2002 % Cône % 2 août 2002 % représenter une fraction du cône % Pyramide % 7 juillet 2008 % \psBouleLine(x1,y1,z1)(x2,y2,z2)(x3,y3,z3)... % les couleurs % juillet 2008 % révision générale % projection de texte % coup de main de Jean-Paul Vignault % pour affiner l'affichage des textes \definecolor{Beige} {rgb}{0.96,0.96,0.86} \definecolor{GrisClair} {rgb}{0.8,0.8,0.8} \definecolor{GrisTresClair} {rgb}{0.9,0.9,0.9} \definecolor{OrangeTresPale}{cmyk}{0,0.1,0.3,0} \definecolor{OrangePale}{cmyk}{0,0.2,0.4,0} \definecolor{BleuClair}{cmyk}{0.2,0,0,0} \definecolor{LightBlue}{rgb}{.68,.85,.9} \definecolor{DarkGreen}{rgb}{0,.85,0} \definecolor{Copper}{cmyk}{0,0.9,0.9,0.2} %%%% % 6 août 2002 % Manuel LUQUE <Mluque5130@aol.com> \title{Images dans un miroir sphérique} \author{Manuel Luque\thanks{\mbox{Je remercie Bruno Guegan et Jean-Paul Vignault pour leurs aides respectives.}}\\ \makeatletter \textsf{<Mluque5130@aol.com>} \makeatother } \date{6 août 2\,002-20 juillet 2\,008} \newcounter{boua} \newcommand{\itemBoua}{\addtocounter{boua}{1}\strut\indent\textit{\theboua}\textsuperscript{o} --- } \makeatother \makeatletter % macro d'Etienne RIGA sur fr.comp.text.tex \newcount\r@pport \newdimen\r@ppord \newcount\kslant \newdimen\kslantd \def\ARC#1{\setbox0\hbox{$\m@th\displaystyle#1$}\kslant=\ht0 \divide\kslant by1000\multiply\kslant by\fontdimen1\textfont1 \divide\kslant by10000\kslantd=\kslant\fontdimen6\textfont1 \divide\kslantd by7750\kern\kslantd \r@ppord=\wd0\multiply\r@ppord by100\divide\r@ppord by\ht0 \multiply\r@ppord by300\advance\r@ppord by\ht0 \pspicture(0,0) \parabola[linewidth=.3pt](0,1.05\ht0)(.5\wd0,1.21\r@ppord) \endpspicture\kern-\kslantd\box0} \makeatother \def\oeil{\psarc[linewidth=2pt](0,2.5){2.5}{215}{270}% \psarc[linewidth=2pt](0,-2.5){2.5}{90}{140}% \psarc(-2.5,0){1}{-30}{30}% \psarc(0,0){1.75}{160}{200} \psclip{% \pscircle[linestyle=none](0,0){1.75}} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-2.5,0){0.9} \endpsclip}% \def\decor{% % plan de front \psset{Boule=false} {\psset{normale=0 0,% Xorigine=40,% Yorigine=0,% Zorigine=0} \BouleFrame[fillstyle=solid,fillcolor=OrangePale](-70,-50)(70,10) \BouleQuadrillage[linecolor=blue,linewidth=0.2mm,grille=10,Ymin=-50,Ymax=10,Xmax=70,Xmin=-70](40,0,0)}% % plan horizontal {\psset{normale=0 90,% Xorigine=40,% Yorigine=0,% Zorigine=-10} \BouleFrame[fillstyle=solid,fillcolor=cyan,opacity=0.5](-70,-30)(70,0) \BouleQuadrillage[linecolor=blue,linewidth=0.2mm,grille=10,Ymin=-30,Ymax=0,Xmax=70,Xmin=-70](40,0,-10)}% % plan vertical gauche {\psset{normale=90 0,% Xorigine=40,% Yorigine=70,% Zorigine=-10} \BouleFrame[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0)(-30,-60) \BouleQuadrillage[linecolor=blue,linewidth=0.05mm,grille=10,Ymin=-60,Ymax=0,Xmin=-30,Xmax=0](40,70,-10)} % plan vertical droit {\psset{normale=90 0,% Xorigine=40,% Yorigine=-70,% Zorigine=-10} \BouleFrame[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0)(-30,-60) \BouleQuadrillage[linecolor=blue,linewidth=0.05mm,grille=10,Ymin=-60,Ymax=0,Xmin=-30,Xmax=0](40,-70,-10)}} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \section{Objectifs } On voit souvent dans les villes, lorsque la visibilité à la sortie d'un garage ou à un carrefour est insuffisante, ou bien dans certains magasins pour des motifs de surveillance, des miroirs bombés donnant de l'environnement un panorama très large. On peut prendre aussi une boule argentée ou dorée que l'on suspend aux branches des sapins de Noël, pour voir le décor se réfléchir dans la boule avec une distorsion bien particulière. L'objectif est de définir des éléments de décor en 3D, \textit{des briques}, pour reconstruire ce qu'un observateur placé à une certaine distance d'une boule miroir, à la même hauteur que son centre verrait. Les \textit{briques} à notre disposition sont : \begin{itemize} \item Un parallélépipède rectangle donné par ses trois dimensions \verb+A,B,C+ : il peut donc se transformer en cube et même en dé. \item Un quadrillage plan défini par son origine, la normale au plan et ses limites. \item Une ligne. \item Un rectangle défini comme le quadrillage. \item Un polygone. \item Un cercle défini par la normale à son plan, son origine et son rayon, un arc de cercle défini comme le cercle avec ses deux angles limites. \item Un point de l'espace. \item Un tétraèdre donné par les coordonnées du centre de sa base et le rayon du cercle inscrivant chaque face, que l'on peut faire tourner. \item Une pyramide à base carrée donnée par le demi-côté de sa base et sa hauteur que l'on peut faire tourner et placer où on veut. \item Une sphère donnée par les coordonnées du centre \verb+CX=...+,\verb+CY=...+,\verb+CZ=...+ et le rayon, que l'on peut faire tourner avec les paramètres \verb+RotX=...+,\verb+RotY=...+,\verb+RotZ=...+. \item Un cylindre vertical défini par son rayon, sa hauteur, que l'on peut faire tourner avec les paramètres \verb+RotX=...+,\verb+RotY=...+,\verb+RotZ=...+ et dont le centre de la base se placera avec les paramètres \verb+CX=...+,\verb+CY=...+,\verb+CZ=...+ \item Un cône et tronc de cône définis par le rayon de la base, la hauteur et la fraction de hauteur qu'on souhaite retenir (pour le tronc ce cône). On peut les placer ou l'on veut et les faire tourner comme les autres éléments. \item Image d'un texte écrit sur un plan quelconque. \end{itemize} \section{Présentation du problème théorique} \begin{figure} \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-6)(11,6) \pnode(0,0){O} \pnode(! /xA 8 def /yA 5 def xA yA){A} \pnode(! /Theta 10 def /xI1 5 Theta cos mul def /yI1 5 Theta sin mul def xI1 yI1){I1} \psline[linecolor=red](I1)(A) \pnode(! /Alpha1 yA yI1 sub xA xI1 sub atan def /iAngle Alpha1 Theta sub def /Alpha1' Theta iAngle sub def /xP1' xI1 6 Alpha1' cos mul add def /yP1' yI1 6 Alpha1' sin mul add def xP1' yP1'){P1'} \psline[linecolor=red](I1)(P1') \pcline[linecolor=blue,nodesepB=-4](O)(I1) \pnode(! /Theta 20 def /xI2 5 Theta cos mul def /yI2 5 Theta sin mul def xI2 yI2){I2} \pnode(! /Alpha2 yA yI2 sub xA xI2 sub atan def /iAngle Alpha2 Theta sub def /Alpha2' Theta iAngle sub def /xP2' xI2 6 Alpha2' cos mul add def /yP2' yI2 6 Alpha2' sin mul add def xP2' yP2'){P2'} \psline[linecolor=red](I2)(P2') \pcline[linecolor=blue,nodesepB=-4](O)(I2) \pnode(! /tanAlpha1' Alpha1' dup sin exch cos div def /tanAlpha2' Alpha2' dup sin exch cos div def /xA' yI2 yI1 sub xI2 tanAlpha2' mul sub xI1 tanAlpha1' mul add tanAlpha1' tanAlpha2' sub div def /yA' xA' tanAlpha1' mul yI1 add xI1 tanAlpha1' mul sub def xA' yA'){A'} \psdot(A') \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=black](A'){0.5}{-35}{-5} \uput{0.5}[-15](A'){$\varepsilon'$} \psline[linestyle=dashed](A')(I1) \psline[linestyle=dashed](A')(I2) \pscircle{5} \psdot(A) \psline[linestyle=dotted](O)(A) \uput[0](A){A} \uput[45](A'){A'} \uput[180](O){O} \uput[80](I2){$\mathrm{I_1}$} \uput[-135](I1){$\mathrm{I_2}$} \psline[linestyle=dotted](O)(A') \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=black](A){2}{224.9}{233.335} \uput{2.1}[230](A){$\varepsilon$} \psline[linecolor=red](I2)(A) \psline[linecolor=red](I1)(A) \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=black](O){2}{10}{20} \uput{2.1}[15](O){$\omega$} \psarc(O){2}{10}{20} \psarc[doubleline=true](I1){0.75}{10}{53.335} \psarc[doubleline=true](I1){0.95}{-33.335}{10} \uput{1}[-12](I1){$i+\mathrm{d}i$} \psarc(I2){0.75}{20}{44.9} \psarc(I2){0.95}{-4.9}{20} \uput{0.8}[31](I2){$i$} \uput{1}[7.5](I2){$i$} % \psaxes(0,0)(-5,-6)(10,6) \end{pspicture} \end{center} \end{figure} Il s'agit d'étudier la réflexion d'un mince pinceau conique émis par~A se réfléchissant sur le miroir sphérique et qui pénétrera dans l'\oe{}il de l'observateur. C'est un problème très complexe qui a été abordé dans sa généralité par Henri Bouasse dans son livre : \textit{Optique supérieure}, paru en 1917 aux éditions Delagrave. Le point lumineux A, quel qu'il soit, est dans le plan du grand cercle de la sphère défini par $\mathrm{OI_1A}$. Je donne le début de cette étude théorique, qui est une adaptation des pages~108 et suivantes de son livre, sans la développer jusqu'à son terme, car comme l'indique Henri Bouasse lui-même \guillemotleft \textit{ Le problème est généralement inextricable, sauf dans le cas où la symétrie du système indique quels rayons il faut regrouper après réflexion} \guillemotright. Et bien que la fin de cette remarque s'applique au miroir sphérique, encore faudrait-il que les calculs soient facilement programmables et relativement rapides et j'avoue avoir été découragé par leur complexité. Heureusement, nous verrons que dans certaines conditions, de judicieuses approximations permettent d'obtenir une solution réaliste. Afin d'apprécier la difficulté du problème, on considère d'abord les limites du pinceau dans ce plan, c'est à dire sur l'arc \ARC{\mathrm{\hspace{0.5em}I_1I_2}}. Les angles sont exagérément grands pour des raisons de clarté. Dans le triangle $\mathrm{OI_1A}$, $$i=\mathrm{\widehat{I_1OA}+\widehat{OAI_1}}$$ Dans le triangle $\mathrm{OI_2A}$, $$\begin{array}{rcl} i+\mathrm{d}i&=&\mathrm{\widehat{I_2OA}+\widehat{OAI_2}}\\ &=&\mathrm{\widehat{I_2OI_1}+\widehat{I_1OA}+\widehat{OAI_1}+\widehat{I_1AI_2}}\\ &=&\mathrm{\omega+\widehat{I_1OA}+\widehat{OAI_1}+\varepsilon} \end{array} $$ On en déduit : \begin{equation} \mathrm{d}i=\omega+\varepsilon \label{di_one} \end{equation} Dans le triangle $\mathrm{OI_1A'}$ $$i=\mathrm{\pi-(\widehat{I_1OA'}+\widehat{OA'I_1})}$$ Dans le triangle $\mathrm{OI_2A'}$ $$\begin{array}{rcl} i+\mathrm{d}i&=&\pi-(\mathrm{\widehat{I_2OA'}+\widehat{OA'I_2})}\\ &=&\pi-\left(\mathrm{(\widehat{I_2OI_1}+\widehat{I_1OA'})+(\widehat{OAI'_1}-\widehat{I_1A'I_2})}\right)\\ &=&\pi-\left(\mathrm{(\omega+\widehat{I_1OA'})+(\widehat{OA'I_1}-\varepsilon')}\right) \end{array} $$ On en déduit : \begin{equation} \mathrm{d}i=-\omega+\varepsilon' \label{di_two} \end{equation} En rapprochant (\ref{di_one}) et (\ref{di_two}) : \begin{equation} \omega+\varepsilon=-\omega+\varepsilon'\Longleftrightarrow2\omega=\varepsilon'-\varepsilon \label{omega} \end{equation} En se rappelant qu'en réalité $\varepsilon$, $\varepsilon'$ et $\omega$ sont de petits angles, on établit les relations suivantes, en posant : $$t=\mathrm{AI_1}\textrm{ et } t'=\mathrm{A'I_1}$$ $$\mathrm{d}s=\ARC{\mathrm{\hspace{0.5em}I_1I_2}}=R\omega=\frac{t\varepsilon}{\cos i}=\frac{t'\varepsilon'}{\cos i}$$ $$\varepsilon=\frac{\mathrm{R}\omega\cos i}{t}\qquad\varepsilon'=\frac{\mathrm{R}\omega\cos i}{t'}$$ Compte-tenu de la relation (\ref{omega}), on en déduit la formule fondamentale : $$\frac{1}{t'}-\frac{1}{t}=\frac{2}{\mathrm{R}\cos i}$$ S'il n'y avait que le faisceau de rayons balayant depuis A l'arc \ARC{\mathrm{I_1I_2}}, l'image virtuelle que verrait l'\oe{}il serait $\mathrm{A'}$, qui est dans ce plan la trace de la \textit{focale tangentielle}. Il faut maintenant envisager toutes les autres génératrices du cône. On en prend deux de particulières, celles qui sont sur les bouts de l'arc de cercle de la sphère perpendiculaire au grand cercle précédent. Nous ne pouvons plus nous placer maintenant dans un plan pour faire le schéma. Ces deux génératrices permettent de déterminer la \textit{focale radiale} $\mathrm{A''}$. Les deux focales $\mathrm{A'}$ et $\mathrm{A''}$ sont alignées avec le rayon réfléchi correspondant au rayon moyen du pinceau incident. En conclusion, à la page 134, Henri Bouasse écrit : \guillemotleft \textit{ l'\oe{}il n'utilise qu'un pinceau extrêmement étroit ; il s'accommode sur l'une des focales ou sur le cercle de diffusion.} \guillemotright. Nous avons un peu avancé, mais quel(s) point(s) calculer? Les milieux des focales tangentielles, radiales et du cercle de diffusion se trouvent alignés avec l'\oe{}il et le point d'incidence du rayon moyen du faisceau (celui qui après réflexion passe par l'\oe{}il). L'image obtenue d'un objet quelconque n'est pas plane. On pourrait contourner la difficulté en imaginant un plan fictif perpendiculaire à l'axe \oe{}il-centre de la boule et passant par une valeur moyenne des cercles de diffusion, sur lequel on calculerait les intersections des rayons. Il faut bien reconnaître que tout cela est passablement compliqué. Henri Bouasse propose, dans certaines conditions, une méthode approximative qui donne de bons résultats et qui a l'avantage d'être simple. C'est l'intégralité de cette solution qu'il donne dans les pages 133, 134 et 135 de son livre, qui est développée ci-après. \section{Vision dans une boule de jardin} \begin{figure} \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-2)(8,14) \pscircle{2} \psline[linewidth=0.8mm](8,0.2)(8,14) \psline[linewidth=0.8mm](8,-0.2)(8,-2) \psline(-5,0)(8.2,0) \psline(4;30) \psarc(0,0){1}{0}{30} \uput[15](1;15){$i$} \pnode(!2 30 cos mul 2 30 sin mul){I} \psline[linestyle=dashed](!0 2 30 sin mul)(I) \psline(!0 2 30 sin mul)(0,0) \uput[180](!0 1 30 sin mul){$\rho'$} \psline(I)(!8 2 30 sin mul) \rput(I){\psarc(0,0){1}{0}{30} \uput[15](1;15){$i$} \psline(! /IH 8 2 30 cos mul sub 2 mul def IH 60 cos mul IH 60 sin mul)} \uput[270](0,0){C} \uput[45](8,0){T} \uput[180](8,-2){E} \uput[180](-2,0){B} \uput[270](5,0){D} \uput[180](8,6){$\rho$} \end{pspicture} \end{center} \end{figure} \itemBoua Pour effectuer les expériences suivantes, on se sert d'une boule de jardin achetée dans un bazar, ou d'un petit ballon de verre de 5~cm de diamètre environ dont on argente la surface extérieure. On peut argenter extérieurement une bille d'ivoire. Sur une très grande feuille de carton blanc E, on trace un quadrillage en traits noirs épais. On regarde l'image de ce quadrillage par un petit trou percé au centre du carton. La distance $\mathrm{D=TB}$ sera prise d'une trentaine de centimètres. Le quadrillage apparaît déformé \textit{en barillet}, mais \textit{parfaitement net}. \\ \itemBoua Pour avoir une idée de la loi de déformation supposons l'\oe{}il assez loin pour que les rayons réfléchis qui y parviennent, soient quasi-parallèles. Appelons $\rho'$ la distance d'un rayon à la droite TB. Soit R le rayon de la boule. l'angle d'incidence est : $$i=\arcsin(\rho':\mathrm{R})$$ Le point où le rayon conjugué coupe l'écran E, est à une distance $\rho$ de TB donnée par la formule~: $$\rho=\mathrm{D}\tan2i$$ D'où la loi approchée : $$\arctan\frac{\rho}{\mathrm{D}}=2\arcsin\frac{\rho'}{\mathrm{R}}$$ $\rho$ devient infini pour : $$\arcsin(\rho':\mathrm{R})=45^\mathrm{o}\qquad \rho'=0.7\mathrm{R}$$ En conséquence, si grand que soit le carton, son image occupera moins des sept dixièmes du diamètre. \section{Exemples} \begin{pspicture}(-8,-8)(8,8) \BouleFrame[normale=0 90, Xorigine=50,% Yorigine=0,% Zorigine=-20,% fillstyle=solid,fillcolor=OrangePale](-70,-50)(70,50) \BouleQuadrillage[normale=0 90, linecolor=blue,linewidth=0.2mm,grille=10,Ymin=-50,Ymax=50,Xmax=70,Xmin=-70](50,0,-20)% {\psset{fillstyle=solid,fillstyle=solid,fillcolor=GrisClair,A=5,B=A,C=A} \multido{\iX=95+-20}{4}{% \multido{\iZ=55+-10}{6}{% \psset{CX=\iX,CZ=\iZ,CY=45} \Cube} \multido{\iZ=-15+10}{2}{% \psset{CX=\iX,CZ=\iZ,CY=45} \Cube} \multido{\iZ=55+-10}{6}{% \psset{CX=\iX,CZ=\iZ,CY=-45} \Cube} \multido{\iZ=-15+10}{2}{% \psset{CX=\iX,CZ=\iZ,CY=-45} \Cube} \multido{\iY=35+-10}{4}{% \psset{CX=\iX,CZ=55,CY=\iY} \Cube} \multido{\iY=-35+10}{4}{% \psset{CX=\iX,CZ=55,CY=\iY} \Cube} }} \multido{\iZ=-15+10,\iRotZ=20+45}{2}{% \psset{fillstyle=solid,fillstyle=gradient,fillcolor=GrisClair,A=5,B=A,C=A} \psset{CX=5,CY=-65,CZ=\iZ,RotZ=\iRotZ}\Cube% } \multido{\iZ=-15+10}{2}{% \psset{fillstyle=solid,fillstyle=solid,fillcolor=GrisClair,A=5,B=A,C=A} \psset{CX=15,CY=45,CZ=\iZ}\Cube \psset{CY=-45}\Cube} \multido{\iZ=15+-10,\iRotZ=30+30}{2}{% \psset{fillstyle=solid,fillstyle=solid,fillcolor=GrisClair,A=5,B=A,C=A} \psset{CX=15,CY=45,CZ=\iZ,RotZ=\iRotZ}\Cube% } \multido{\iZ=25+-10,\iRotZ=30+20}{3}{% \psset{fillstyle=solid,fillstyle=solid,fillcolor=GrisClair,A=5,B=A,C=A} \psset{CX=15,CY=-45,CZ=\iZ,RotZ=\iRotZ}\Cube% } \multido{\iX=95+-20}{5}{% \multido{\iY=-25+10}{6}{% \psset{fillstyle=gradient,gradbegin=white,gradend=red,gradmidpoint=0.2,linewidth=0.05mm,% CY=\iY,% CZ=-20,% CX=\iX} \ifnum\iX=15 \ifnum\iY=-15 {\psset{RotY=90,RotZ=-45,CZ=-17.5} \BouleCylindre{2.5}{-10}} \else \BouleCylindre{2.5}{10} \fi \else \BouleCylindre{2.5}{10} \fi}} \multido{\iY=25+-10,\iRotY=0+60}{6}{% \psset{fillstyle=solid,linewidth=0.05mm} {\psset{CX=55,CY=\iY,CZ=-10,A=2.5,Hpyramide=5} \Pyramide} } \multido{\iY=25+-10,\iRotY=0+60}{6}{% \psset{fillstyle=gradient,gradbegin=white,gradend=red,gradmidpoint=0.2,linewidth=0.05mm} {\psset{CX=35,CY=\iY,CZ=-10} \BouleCone{2.5}{2.5}} } \multido{\iY=25+-10,\iRotY=0+60}{6}{% \psset{fillstyle=gradient,gradbegin=white,gradend=blue,gradmidpoint=0.2,linecolor=cyan,linewidth=0.1mm} \ifnum\iY=-15 {\psset{CX=7.5,CY=-5,CZ=-17.5,RotY=\iRotY} \BouleSphere{2.5}} \else {\psset{CX=15,CY=\iY,CZ=-7.5,RotY=\iRotY} \BouleSphere{2.5}} \fi} \psset{CX=2.5,CZ=-10,CY=15,fracHcone=0.5,% linecolor=red,fillstyle=gradient,gradbegin=yellow,gradend=red,gradmidpoint=0,linewidth=0.05mm} \BouleCone{2.5}{5} {\psset{RotX=0,RotZ=20,RotY=30,CX=2.5,CZ=-10,CY=2.5,fillstyle=solid,linecolor=black,A=2,Hpyramide=3} \Pyramide} {\psset{linecolor=red,CZ=5,A=2.5,B=A,C=A,RotZ=-50,RotX=20,RotY=30,CY=0,CX=20,% fillstyle=solid,fillcolor=OrangePale} \Die} \end{pspicture} \begin{pspicture}(-8,-8)(8,8) %\psset{scale=2} \BouleFrame[Xorigine=20,% Yorigine=0,% Zorigine=0,% fillstyle=solid,fillcolor=OrangePale](-70,-50)(70,10) \BouleQuadrillage[linecolor=blue,linewidth=0.2mm,grille=5,Ymin=-50,Ymax=50,Xmax=70,Xmin=-70](20,0,0)% % \BouleFrame[normale=90 0,% Xorigine=10,% Yorigine=70,% Zorigine=0,% fillstyle=solid,fillcolor=yellow](-10,-50)(10,10) \multido{\nX=17.5+-10.0}{2}{% \multido{\nY=-67.5+10.0}{14}{% \BouleFrame[normale=0 90, Xorigine=\nX,% Yorigine=\nY,% Zorigine=-10,% fillstyle=solid,fillcolor=yellow](-2.5,-2.5)(2.5,2.5)% }} \multido{\nX=12.5+-10.0}{2}{% \multido{\nY=-62.5+10.0}{14}{% \BouleFrame[normale=0 90,% Xorigine=\nX,% Yorigine=\nY,% Zorigine=-10,% fillstyle=solid,fillcolor=yellow](-2.5,-2.5)(2.5,2.5)% }} \BouleQuadrillage[normale=90 0,% linecolor=blue,linewidth=0.2mm,grille=5,Xmin=-10,Xmax=10,Ymax=10,Ymin=-50](10,70,0)% \BouleQuadrillage[normale=0 90,% linecolor=blue,linewidth=0.2mm,grille=5,Xmin=-70,Xmax=70,Ymax=10,Ymin=-10](10,0,-10)% {\psset{linecolor=black,CZ=52,A=5,B=70,C=2,CY=0,CX=15,fillstyle=solid} \Cube} {\psset{linecolor=red,CX=15,A=5,B=A,C=A,CY=-10,CZ=-5,RotZ=0,fillstyle=solid,fillcolor=blue} \Die}% \multido{\nZ=47.5+-5.0}{10}{% \psset{linecolor=red,CY=22.5,A=2.5,B=A,C=A,CZ=\nZ,CX=17.5,fillstyle=solid} \Cube} \multido{\nZ=-7.5+5.0}{2}{% \psset{linecolor=red,CY=22.5,A=2.5,B=A,C=A,CZ=\nZ,CX=17.5,fillstyle=solid} \Cube} {\psset{fillstyle=gradient,gradbegin=white,gradend=blue,% gradmidpoint=0.2,linecolor=cyan,linewidth=0.1mm,% CX=15,RotX=45,RotY=60} \BouleSphere{5}} {\psset{fillstyle=gradient,gradbegin=white,gradend=red,gradmidpoint=0.2,linewidth=0.1mm,% CX=10,CY=20,CZ=-10} \BouleCylindre{5}{7.5}} {\psset{fillstyle=gradient,gradbegin=white,gradend=red,gradmidpoint=0.2,linewidth=0.1mm,% CX=15,CY=10,CZ=-7.5,RotY=90,RotX=-45} \BouleCylindre{2.5}{-10}} {\psset{linecolor=red,CX=10,A=2.5,B=A,C=A,CY=-40,CZ=-7.5,RotZ=60,fillstyle=solid,fillcolor=yellow} \Die}% {\psset{CZ=-10,CY=-2.5,CX=2.5,RotZ=-20,linecolor=black,fillstyle=gradient,Rtetraedre=2.5} \Tetraedre} \multido{\nY=-67.5+10.0}{9}{% {\psset{linecolor=blue,CZ=17.5,A=1,B=2.5,C=2.5,CY=\nY,CX=19,fillstyle=solid,% linewidth=0.1mm} \Cube}} \multido{\nY=-62.5+10.0}{8}{% \psset{RotX=0,RotZ=0,RotY=-90,CX=20,CZ=12.5,CY=\nY,fillstyle=solid,linecolor=black,A=2.5,Hpyramide=3} \Pyramide} \end{pspicture} \section{Utilisation des briques} \subsection{Le repère} l'origine est placée contre la boule, sur l'horizontale joignant le centre~C de la boule à l'\oe{}il de l'observateur. O$z$ est vertical, O$xy$ forme le plan horizontal. Tous les objets seront donc placés au-delà de O avec $x>0$. \begin{center} \begin{pspicture}(-2,-2)(10,5) \pscircle{2} \rput(2,0){% \psline{->}(5,0) \psline{->}(0,5) \psline{->}(4;30) \uput[-90](5,0){$x$} \uput[180](0,5){$z$} \uput[30](4;30){$y$}} \rput(10,0){\oeil} \uput[180](2,0){O} \psdot(0,0) \end{pspicture} \end{center} \subsection{Placer un quadrillage} Le plan du quadrillage est défini par une origine (\textsf{Xorigine,Yorigine,Zorigine}), le vecteur unitaire normal au plan donné par sa longitude et sa latitude $(\theta,\phi)$ lesquelles sont paramétrées, avec des valeurs en degrés avec : \textsf{% \begin{itemize} \item normale =$\theta$ $\phi$ \end{itemize}} Un vecteur unitaire quelconque a pour coordonnées, en fonction de $\theta$ et $\phi$ : $$ \vec{u}=\left( \begin{array}{c} \cos\theta\cos\phi\\ \sin\theta\cos\phi\\ \sin\phi \end{array} \right) $$ $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ sont les vecteurs unitaires dirigés respectivement suivant O$x$, O$y$ et O$z$. Le vecteur unitaire normal à un plan de front, c'est-à-dire parallèle à O$yz$, est le vecteur $\vec{i}$ ou $-\vec{i}$, $\vec{u}(\theta=0\textrm{ ou } \pi,\phi=0)$. Un plan horizontal est parallèle à O$xy$, un vecteur normal est soit $\vec{k}$, soit $-\vec{k}$, il est défini par $\vec{u}(\theta=\textrm{valeur indifférente} (0),\phi=\pi/2\textrm{ ou }-\pi/2)$. Un plan vertical parallèle à O$xz$ a pour normale $\vec{j}$ ou $-\vec{j}$, donc $\theta=\pi/2\textrm{ ou }-\pi/2$ et $\phi=0$. \textbf{Une remarque importante} : le vecteur unitaire choisi normal au plan $\vec{u}$, détermine l'orientation des vecteurs $\vec{I}$ et $\vec{J}$ du plan, avec les règles habituelles d'orientation : le trièdre $(\vec{I},\vec{J},\vec{u})$ est direct,\textbf{ mais le vecteur $\vec{I}$ a été pris dans le plan de référence O$xy$}. Pour que le quadrillage soit parfaitement déterminé, on fixe les valeurs de deux sommets opposé avec : \textsf{Ymin=-50,Ymax=10,Xmax=70,Xmin=-70}. Ainsi que le pas de la grille avec \textsf{grille=10}, par exemple. \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,5) \decor % les graduations \multido{\iY=-70+10}{15}{% \BoulePoint(40,\iY,0){A} \uput[90](A){\footnotesize\red\iY}} \multido{\iX=10+10}{4}{% \BoulePoint(\iX,0,-10){A} \uput[-45](A){\footnotesize\blue\iX}} \multido{\iZ=-10+10}{7}{% \BoulePoint(40,0,\iZ){A} \uput[135](A){\footnotesize\green\iZ}} \end{pspicture} \end{center} En bleu graduations de l'axe O$x$, en rouge celles de O$x$ et en vert celles de O$z$. Le quadrillage du plan de front est défini par : {\footnotesize \begin{verbatim} \BouleQuadrillage[normale=0 0,% par défaut linecolor=blue,linewidth=0.2mm,grille=10,% Ymin=-50,Ymax=10,Xmax=70,Xmin=-70](40,0,0)% \end{verbatim}} Le quadrillage du plan horizontal par : {\footnotesize \begin{verbatim} \BouleQuadrillage[normale=0 90,% linecolor=blue,linewidth=0.2mm,grille=10,% Ymin=-30,Ymax=0,Xmax=70,Xmin=-70](40,0,-10)% \end{verbatim}} Les quadrillages des plans latéraux par : {\footnotesize \begin{verbatim} \BouleQuadrillage[normale=90 0,% linecolor=blue,linewidth=0.05mm,grille=10,% Ymin=-60,Ymax=0,Xmin=-30,Xmax=0](40,70,-10)% \BouleQuadrillage[normale=90 0,% linecolor=blue,linewidth=0.05mm,grille=10,% Ymin=-60,Ymax=0,Xmin=-30,Xmax=0](40,-70,-10)% \end{verbatim}} On peut se rendre compte de ce qui se produit en changeant l'orientation du vecteur normal. J'inverse l'orientation de la normale pour les quatre plans. On obtient la même chose que précédemment en faisant : {\footnotesize \begin{verbatim} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,4) % plan de front \psset{Boule=false} {\psset{normale=180 0,% Xorigine=40,% Yorigine=0,% Zorigine=0} \BouleFrame[fillstyle=solid,fillcolor=OrangePale](-70,-50)(70,10) \BouleQuadrillage[linecolor=blue,linewidth=0.2mm,grille=10,% Ymin=-50,Ymax=10,Xmax=70,Xmin=-70](40,0,0)}% % plan horizontal {\psset{normale=0 -90,% Xorigine=40,% Yorigine=0,% Zorigine=-10} \BouleFrame[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](70,30)(-70,0) \BouleQuadrillage[linecolor=blue,linewidth=0.2mm,grille=10,% Ymin=0,Ymax=30,Xmax=70,Xmin=-70](40,0,-10)}% % plan vertical de gauche {\psset{normale=-90 0,% Xorigine=40,% Yorigine=70,% Zorigine=-10} \BouleFrame[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0)(30,-60) \BouleQuadrillage[linecolor=blue,linewidth=0.05mm,grille=10,% Ymin=-60,Ymax=0,Xmin=0,Xmax=30](40,70,-10)} % plan vertical à droite {\psset{normale=-90 0,% Xorigine=40,% Yorigine=-70,% Zorigine=-10} \BouleFrame[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0)(30,-60) \BouleQuadrillage[linecolor=blue,linewidth=0.05mm,grille=10,% Ymin=-60,Ymax=0,Xmin=0,Xmax=30](40,-70,-10)} \end{pspicture} \end{verbatim}} \subsection{Dessiner un rectangle} Dans l'exemple précédent, j'ai dessiné les rectangles correspondants aux quadrillages. La commande est identique à celle du quadrillage avec les mêmes paramètres pour l'origine et le vecteur normal au plan. On donne les coordonnées de deux sommets opposés comme dans la commande \verb+\psframe+ de PSTricks, dans le plan. \subsection{Tracer une ligne, marquer un point} Un segment de droite est déterminé par les coordonnées de ses extrémités. Un point par ses coordonnées. On peut tracer une ligne brisée en plaçant les points à la suite, comme dans la commande de PStricks \verb+\psline+. \begin{verbatim} \BoulePoint(40,0,40){A} \BoulePoint(10,-40,-10){B} \BoulePoint(10,40,-10){C} \psdots[dotsize=1mm,linecolor=green](A)(B)(C) \psBouleLine[linecolor=red](10,40,-10)(40,0,40)(10,-40,-10) \end{verbatim} Vous remarquerez que les coordonnées de $y$ sont inversées. Je rappelle que le plan couleur \textsf{cyan} est à la cote $z=-10$. \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,5) \decor \psBouleLine[linecolor=red,linewidth=1mm](10,40,-10)(40,0,40)(10,-40,-10) \BoulePoint(40,0,40){A} \BoulePoint(10,-40,-10){B} \BoulePoint(10,40,-10){C} \psdots[dotsize=2mm,linecolor=green](A)(B)(C) \end{pspicture} \end{center} \subsection{Dessiner un polygone} Commande identique à celle de PStricks. \begin{verbatim} \psBoulePolygon[options](x0,y0,z0)(x1,y1,z1)...(xn,yn,zn) \end{verbatim} \subsection{Parallélépipède} Le parallélépipède est défini par ses trois dimensions \textsf{A,B,C}. On peut le déplacer en fixant les coordonnées de son centre avec : \textsf{CX,CY,CZ} et le faire tourner avec autour des axes avec : \textsf{RotX,RotY,RotZ} dont les valeurs sont par défauts, positionnées à 0. \begin{verbatim} \psset{A=2.5,B=5,C=A,fillstyle=solid,fillcolor=GrisClair,linecolor=red} \psset{CX=10,CZ=-5,CY=0} \Cube \end{verbatim} \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,5) \decor \psset{A=2.5,B=5,C=A,fillstyle=solid,fillcolor=GrisClair,linecolor=red} \psset{CX=15,CZ=-5,CY=0} \Cube \end{pspicture} \end{center} On le fait tourner autour de O$z$ avec \textsf{RotZ=30} etc. \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,5) \decor \psset{A=2.5,B=5,C=A,fillstyle=solid,fillcolor=GrisClair,linecolor=red} \psset{CX=15,CZ=-5,CY=0,RotZ=30} \Cube \end{pspicture} \end{center} {\footnotesize \begin{verbatim} \psset{CX=15,CZ=-5,CY=0,RotZ=30} \end{verbatim}} \subsection{Le dé} Le dé possède une commande propre \verb+\Die+, qui en interne utilise celle du \verb+Cube+ en affichant les points. Voici quelques dés. \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,5) \decor \psset{A=2.5,B=A,C=A,fillstyle=solid,fillcolor=GrisClair,linecolor=red} \psset{CX=15,CZ=-5,CY=10,RotZ=60,RotX=90} \Die \psset{A=5,B=A,C=A,fillstyle=solid,fillcolor=OrangeTresPale,linecolor=red} \psset{CX=25,CZ=5,CY=-5,RotZ=45,RotY=20,RotX=-60} \Die \end{pspicture} \end{center} {\footnotesize \begin{verbatim} \psset{A=2.5,B=A,C=A,fillstyle=solid,fillcolor=GrisClair,linecolor=red} \psset{CX=15,CZ=-5,CY=10,RotZ=60,RotX=90} \Die \psset{A=5,B=A,C=A,fillstyle=solid,fillcolor=OrangeTresPale,linecolor=red} \psset{CX=25,CZ=5,CY=-5,RotZ=45,RotY=20,RotX=-60} \Die \end{verbatim}} \subsection{Tracer un cercle ou un arc de cercle} Le cercle et l'arc de cercle seront définis par le plan auquel ils appartiennent. Comme précédemment le plan sera défini par une origine et le vecteur unitaire normal à ce plan. Ces données étant posées, il n'y plus que le rayon du cercle à fixer et les deux angles limites s'il s'agit de l'arc de cercle. \verb+\BouleCircle[...]{radius}+ \verb+\BouleArc[...]{radius}{angle_min}{angle_max}+ : respectez l'ordre des angles limites sinon l'interpréteur \textsf{PostScript} signalera une erreur. \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,5) \decor \psset{Xorigine=40}% \multido{\iYorigine=-65+10}{14}{% \psset{Yorigine=\iYorigine,Zorigine=15} \BouleCircle[linecolor=red]{5}} \multido{\iYorigine=-65+10}{14}{% \psset{Yorigine=\iYorigine,Zorigine=50} \BouleArc[linecolor=blue,linewidth=0.5mm,% fillstyle=solid,fillcolor=OrangePale]{5}{180}{360}} \end{pspicture} \end{center} Des cercles et des arcs de cercle sur le plan de front : {\footnotesize \begin{verbatim} \psset{Xorigine=40}% \multido{\iYorigine=-65+10}{14}{% \psset{Yorigine=\iYorigine,Zorigine=15} \BouleCircle[linecolor=red]{5}} \multido{\iYorigine=-65+10}{14}{% \psset{Yorigine=\iYorigine,Zorigine=50} \BouleArc[linecolor=blue,linewidth=0.5mm,% fillstyle=solid,fillcolor=OrangePale]{5}{180}{360}} \end{verbatim}} \subsection{La sphère} Elle est définie par son rayon, son centre se place avec les paramètres \textsf{CX,CY,CZ}, on la fait tourner autour de son centre avec \textsf{RotX,RotY,RotZ}. \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,5) \decor \multido{\iCY=-65+10,\iRotX=0+20}{7}{% \psset{CY=\iCY,CZ=-5,CX=15,RotX=\iRotX} \psset{fillstyle=gradient,gradbegin=white,gradend=red,% gradmidpoint=0.2,linecolor=magenta,linewidth=0.05mm} \ifnum\multidocount=7 \psset{CZ=0} \fi \ifnum\multidocount=3 \psset{CZ=20} \fi \BouleSphere{5}} \multido{\iCY=65+-10,\iRotX=0+15}{7}{% \psset{CY=\iCY,CZ=-5,CX=15,RotX=\iRotX} \psset{fillstyle=gradient,gradbegin=white,gradend=red,% gradmidpoint=0.2,linecolor=magenta,linewidth=0.05mm} \ifnum\multidocount=6 \psset{CZ=10} \fi \ifnum\multidocount=3 \psset{CZ=20,CY=5} \fi \BouleSphere{5}} \end{pspicture} \end{center} {\footnotesize \begin{verbatim} \multido{\iCY=-65+10,\iRotX=0+20}{7}{% \psset{CY=\iCY,CZ=-5,CX=15,RotX=\iRotX} \psset{fillstyle=gradient,gradbegin=white,gradend=red,% gradmidpoint=0.2,linecolor=magenta,linewidth=0.05mm} \BouleSphere{5}} \end{verbatim}} \subsection{Dessiner un cylindre} Le cylindre sera donné par le rayon de sa base et sa hauteur. Le centre de la base sera positionné avec \textsf{CX,CY,CZ}, on le fait tourner autour autour des axes avec \textsf{RotX,RotY,RotZ}. \verb+\BouleCylindre{radius}{hauteur}+ \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,5) \decor \textBoule[fillstyle=solid,fillcolor=red,fontscale=10,PSfont=Helvetica,normale=0 90](15,0,-10){l'aventure mathématique} \psset{fillstyle=gradient,gradbegin=white,gradend=red,gradmidpoint=0.2,linewidth=0.1mm} {\psset{CX=20,CY=20,CZ=-10} \BouleCylindre{5}{7.5}} {\psset{CX=15,CY=10,CZ=-7.5,RotY=90,RotX=-45} \BouleCylindre{2.5}{-10}} \textBoule[fillstyle=solid,fillcolor=red,fontscale=25,PSfont=Bookman-demibold,normale=0 0](40,0,10){Tangente} \end{pspicture} \end{center} {\footnotesize \begin{verbatim} \psset{fillstyle=gradient,gradbegin=white,gradend=red,% gradmidpoint=0.2,linewidth=0.1mm} {\psset{CX=20,CY=20,CZ=-10} \BouleCylindre{5}{7.5}} {\psset{CX=15,CY=10,CZ=-7.5,RotY=90,RotX=-45} \BouleCylindre{2.5}{-10}} \end{verbatim}} \subsection{Dessiner un cône} Le cône se définit comme le cylindre, rayon de la base, hauteur et en option la fraction de hauteur de cône si l'on souhaite avoir un tronc de cône. \verb+\BouleCone[fracHcone=0.5]{radius}{hauteur}+ \textsf{fracHcone} est obligatoirement un nombre compris entre 0 et 1. \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,5) \decor \psset{linecolor=red,fillstyle=gradient,gradbegin=yellow,gradend=red,gradmidpoint=0,linewidth=0.05mm} {\psset{CX=15,CZ=-10,CY=5,fracHcone=0.5} \BouleCone{5}{10}} {\psset{CX=40,CZ=5,CY=-25,RotY=-90} \BouleCone{5}{10}} {\psset{CX=25,CZ=5,CY=-70,RotX=-90} \BouleCone{5}{30}} \end{pspicture} \end{center} {\footnotesize \begin{verbatim} {\psset{CX=15,CZ=-10,CY=5,fracHcone=0.5} \BouleCone{5}{10}} {\psset{CX=40,CZ=5,CY=-25,RotY=-90} \BouleCone{5}{10}} {\psset{CX=25,CZ=5,CY=-70,RotX=-90} \BouleCone{5}{30}} \end{verbatim}} \subsection{Tracer une pyramide} La pyramide à base carrée est donnée par le demi-côté (\textsf{A})de sa base et sa hauteur (\textsf{Hpyramide}), que l'on peut faire tourner et placer où on veut, comme les objets précédents. \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,5) \decor \psset{fillstyle=solid,linecolor=black,A=5} \multido{\nY=-65+20.0}{7}{% \psset{RotX=0,RotZ=0,RotY=-90,CX=40,CZ=5,CY=\nY,Hpyramide=5} \Pyramide} \multido{\nY=65+-20.0,\iRotZ=0+20}{6}{% \psset{RotX=0,RotZ=\iRotZ,RotY=0,CX=20,CZ=-10,CY=\nY,Hpyramide=8} \Pyramide} \end{pspicture} \end{center} {\footnotesize \begin{verbatim} \psset{fillstyle=solid,linecolor=black,A=5} \multido{\nY=-65+20.0}{4}{% \psset{RotX=0,RotZ=0,RotY=-90,CX=40,CZ=5,CY=\nY,Hpyramide=5} \Pyramide} \multido{\nY=65+-20.0,\iRotZ=0+20}{6}{% \psset{RotX=0,RotZ=\iRotZ,RotY=0,CX=20,CZ=-10,CY=\nY,Hpyramide=8} \Pyramide} \end{verbatim}} \section{Image d'un texte} C'est la commande \verb+\textBoule[options](x,y,z){texte}+ qui permet d'afficher le texte souhaité avec les paramètres suivants : \begin{itemize} \item Le plan qui contient le texte est défini par : \begin{itemize} \item sa normale \texttt{normale=$\theta$ $\phi$} ; \item et son origine \texttt{(x,y,z)}. \end{itemize} \item La taille des caractères est fixée par \texttt{fontscale=1} : 1 cm par défaut. \item Le type de fonte par \texttt{PSfont=Times-Roman} par défaut. \item Le booléen \texttt{isolatin} qui est positionné à \texttt{true} par défaut, permet l'écriture des caractères accentués. Si l'on souhaite utiliser la police \texttt{Symbol}, permettant d'écrire les caractères grecs, il faut positionner ce booléen à \texttt{false}. \end{itemize} \begin{center} \begin{pspicture}(-8,-10)(8,10) %\psset{Rayon=8} \newpsstyle{GradWhiteYellow}{fillstyle=gradient,% gradbegin=yellow,gradend=yellow!20,linecolor=yellow!50,GradientCircle=true,gradmidpoint=0,GradientPos={(1,1)}}% \pscircle[style=GradWhiteYellow]{7.07} \BouleQuadrillage[linecolor=red,grille=10,Ymin=-50,Ymax=50,Xmax=80,Xmin=-80,normale=0 0](20,0,0) \BouleQuadrillage[linecolor=blue,grille=10,Ymin=-40,Ymax=-20,Xmax=80,Xmin=-80,normale=0 90](40,0,-10)% \textBoule[fillstyle=solid,fillcolor=red,normale=0 0,fontscale=30,PSfont=Bookman-demibold,yO=0](20,0,10){Tangente} \textBoule[fillstyle=solid,fillcolor=blue,normale=0 90,fontscale=10,PSfont=Helvetica,yO=2.5](10,0,-10){l'aventure mathématique}% \end{pspicture} \end{center} \section{Conclusion} Nous pouvons maintenant nous atteler à la tâche de construire des décors en 3D vus dans une boule qui soient intéressants et artistiques, un prolongement vers une animation est toujours possible. J'ai pensé inclure dans ce package, à l'aide d'une option, la 3D conventionnelle : il suffit de changer les formules relatives à la boule et d'y rajouter les paramètres relatifs au point de vue, mais finalement cela aurait trop alourdi cette étude -- vous pouvez regardez la commande \verb+\pnodeTroisD+ et les nombreuses applications développées dans ma page personnelle. \textbf{Une remarque importante :} si le calcul des faces cachées est pris en compte pour chaque objet pris individuellement, il en est pas de même pour l'ensemble du panorama. Il convient donc de placer en premier les objets les plus éloignés de boule, puis ceux qui sont de plus en plus proche de la boule. \end{document}