\documentclass[12pt]{article} \usepackage[a4paper]{geometry} \usepackage{pstricks,pst-node,pst-char,pst-slpe,pst-grad,pst-math} \usepackage{fancyvrb} \usepackage{multido} \usepackage{amsmath} \usepackage{eqnarray} \usepackage{listings} \usepackage{url} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[francais]{babel} \lstnewenvironment{example}[1][]{% \lstset{basicstyle=\footnotesize\ttfamily,columns=flexible,frame=single,% backgroundcolor=\color{yellow!20},xleftmargin=\fboxsep,% xrightmargin=\fboxsep,gobble=1,% % language=[LaTeX]TeX,keywordstyle=\color{blue},% % moretexcs=[1]{color,ProvidesPackage},% % moretexcs=[2]{onslide,pause,pdsetup,maketitle,tableofcontents},% % texcsstyle=[2]\color{red}% }\lstset{#1}}{} \SpecialCoor % les calculs sont ceux de Gernot Hoffmann % dans http://www.fho-emden.de/~hoffmann/prism16072005.pdf \title{L'utilisation du package \pscharpath[fillstyle=slopes,linestyle=none]{xcolor} dans la représentation du phénomène de dispersion lumineuse} \date{20 octobre 2\,005} \author{Manuel Luque} \begin{document} \maketitle \section{Déviation d'un rayon lumineux monochromatique} Cette première partie traite de la construction du trajet d'un rayon lumineux monochromatique dans un prisme. Le cahier de charges est le suivant, les grandeurs suivantes devant être paramétrables : \begin{itemize} \item l'angle du prisme ; \item la direction du rayon incident ; \item le choix de la radiation par sa longueur d'onde en nm. \end{itemize} La construction doit s'adapter automatiquement à ces valeurs, ainsi que la couleur de la radiation\ldots cela va de soi. La méthode de calculs adoptée est celle de Gernot Hoffmann qu'il détaille dans son document : {\fcolorbox{red}{yellow!50}{\url{http://www.fho-emden.de/~hoffmann/prism16072005.pdf}} \subsection{Calculs et constructions géométriques} \newcommand\LAMBDA{632.8} \shorthandoff{;:!?} \begin{center} \begin{pspicture}(-7,0)(7,9) %\psset{unit=1.5} \psline{->}(0,8) \uput[90](0,8){$y$} \psline{->}(-6,0)(6,0) \uput[0](6,0){$x$} \pnode(0,0){O} \pnode(! /AnglePrisme 30 def % demi-angle au sommet du prisme /AnglePlan1 19 def % angle du plan 1 avec la verticale /AnglePlan2 60 def % angle du plan 2 avec la verticale % le point C1 sur la droite 1 /C1x -6 def /C1y 6 def % le point C2 sur la droite 2 /C2x 7 def /C2y 5 def % donne la distance C1E /u 1.5 def % /g1x AnglePrisme sin neg def % -sin(A/2) /g1y AnglePrisme cos def % cos(A/2) /u1x AnglePlan1 sin neg def /u1y AnglePlan1 cos neg def % le point E émetteur /E1x C1x u u1x mul add def /E1y C1y u u1y mul add def % /n1x AnglePlan1 cos def /n1y AnglePlan1 sin neg def /Lambda {E1x g1y mul E1y g1x mul neg add n1y g1x mul neg n1x g1y mul add div neg} bind def % point I1 /i1x {E1x Lambda n1x mul add} bind def /i1y {E1y Lambda n1y mul add} bind def 0 0){Stockage_parametres_prisme} \pspolygon[fillstyle=gradient,gradbegin=cyan,gradend=white,gradangle=60,gradmidpoint=0.5](O)% (! 7 90 AnglePrisme add cos mul 7 90 AnglePrisme add sin mul) (! 7 90 AnglePrisme sub cos mul 7 90 AnglePrisme sub sin mul) \pnode(! % Les datas % Sellmeier's % glass sf15 : verre flint % n=sqrt(1+B1*L^2/(l^2-C1)+B2*L^2/(l^2-C2)+B3*L^2/(l^2-C3)) % Cauchy : /N {1.606 6545 1 mul lambda dup mul div add} bind def /lambda \LAMBDA\space def % en nm : 632.8 laser He-Ne du lycée /L2 {lambda 1e-3 mul dup mul} bind def % en micromètres /N {1 1.539259 L2 mul L2 0.011931 sub div add 0.247621 L2 mul L2 0.055608 sub div add 1.038164 L2 mul L2 116.416755 sub div add sqrt} bind def /alpha1 AnglePlan1 AnglePrisme add def /sinB1 alpha1 sin N div def /B1 sinB1 asin def /Delta1 AnglePrisme B1 sub def %%% /g2x AnglePrisme sin def /g2y AnglePrisme cos def /d12x Delta1 cos def % d12x /d12y Delta1 sin def % d12y /Lambda2 {i1x g2y mul i1y g2x mul sub d12y g2x mul d12x g2y mul sub div} bind def % point I2 /i2x {i1x Lambda2 d12x mul add} bind def /i2y {i1y Lambda2 d12y mul add} bind def % /B2 AnglePrisme 2 mul B1 sub def /sinA2 N B2 sin mul def /alpha2 sinA2 asin def /u2x AnglePlan2 sin def /u2y AnglePlan2 cos neg def /Delta2 alpha2 AnglePrisme sub def /d2x Delta2 cos def /d2y Delta2 sin def /DELTA u2x d2y mul neg u2y d2x mul add def /DELTA_X i2x C2x sub d2y mul neg i2y C2y sub d2x mul add def /DELTA_Y u2x i2y C2y sub mul neg u2y i2x C2x sub mul add def /MU DELTA_X DELTA div def /LAMBDA3 DELTA_Y DELTA div def % le point R2 /r2x C2x MU u2x mul add def /r2y C2y MU u2y mul add def /a_i {AnglePlan1 neg} bind def /a_r {alpha2 AnglePrisme sub} bind def /tan_i {a_i tan} bind def /tan_r {a_r tan} bind def 0 0){factice} \pnode(! C1x C1y){C1} \pnode(! C2x C2y){C2} \pnode(! E1x E1y){E1} \pnode(! i1x i1y){P1} \pnode(! i2x i2y){I2} \pnode(! r2x r2y){R2} \pnode(! /bQ {i1y i1x AnglePrisme tan mul sub} bind def /bQ' {i2y i2x AnglePrisme tan mul add} bind def /xQ {bQ' bQ sub 2 div AnglePrisme tan div} bind def /yQ {bQ bQ' add 2 div} bind def xQ yQ){Q} \pnode(! /bI {i1y i1x tan_i mul sub} bind def /bI'{i2y i2x tan_r mul sub} bind def /xI {bI bI' sub tan_r tan_i sub div} bind def /yI {xI tan_i mul bI add} bind def xI yI){I} \pcline[linestyle=dashed,nodesepB=-2](P1)(I) \pcline[linestyle=dashed,nodesepB=-2](I2)(I) \pcline[linestyle=dashed,nodesepB=-1,nodesepA=-2](P1)(Q) \pcline[linestyle=dashed,nodesepB=-1,nodesepA=-2](I2)(Q) \rput(P1){% \rput{30}(0,0){\psframe*(0,0)(0.2,0.2)} \psarc{<-}(0,0){0.8}{!180 AnglePrisme add alpha1 sub}{!180 AnglePrisme add} \uput{1}[! 180 AnglePrisme add alpha1 2 div sub](0,0){$i_1$} \psarc[linecolor=blue]{<-}(0,0){1}{!AnglePrisme B1 sub}{!AnglePrisme} \uput{1.2}[! AnglePrisme B1 2 div sub](0,0){$r_1$} \uput{0.4}[90](0,0){$I_1$}} \rput(I2){% \rput{60}(0,0){\psframe*(0,0)(0.2,0.2)} \psarc[linecolor=blue]{->}(0,0){0.8}{! AnglePrisme neg 180 add}{!AnglePrisme neg 180 add B2 add} \uput{1}[!AnglePrisme neg 180 add B2 2 div add](0,0){$r_2$} \psarc{->}(0,0){1}{! AnglePrisme neg}{!alpha2 AnglePrisme sub} \uput{1.2}[!alpha2 2 div AnglePrisme sub](0,0){$i_2$} \uput{0.4}[90](0,0){$I_2$}} \psline[linecolor={[wave]{\LAMBDA}},arrowscale=2]{->}(P1)(I2)(R2) \psline[linecolor={[wave]{\LAMBDA}}](E1)(P1) \psline[linecolor={[wave]{\LAMBDA}},arrowscale=2]{->}(E1)(!i1x E1x add 2 div i1y E1y add 2 div) \psarc(0,0){0.8}{!90 AnglePrisme sub}{!90 AnglePrisme add} \uput[90](0,0.8){$\widehat{A}$} \psdot[dotstyle=o](O) \psdot[dotstyle=o](I) \psdot[dotstyle=o](Q) \rput(I){\psarc{->}(0,0){1}{!a_i}{!a_r} \uput{1.1}[!a_i a_r add 2 div](0,0){$\widehat{D}$}} \pcline[nodesepB=-2,nodesepA=-2](C1)(E1) \uput[180](C1){$C_1$} \uput[180](E1){$E_1$} % \pcline[nodesepB=-2,nodesepA=-2](C2)(R2) \uput[-90](C2){$C_2$} \uput[20](R2){$R_2$} \rput(C1){\psline(0,2) \psarc(0,0){1}{! 90 AnglePlan1 sub}{90} \uput{1.1}[!90 AnglePlan1 2 div sub](0,0){$\rho_1$} \psline[arrowinset=0,linewidth=2\pslinewidth]{->}(! 90 AnglePlan1 sub cos neg 90 AnglePlan1 sub sin neg) \uput[0](! 90 AnglePlan1 sub cos neg 90 AnglePlan1 sub sin neg){$\overrightarrow{u}_1$} \psline[arrowinset=0,linewidth=2\pslinewidth]{->}(! AnglePlan1 neg cos AnglePlan1 neg sin) \uput[90](! AnglePlan1 neg cos AnglePlan1 neg sin){$\overrightarrow{n}_1$}} \rput(C2){\psline(0,2) \psarc(0,0){1}{90}{! 90 AnglePlan2 add} \uput{1.1}[!90 AnglePlan2 2 div add](0,0){$\rho_2$} \psline[arrowinset=0,linewidth=2\pslinewidth]{->}(! AnglePlan2 cos AnglePlan2 sin) \uput[! AnglePlan2](! AnglePlan2 cos AnglePlan2 sin){$\overrightarrow{n}_2$} \psline[arrowinset=0,linewidth=2\pslinewidth]{->}(! 90 AnglePlan2 add cos 90 AnglePlan2 add sin) \uput[-90](! 90 AnglePlan2 add cos 90 AnglePlan2 add sin){$\overrightarrow{u}_2$}} \psdot[dotstyle=o](C1) \psdot[dotstyle=o,linecolor={[wave]{\LAMBDA}}](E1) \psdot[dotstyle=o](C2) \psdot[dotstyle=o](R2) \end{pspicture} \end{center} \shorthandon{;:!?} Le prisme défini par son demi-angle au sommet $A/2$ par la variable : \begin{example} /AnglePrisme 30 def % demi-angle au sommet du prisme \end{example} L'émetteur $E_1$ est repéré par sa position sur un plan défini par l'angle $\rho_1$ qu'il fait avec la verticale. La trace de ce plan est la droite $C_1E_1$. $C_1$ est une origine arbitraire : \begin{example} /C1x -6 def % abscisse de C1 /C1y 6 def % ordonnée de C1 \end{example} La position de $E_1$ est réglée par le coefficient $u$ : $\overrightarrow{C_1E_1}=u\overrightarrow{u}_1$ : \[ \overrightarrow{u_1}=\left[ \begin{array}{c} -\cos(\rho_1)\\ -\sin(\rho_1) \end{array} \right] \] \begin{example} /u 1.5 def /u1x AnglePlan1 sin neg def /u1y AnglePlan1 cos neg def /E1x C1x u u1x mul add def % abscisse de E1 /E1y C1y u u1y mul add def % ordonnée de E1 \end{example} La normale à ce plan $\overrightarrow{n}_1$ qui sera la direction du rayon incident a pour coordonnées : \[ \overrightarrow{n_1}=\left[ \begin{array}{r} \cos(\rho_1)\\ -\sin(\rho_1) \end{array} \right] \] \begin{example} /n1x AnglePlan1 cos def /n1y AnglePlan1 sin neg def \end{example} L'équation paramétrique du rayon incident se déduit, $P(x,y)$ étant un point courant de la droite, de : \[ \overrightarrow{E_1P}=\lambda\overrightarrow{n_1} \] \begin{eqnarray} x&=&x_{E_1}+\lambda n_{1x}\label{ix1}\\ y&=&y_{E_1}+\lambda n_{1y}\label{iy1} \end{eqnarray} Il s'agit de déterminer l'intersection du rayon incident avec la face correspondante du prisme. L'équation de celle-ci s'écrit : \begin{eqnarray} y=x\tan(90+\frac{A}{2})=-\frac{x}{\tan(A/2)}\label{iP1} \end{eqnarray} On détermine ainsi les coordonnées du point d'incidence $I_1$, en calculant d'abord $\lambda$ par substitution des expressions de (\ref{ix1}) et (\ref{iy1}) dans l'équation~(\ref{iP1}) : \[ y_{E_1}+\lambda n_{1y}=-\frac{x_{E_1}+\lambda n_{1x}}{\tan(A/2)} \] \[ y_{E_1}\tan(A/2)+\lambda n_{1y}\tan(A/2)=-(x_{E_1}+\lambda n_{1x}) \] \[ \lambda \big(n_{1y}\tan(A/2)+n_{1x}\big)=-\big(x_{E_1}+y_{E_1}\tan(A/2)\big) \] \[ \lambda =-\frac{x_{E_1}+y_{E_1}\tan(A/2)}{n_{1y}\tan(A/2)+n_{1x}} \] \[ \lambda =-\frac{x_{E_1}\cos(A/2)+y_{E_1}\sin(A/2)}{n_{1y}\sin(A/2)+n_{1x}\cos(A/2)} \] On en déduit les coordonnées de $I_1$ avec (\ref{ix1}) et (\ref{iy1}). \begin{example} /g1x AnglePrisme sin neg def % -sin(A/2) /g1y AnglePrisme cos def % cos(A/2) /Lambda {E1x g1y mul E1y g1x mul neg add n1y g1x mul neg n1x g1y mul add div neg} bind def % point I1 /i1x {E1x Lambda n1x mul add} bind def /i1y {E1y Lambda n1y mul add} bind def \end{example} $n$ étant l'indice de réfraction du verre pour cette radiation, $i_1$ l'angle d'incidence du rayon sur la face d'entrée la loi de \textsc{Snell}-\textsc{Descartes} permet de calculer l'angle de réfraction $r_1$ dans le verre. \[ \sin i_1=n\sin r_1 \Longrightarrow r_1=\arcsin\left(\frac{\sin i_1}{n}\right) \] \begin{example} /alpha1 AnglePlan1 AnglePrisme add def % i1 /sinB1 alpha1 sin N div def % sin(r1)=sin(i1)/n /B1 sinB1 asin def % r1 \end{example} Pour le calcul de l'indice du prisme $n$, j'utilise la formule de Sellmeier's que donne Gernot Hoffmann pour du verre flint lourd : \[ n^2=1+\frac{B_1\lambda^2}{\lambda^2-C_1}+\frac{B_2\lambda^2}{\lambda^2-C_2}+\frac{B_3\lambda^2}{\lambda^2-C_3} \] On détermine ensuite l'équation paramétrique de la droite $I_1I_2$, avec $P(x,y)$ un point courant de la droite et $\overrightarrow{d_{12}}$ un vecteur directeur : \[ \overrightarrow{d_{12}}=\left[ \begin{array}{r} \cos(\delta_1)\\ \sin(\delta_1) \end{array} \right] \] avec $\delta_1=\frac{A}{2}-r_1$, qui est l'angle que fait $I_1I_2$ avec l'horizontale. \[ \overrightarrow{I_1P}=\lambda\overrightarrow{d_{12}} \] \begin{eqnarray} x&=&x_{I_1}+\lambda d_{12_x}\label{ix2}\\ y&=&y_{I_1}+\lambda d_{12_y}\label{iy2} \end{eqnarray} Le côté droit du prisme a pour équation : \begin{eqnarray} y=x\tan(90-\frac{A}{2})=\frac{x}{\tan(A/2)}\label{iP2} \end{eqnarray} On détermine les coordonnées du point d'intersection $I_2$ comme précédemment : \[ y_{I_1}+\lambda d_{12_y}=\frac{x_{I_1}+\lambda d_{12_x}}{\tan(A/2)} \] \[ y_{I_1}\tan(A/2)+\lambda d_{12_y}\tan(A/2)=(x_{I_1}+\lambda d_{12_x}) \] \[ \lambda \big(d_{12_y}\tan(A/2)-d_{12_x}\big)=\big(x_{I_1}-y_{I_1}\tan(A/2)\big) \] \[ \lambda =\frac{x_{I_1}-y_{I_1}\tan(A/2)}{d_{12_y}\tan(A/2)-d_{12_x}} \] \[ \lambda =\frac{x_{I_1}\cos(A/2)-y_{I_1}\sin(A/2)}{d_{12_y}\sin(A/2)-d_{12_x}\cos(A/2)} \] On en déduit les coordonnées de $I_2$ avec (\ref{ix2}) et (\ref{iy2}). \begin{example} /g2x AnglePrisme sin def % sin(A/2) /g2y AnglePrisme cos def % cos(A/2) /d12x Delta1 cos def % d12x /d12y Delta1 sin def % d12y /Lambda2 {i1x g2y mul i1y g2x mul sub d12y g2x mul d12x g2y mul sub div} bind def % point I2 /i2x {i1x Lambda2 d12x mul add} bind def /i2y {i1y Lambda2 d12y mul add} bind def \end{example} La dernière étape consiste à calculer le rayon réfracté dans l'air et son intersection avec l'écran. \[ n\sin r_2=\sin i_2\Longrightarrow i_2=\arcsin(n\sin r_2) \] \begin{example} /B2 AnglePrisme 2 mul B1 sub def % r2 /sinA2 N B2 sin mul def % sin(i2)=n*sin(r2) /alpha2 sinA2 asin def % i2 \end{example} L'angle que fait le rayon réfracté $I_2R_2$ avec l'horizontale vaut : \[ \delta_2=i_2-\frac{A}{2} \] \begin{example} /Delta2 alpha2 AnglePrisme sub def \end{example} Le vecteur directeur de la droite $d_2$ : \[ \overrightarrow{d_{2}}=\left[ \begin{array}{r} \cos(\delta_2)\\ \sin(\delta_2) \end{array} \right] \] \begin{example} /d2x Delta2 cos def /d2y Delta2 sin def \end{example} On cherche l'équation de la droite $I_2R_2$ \[ \overrightarrow{I_2P}=\lambda\overrightarrow{d_{2}} \] \begin{eqnarray} x&=&x_{I_2}+\lambda d_{2_x}\label{ix3}\\ y&=&y_{I_2}+\lambda d_{2_y}\label{iy3} \end{eqnarray} et son intersection avec l'écran, dont la position est déterminée par un point $C_2$ choisi arbitrairement et l'angle qu'il fait avec la verticale $\rho_2$. Le vecteur directeur de cette droite est : \[ \overrightarrow{u_{2}}=\left[ \begin{array}{r} \sin(\rho_2)\\ -\cos(\rho_2) \end{array} \right] \] \begin{example} /u2x AnglePlan2 sin def /u2y AnglePlan2 cos neg def \end{example} \begin{eqnarray} x&=&x_{C_2}+\mu u_{2_x}\label{ix4}\\ y&=&y_{C_2}+\mu u_{2_y}\label{iy4} \end{eqnarray} (\ref{ix3}), (\ref{iy3}), (\ref{ix4}), (\ref{iy4}) nous donnent un système en $\mu$ et $\lambda$ : \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x_{C_2}+\mu u_{2_x}&=&x_{I_2}+\lambda d_{2_x}\\ y_{C_2}+\mu u_{2_y}&=&y_{I_2}+\lambda d_{2_y} \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{rcl} \mu&=&\frac{-(x_{I_2}-x_{C_2})d_{2_y}+(y_{I_2}-y_{C_2})d_{2_x}}{-u_{2_x}d_{2_y}+u_{2_y}d_{2_x}}\\ \lambda&=&\frac{-u_{2_x}(y_{I_2}-y_{C_2})+u_{2_y}(x_{I_2}-x_{C_2})}{-u_{2_x}d_{2_y}+u_{2_y}d_{2_x}}\\ \end{array} \right. \] \begin{example} /DELTA u2x d2y mul neg u2y d2x mul add def /DELTA_X i2x C2x sub d2y mul neg i2y C2y sub d2x mul add def /DELTA_Y u2x i2y C2y sub mul neg u2y i2x C2x sub mul add def /MU DELTA_X DELTA div def /LAMBDA3 DELTA_Y DELTA div def % le point R2 /r2x C2x MU u2x mul add def /r2y C2y MU u2y mul add def \end{example} Tous les éléments du schéma ayant été calculés, les points se placent grâce à la puissance de \texttt{pst-node} : \begin{example} \pnode(! C1x C1y){C1} \pnode(! C2x C2y){C2} \pnode(! E1x E1y){E1} \pnode(! i1x i1y){P1} \pnode(! i2x i2y){I2} \pnode(! r2x r2y){R2} \end{example} \newpage \subsection{Le problème de physique} \shorthandoff{;:!?} \begin{center} \begin{pspicture}(-7,0)(7,10) \psset{unit=1.5} \pnode(0,0){O} \pnode(! /AnglePrisme 30 def /AnglePlan1 19 def /AnglePlan2 54 def % le point C1 sur la droite 1 /C1x -6 def /C1y 6 def % le point C2 sur la droite 2 /C2x 8 def /C2y 5 def % donne la distance C1E1 /u 1.5 def % /g1x AnglePrisme sin neg def % -sin(A/2) /g1y AnglePrisme cos def % cos(A/2) /u1x AnglePlan1 sin neg def /u1y AnglePlan1 cos neg def % le point E émetteur /E1x C1x u u1x mul add def /E1y C1y u u1y mul add def % /n1x AnglePlan1 cos def /n1y AnglePlan1 sin neg def /Lambda {E1x g1y mul E1y g1x mul neg add n1y g1x mul neg n1x g1y mul add div neg} bind def % point I1 /i1x {E1x Lambda n1x mul add} bind def /i1y {E1y Lambda n1y mul add} bind def 0 0){Stockage_parametres_prisme} \pspolygon[fillstyle=gradient,gradbegin=cyan,gradend=white,gradangle=60,gradmidpoint=0.5](O)% (! 7 90 AnglePrisme add cos mul 7 90 AnglePrisme add sin mul) (! 7 90 AnglePrisme sub cos mul 7 90 AnglePrisme sub sin mul) \pnode(! % Les datas % Sellmeier's % glass sf15 % n=sqrt(1+B1*L^2/(l^2-C1)+B2*L^2/(l^2-C2)+B3*L^2/(l^2-C3)) % Cauchy : /N {1.606 6545 1 mul lambda dup mul div add} bind def /lambda \LAMBDA\space def % en nm : laser He-Ne du lycée /L2 {lambda 1e-3 mul dup mul} bind def /N {1 1.539259 L2 mul L2 0.011931 sub div add 0.247621 L2 mul L2 0.055608 sub div add 1.038164 L2 mul L2 116.416755 sub div add sqrt} bind def /alpha1 AnglePlan1 AnglePrisme add def /sinB1 alpha1 sin N div def /B1 sinB1 asin def /Delta1 AnglePrisme B1 sub def % /g2x AnglePrisme sin def /g2y AnglePrisme cos def /d12x Delta1 cos def % d12x /d12y Delta1 sin def % d12y /Lambda2 {i1x g2y mul i1y g2x mul sub d12y g2x mul d12x g2y mul sub div} bind def % point I2 /i2x {i1x Lambda2 d12x mul add} bind def /i2y {i1y Lambda2 d12y mul add} bind def % /B2 AnglePrisme 2 mul B1 sub def /sinA2 N B2 sin mul def /alpha2 sinA2 asin def /u2x AnglePlan2 sin def /u2y AnglePlan2 cos neg def /Delta2 alpha2 AnglePrisme sub def /d2x Delta2 cos def /d2y Delta2 sin def /DELTA u2x d2y mul neg u2y d2x mul add def /DELTA_X i2x C2x sub d2y mul neg i2y C2y sub d2x mul add def /DELTA_Y u2x i2y C2y sub mul neg u2y i2x C2x sub mul add def /MU DELTA_X DELTA div def /LAMBDA3 DELTA_Y DELTA div def % le point R2 /r2x C2x MU u2x mul add def /r2y C2y MU u2y mul add def /a_i {AnglePlan1 neg} bind def /a_r {alpha2 AnglePrisme sub} bind def /tan_i {a_i tan} bind def /tan_r {a_r tan} bind def 0 0){factice} \pnode(! C1x C1y){C1} \pnode(! C2x C2y){C2} \pnode(! E1x E1y){E1} \pnode(! i1x i1y){I1} \pnode(! i2x i2y){I2} \pnode(! r2x r2y){R2} \pnode(! /bQ {i1y i1x AnglePrisme tan mul sub} bind def /bQ' {i2y i2x AnglePrisme tan mul add} bind def /xQ {bQ' bQ sub 2 div AnglePrisme tan div} bind def /yQ {bQ bQ' add 2 div} bind def xQ yQ){Q} \pnode(! /bI {i1y i1x tan_i mul sub} bind def /bI'{i2y i2x tan_r mul sub} bind def /xI {bI bI' sub tan_r tan_i sub div} bind def /yI {xI tan_i mul bI add} bind def xI yI){I} \pcline[linestyle=dashed,nodesepB=-2](I1)(I) \pcline[linestyle=dashed,nodesepB=-2](I2)(I) \pcline[linestyle=dashed,nodesepB=-1,nodesepA=-2](I1)(Q) \pcline[linestyle=dashed,nodesepB=-1,nodesepA=-2](I2)(Q) \rput(I1){% \rput{30}(0,0){\psframe*(0,0)(0.2,0.2)} \psarc{<-}(0,0){0.8}{!180 AnglePrisme add alpha1 sub}{!180 AnglePrisme add} \uput{1}[! 180 AnglePrisme add alpha1 2 div sub](0,0){$i_1$} \psarc[linecolor=blue]{<-}(0,0){1}{!AnglePrisme B1 sub}{!AnglePrisme} \uput{1.2}[! AnglePrisme B1 2 div sub](0,0){$r_1$} \uput[-90](0,0){$I_1$}} \rput(I2){% \rput{60}(0,0){\psframe*(0,0)(0.2,0.2)} \psarc[linecolor=blue]{->}(0,0){0.8}{! AnglePrisme neg 180 add}{!AnglePrisme neg 180 add B2 add} \uput{1}[!AnglePrisme neg 180 add B2 2 div add](0,0){$r_2$} \psarc{->}(0,0){1}{! AnglePrisme neg}{!alpha2 AnglePrisme sub} \uput{1.2}[!alpha2 2 div AnglePrisme sub](0,0){$i_2$} \uput[-90](0,0){$I_2$}} \psline[linecolor={[wave]{\LAMBDA}},arrowscale=2]{->}(I1)(I2)(R2) \psline[linecolor={[wave]{\LAMBDA}}](E1)(I1) \psline[linecolor={[wave]{\LAMBDA}},arrowscale=2]{->}(E1)(!i1x E1x add 2 div i1y E1y add 2 div) \psarc(0,0){0.8}{!90 AnglePrisme sub}{!90 AnglePrisme add} \uput[90](0,0.8){$A$} \psdot[dotstyle=o](O) \psdot[dotstyle=o](I) \psdot[dotstyle=o](Q) \rput(I){\psarc{->}(0,0){1}{!a_i}{!a_r} \uput{1.1}[!a_i a_r add 2 div](0,0){$D$}} \end{pspicture} \end{center} \shorthandon{;:!?} $n$ étant l'indice de réfraction du verre pour cette lumière, $i_1$ l'angle d'incidence du rayon sur la face d'entrée la loi de \textsc{Snell}-\textsc{Descartes} permet de calculer l'angle de réfraction $r_1$ dans le verre. \[ \sin i_1=n\sin r_1 \Longrightarrow r_1=\arcsin\left(\frac{\sin i_1}{n}\right) \] Le rayon lumineux subit ensuite une deuxième réfraction en $I_2$, lors du passage du verre dans l'air : \[ n\sin r_2=\sin i_2 \Longrightarrow i_2=\arcsin\left(n\sin r_2\right) \] En $I_1$, le rayon est dévié d'un angle $i_1-r_1$, en $I_2$ de $i_2-r_2$ soit globalement de : \[ D=i_1+i_2-(r_1+r_2)=i_1+i_2-A \] Cette déviation passe par un minimum lorsque $r_1=r_2=\dfrac{A}{2}$, ce qui permet d'en déduire la valeur que doit posséder l'angle d'incidence d'entrée : \[ \sin i_m=n\sin \frac{A}{2}\Longrightarrow i_m=48{,}6^{\textrm{o}} \quad(A=60{,}\ n=1,5) \] \newpage \section{Dispersion d'un rayon de lumière blanche par le prisme} Grâce à \verb+\multido+ il est possible de simuler très simplement le phénomène de dispersion lumineuse en faisant variant la longueur d'onde dans le domaine visible : \begin{example} \multido{\iLAMBDA=400+5}{80}{% \pstVerb{/lambda \iLAMBDA\space def}% \definecolor{prisme}{wave}{\iLAMBDA}% \end{example} \begin{center} \psframebox[fillcolor=black,fillstyle=solid]{ \begin{pspicture}*(-7,-2)(7,8) \pnode(0,0){O} \pnode(! /AnglePrisme 30 def /AnglePlan1 19 def /AnglePlan2 54 def % le point C1 sur la droite 1 /C1x -8 def /C1y 7 def % le point C2 sur la droite 2 /C2x 11 def /C2y 5 def % donne la distance C1E1 /u 1.5 def % /g1x AnglePrisme sin neg def % -sin(A/2) /g1y AnglePrisme cos def % cos(A/2) /u1x AnglePlan1 sin neg def /u1y AnglePlan1 cos neg def % le point E émetteur /E1x C1x u u1x mul add def /E1y C1y u u1y mul add def % /n1x AnglePlan1 cos def /n1y AnglePlan1 sin neg def /Lambda {E1x g1y mul E1y g1x mul neg add n1y g1x mul neg n1x g1y mul add div neg} bind def % point I1 /i1x {E1x Lambda n1x mul add} bind def /i1y {E1y Lambda n1y mul add} bind def 0 0){Stockage_parametres_prisme} \pspolygon[fillstyle=gradient,gradbegin=cyan,gradend=white,gradangle=60,gradmidpoint=0.5](O)% (! 7 90 AnglePrisme add cos mul 7 90 AnglePrisme add sin mul) (! 7 90 AnglePrisme sub cos mul 7 90 AnglePrisme sub sin mul) \multido{\iLAMBDA=400+5}{80}{% \pstVerb{ /lambda \iLAMBDA\space def }% \definecolor{prisme}{wave}{\iLAMBDA}% \pnode(! % Les datas % Sellmeier's % glass sf15 : verre flint lourd % n=sqrt(1+B1*L^2/(l^2-C1)+B2*L^2/(l^2-C2)+B3*L^2/(l^2-C3)) % Cauchy : /N {1.606 6545 1 mul lambda dup mul div add} bind def /L2 {lambda 1e-3 mul dup mul} bind def /N {1 1.539259 L2 mul L2 0.011931 sub div add 0.247621 L2 mul L2 0.055608 sub div add 1.038164 L2 mul L2 116.416755 sub div add sqrt} bind def /alpha1 AnglePlan1 AnglePrisme add def /sinB1 alpha1 sin N div def /B1 sinB1 asin def /Delta1 AnglePrisme B1 sub def %%% /g2x AnglePrisme sin def /g2y AnglePrisme cos def /d12x Delta1 cos def % d12x /d12y Delta1 sin def % d12y /Lambda2 {i1x g2y mul i1y g2x mul sub d12y g2x mul d12x g2y mul sub div} bind def % point I2 /i2x {i1x Lambda2 d12x mul add} bind def /i2y {i1y Lambda2 d12y mul add} bind def % /B2 AnglePrisme 2 mul B1 sub def /sinA2 N B2 sin mul def /alpha2 sinA2 asin def /u2x AnglePlan2 sin def /u2y AnglePlan2 cos neg def /Delta2 alpha2 AnglePrisme sub def /d2x Delta2 cos def /d2y Delta2 sin def /s2x i2x C2x sub def /s2y i2y C2y sub def /dA d2x u2y mul d2y u2x mul sub def /dM d2x s2y mul d2y s2x mul sub def % le point R2 /r2x C2x dM dA div u2x mul add def /r2y C2y dM dA div u2y mul add def 0 0){factice} \pnode(! C1x C1y){C1} \pnode(! C2x C2y){C2} \pnode(! E1x E1y){E1} \pnode(! i1x i1y){I1} \pnode(! i2x i2y){I2} \pnode(! r2x r2y){R2} \psline[linecolor=prisme](I1)(I2)(R2)} \psline[linecolor=white,linewidth=0.5mm](E1)(I1) \psline[linecolor=white,linewidth=0.5mm,arrowscale=2]{->}(E1)(!i1x E1x add 2 div i1y E1y add 2 div) \end{pspicture}} \end{center} \section{Extension possible} À ce stade-là, on peut envisager une commande \verb+\prisme[...]+ où tous les paramètres définis dans le cahier des charges pourront être facilement modifiés. \end{document}