doc-pst-transform.tex

\documentclass{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[a4paper]{geometry}
\usepackage{pst-transform,pst-slpe,pst-grad}
\usepackage{multido,graphicx}
\usepackage[nomessages]{fp}
\usepackage{multicol}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{frenchle}
\input{random}
% RANDOM.TEX       v.1   (Donald Arseneau)
% Generating "random" numbers in TeX
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Manuel Luque 1 août 2007
% révisé le 2 août 2007
% révisé le 1 septembre 2007 (package)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\SpecialCoor
\makeatletter
% de nouvelles flèches de Christophe FOUREY
% http://tug.org/mailman/htdig/pstricks/2007/004294.html
% v : Vee arrow (inside)
% V : Vee arrow (outside)
% f : Filled vee arrow (inside)
% F : Filled vee arrow (outside)
\edef\pst@arrowtable{\pst@arrowtable,v-v,V-V,f-f,F-F}
 
% Vee arrow
\def\psset@veearrowlength#1{\pst@getlength{#1}\psk@veearrowlength}
\psset@veearrowlength{3mm} % default projected length
\def\psset@veearrowangle#1{\pst@getangle{#1}\psk@veearrowangle}
\psset@veearrowangle{30} % default angle
\def\psset@veearrowlinewidth#1{\pst@getlength{#1}\psk@veearrowlinewidth}
\psset@veearrowlinewidth{.35mm} % default vee arrow line width
 
% Filled vee arrow
\def\psset@filledveearrowlength#1{\pst@getlength{#1}
\psk@filledveearrowlength}
\psset@filledveearrowlength{3mm} % default projected length
\def\psset@filledveearrowangle#1{\pst@getangle{#1}
\psk@filledveearrowangle}
\psset@filledveearrowangle{15} % default angle
\def\psset@filledveearrowlinewidth#1{\pst@getlength{#1}
\psk@filledveearrowlinewidth}
\psset@filledveearrowlinewidth{.35mm} % default vee arrow line width
 
\pst@def{VeeArrow}<%
     1 setlinecap           % round caps
     1 setlinejoin          % round join
     setlinewidth           % vee arrow line width
     /y ED              % projected length
     2 div /a ED                % angle (divide by 2)
     /t ED              % false = inside, true = outside
     a sin a cos div y mul /x ED        % perpendicular length : x=tan(a).y
     t { 1 -1 scale } if            % if outside : symmetry
     x neg y moveto         % point #1
     0 0 L              % point #2
     x y L              % point #3
     {closepath gsave fill grestore} if % if filled : close and fill
     stroke             % draw line
     0 t {y 2 mul} {0} ifelse moveto>   % if outside : twice longer line
 
% VeeArrow : filled?   outside?   (total) angle   (projected) length   (arrow) line width
 
\@namedef{psas@v}{%
   false false \psk@veearrowangle \psk@veearrowlength
\psk@veearrowlinewidth \tx@VeeArrow}
 
\@namedef{psas@V}{%
   false true \psk@veearrowangle \psk@veearrowlength
\psk@veearrowlinewidth \tx@VeeArrow}
 
\@namedef{psas@f}{%
   true false \psk@filledveearrowangle \psk@filledveearrowlength
\psk@filledveearrowlinewidth \tx@VeeArrow}
 
\@namedef{psas@F}{%
   true true \psk@filledveearrowangle \psk@filledveearrowlength
\psk@filledveearrowlinewidth \tx@VeeArrow}
 
 
\makeatother
 
\newpsstyle{metal}{fillstyle=solid,fillcolor=cyan!10!gray!90}
\newpsstyle{boulon}{fillstyle=ccslope,slopebegin=cyan!20!gray!90,
  slopeend=white}
%\newpsstyle{chauffage}{fillstyle=ccslope,slopebegin=cyan!40!gray!90,
%  slopeend=white}
\newpsstyle{chauffage}{fillstyle=solid,fillcolor=gray!50}
\definecolor{maroon}{rgb}{0.65,0.25,0.17}
 
\makeatletter
\def\supportboy#1{% #1 angle d'élévation
% limites de l'angle
\pst@cntg=#1\relax \ifnum\pst@cntg>50 \typeout{Niveau must be 50 and not
`\the\pst@cntg'. Value 50 forced.} \pst@cntg=50
    \else
   \ifnum\pst@cntg<15 \typeout{Niveau must be 15 and not
`\the\pst@cntg'. Value 15 forced.} \pst@cntg=15
\fi\fi
% boulons et axes
\def\boulon{\pscircle[style=boulon](0,0){0.2}%
            \pspolygon[style=boulon](0.15;60)(0.15;120)(0.15;180)(0.15;240)(0.15;300)(0.15;360)}
\def\axe{\pscircle[style=boulon](0,0){0.15}}
\def\tige{\psframe[framearc=1,style=metal](-2,0)(2,0.5)}
% molette et vis
\def\vis{%
\psframe(-2.5,-0.1)(2.5,0.1)
\psframe[fillstyle=crosshatch](2.5,-0.75)(3,0.75)
\psframe[linestyle=none,fillstyle=hlines,hatchangle=60,hatchsep=0.05]%
            (-1,-0.1)(2,0.1)}
% base  et plan support
\def\base{%
\psframe(-2,-0.25)(2,0.25)
\pscustom[linestyle=none,style=metal]{\psline(-2,0.25)(2,0.25)(2,-0.25)(-2,-0.25)(-2,0.25)%
          \psarc(-0.95,0){0.15}{90}{270}\psline(-0.8,-0.15)(1.7,-0.15)%
          \psarc(1.7,0){0.15}{-90}{90}
          \psline(-0.95,0.15)}
\psline(-2,0.25)(2,0.25)(2,-0.25)(-2,-0.25)(-2,0.25)%
\psarc(-0.95,0){0.15}{90}{270}\psline(-0.95,-0.15)(1.7,-0.15)%
\psarc(1.7,0){0.15}{-90}{90}
\psline(1.7,0.15)(-0.95,0.15)}
% calcul de quelques points
\pnode(-1.75,0.25){O1}% O1 axe 1
% O2 milieu de la tige 1 après rotation,
% O3 extrémité de la tige 1 après rotation.
\psrotate(O1){\the\pst@cntg}{\pnode(0,0.25){O2}\pnode(1.75,0.25){O3}}%
% récupérer le noeud 4
\psrotate(O2){-\the\pst@cntg}{\pstranslate(0,0.25)(O2){\pnode(-1.75,0.25){O4}}} % récupérer le noeud 4
\pstranslate(-1.75,0)(O4){\vis}
% translation et rotation de la tige 1 -> tige 3
% et récupérer les noeuds 5 et 6
\psrotate(O3){-\the\pst@cntg}{\pstranslate(1.75,0.25)(O3){\tige\pnode(0,0.25){O5}\pnode(-1.75,0.25){O6}}} % tige 3
% translation et rotation de la tige 1 -> tige 2 et récupérer le noeud 7
\psrotate(O2){-\the\pst@cntg}{\pstranslate(0,0.25)(O2){\tige\pnode(1.75,0.25){O7}}} % tige 2
% translation et rotation de la tige 1 -> tige 4
\psrotate(O5){\the\pst@cntg}{\pstranslate(0,0.25)(O5){\tige\pnode(1.75,0.25){O8}}} % tige 4
% rotation  de la tige 1
\psrotate(O1){\the\pst@cntg}{\tige}% tige 1
% récupérer le noeud milieu du dessus du plan support
% pour y placer l'appareil de chauffage : O9
\rput(0,0.25){\base}\pstranslate(-1.75,0)(O6){\base\pnode(0,0.25){O9}}
\multido{\i=1+1}{6}{\rput(O\i){\boulon}}
\rput(O8){\axe}\rput(O7){\axe}}
 
\makeatother
 
% paramètres du ballon 250 mL
\def\eCol{0.2}
\def\rBallon{1}
\def\rRaccord{0.3}
 
 
 
\def\ballon{%
\pstVerb{%
        /rRaccord \rRaccord\space def
        /eCol \eCol\space def
        /rBallon \rBallon\space def
        /hB rBallon rRaccord add dup mul eCol rRaccord add dup mul sub sqrt def
        /AngleB hB eCol rRaccord add atan def}%
\psline(! eCol rBallon 2 mul)(! eCol 0.05 add rBallon 1.95 mul)
       (! eCol 0.05 sub rBallon 1.90 mul)(! eCol 0.05 add rBallon 1.85 mul)
       (! eCol 0.05 sub rBallon 1.80 mul)(! eCol 0.05 add rBallon 1.75 mul)
\psline(! eCol rBallon 1.7 mul)(!eCol hB)
\psarc(! eCol rRaccord add hB){\rRaccord}{180}{! 180 AngleB add}
\psarcn(0,0){\rBallon}{!AngleB}{!180 AngleB sub}
\psarc(! eCol rRaccord add neg hB){\rRaccord}{! AngleB neg}{0}
\psline(!eCol neg hB)(! eCol neg rBallon 1.7 mul)
\psline(! eCol 0.05 add neg rBallon 1.75 mul)(! eCol 0.05 sub neg rBallon 1.80 mul)
       (! eCol 0.05 add neg rBallon 1.85 mul)(! eCol 0.05 sub neg rBallon 1.90 mul)
       (! eCol 0.05 add neg rBallon 1.95 mul)(! eCol neg rBallon 2 mul)}%
 
 
 
\def\ballondeb{%
\psclip{\pscustom[linestyle=none]{\ballon}}%
    \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=green!50,linecolor=green](-2,-2)(2,0)
\endpsclip%
\pscustom{\ballon}}
 
\def\rChauffage{1}
\def\chauffage{%
\pstVerb{/rChauffage \rChauffage\space def}%
\psframe*(!rChauffage -1.2 mul rChauffage -1.6 mul)(!rChauffage -0.8 mul rChauffage -1.5 mul)
\psframe*(!rChauffage 1.2 mul rChauffage -1.6 mul)(!rChauffage 0.8 mul rChauffage -1.5 mul)
\pspolygon*(!rChauffage -1.5 mul rChauffage -1.4 mul)(!rChauffage -1.5 mul rChauffage -1.2 mul)
           (!rChauffage -1.7 mul rChauffage -1.25 mul)(!rChauffage -1.7 mul rChauffage -1.35 mul)
\pscurve[linewidth=2\pslinewidth](!rChauffage -1.6 mul rChauffage -1.3 mul)(!rChauffage -2.5 mul rChauffage -1.4 mul)
                       (!rChauffage -2.5 mul rChauffage -2 mul)(!rChauffage -3.5 mul rChauffage -2 mul)
\pscustom{\psarcn(0,0){\rChauffage }{0}{180}
\psline(!rChauffage neg 0)(!rChauffage -1.5 mul 0.1 add 0)
\psarc(!rChauffage -1.5 mul 0.1 add -0.1){0.1}{90}{180}
\psline(!rChauffage -1.5 mul rChauffage -1.5 mul)(!rChauffage -1.5 mul rChauffage -1.5 mul)
       (!rChauffage 1.5 mul rChauffage -1.5 mul)(!rChauffage 1.5 mul 0.1 neg)
\psarc(!rChauffage 1.5 mul 0.1 sub -0.1){0.1}{0}{90}
\psline(!rChauffage 1.5 mul 0.1 sub 0)(! rChauffage 0)
\fill[style=chauffage]}}
 
\def\supportchauffage#1{%
\pstVerb{/rChauffage \rChauffage\space def}%
\supportboy{#1}\pstranslate(!0 rChauffage -1.6 mul)(O9){\chauffage}}
 
\def\Bill{%
%Côté gauche et oreille
%\pscurve(-0.45,1.5)(-0.6,1.35)(-0.5,1)
\pscurve(0.4,1.38)(0,1.6)(-0.2,1.65)(-0.4,1.53)(-0.5,1.4)(-0.55,1.2)(-0.5,1)
\psline(-0.5,1)(-0.45,0.6)
\pscurve(-0.45,0.6)(-0.75,0.4)(-0.9,0)(-0.8,-0.45)(-0.5,-0.5)(-0.4,-0.2)(-0.4,0.1)
(-0.25,0.5)(-0.2,0.8)(-0.3,1)
\pscurve(-0.3,1)(-0.2,0.8)(0,0.7)(0.2,0.6)(0.22,0.5)(0.17,0.3)
%Collier
\pscurve(0.1,0.2)(0.25,0.4)(0.6,0.6)(0.75,0.55)
\psline(0.75,0.55)(0.8,0.4)
\pscurve(0.8,0.4)(0.5,0.25)(0.25,0)
\psline(0.25,0)(0.1,0.2)
%patte gauche
\pscurve(0.15,0.1)(0.05,0)(-0.1,-0.25)(-0.05,-0.5)(0.15,-0.55)
\pscurve(0.2,-0.2)(0.2,-0.45)(0.15,-0.55)(0.1,-1)(0.2,-1.25)(0.2,-1.5)
\pscurve(0.2,-1.5)(0,-1.45)(-0.2,-1.4)(-0.5,-1.5)(-0.6,-1.65)(-0.55,-1.8)
\pscurve(-0.4,-1.6)(-0.55,-1.8)(-0.4,-1.9)
\pscurve(-0.3,-1.7)(-0.4,-1.9)(0,-1.9)(.5,-1.8)(.48,-1.65)(0.4,-1.35)
\pscurve(0.4,-1.35)(0.6,-1.35)(0.8,-1.25)
\pscurve(0.6,-1.35)(0.6,-1.45)(0.6,-1.7)(0.75,-1.9)(1,-2)(1.35,-1.8)(1.2,-1.6)
\pscurve(1.35,-1.8)(1.5,-1.75)(1.4,-1.5)(1,-1.5)(1,-1.5)(0.85,-1.25)
%ventre
\pscurve(0.85,-1.25)(1,-1)(1,-0.75)(0.9,-0.3)(0.8,0)
%coude droit
\pscurve(1,-0.55)(1.15,-0.45)(1,0)(0.7,0.35)
%oreille droite
\pscurve(0.5,0.8)(0.8,0.55)(0.9,0.25)(1,0)(1.25,-0.1)(1.4,0.35)(1.2,0.6)(0.8,0.8)(0.7,0.88)
\pscurve(0,0.95)(0.2,0.8)(0.5,0.9)
\pscurve(0.5,0.9)(0.8,0.9)(1,1.15)
\pscurve(1,1.15)(1.1,1)(1.2,1.2)(1.1,1.5)
%Truffe
\psccurve[fillstyle=ccslope,slopebegin=white,slopeend=gray](1.1,1.5)(1,1.8)(0.7,1.9)(0.52,1.6)(0.6,1.25)(1,1.35)
\pscurve(0.5,1.4)(0.4,1.2)(0.5,1.1)
\pscurve(0.4,1.35)(0.25,1.5)(0,1.6)(-0.2,1.65)(-0.45,1.5)
%les yeux
\pscurve(0.4,1.3)(0.25,1.5)(0.1,1.5)(0.1,1.4)
\pscurve(0.25,1.25)(0,1.4)(-0.1,1.4)(-0.05,1.25)(0.1,1.1)
\pscircle*(0.3,1.35){0.05}
\pscircle*(0.17,1.25){0.05}
%rictus
\pscurve(-0.1,0.9)(0,0.93)(0.05,1.01)
%sourcils
\pscurve(-0.1,1.5)(-0.2,1.47)(-0.1,1.25)
\pscircle(0.7,-0.9){0.1}
%quelques poils
\psline(-0.45,1.5)(-0.35,2)
\psline(-0.35,1.6)(-0.2,2.2)
\psline(-0.2,1.6)(-0.2,2)
\psline(-0.2,1.5)(0,1.8)
\pscurve(0.6,0.9)(0.5,0.8)(0.45,0.55)
%queue
\pscurve(0.1,-0.8)(0,-0.82)(-0.1,-1)(0,-1.1)(0.18,-1.18)
\psline(0.45,0)(0.4,-0.25)
\psline(0.35,-0.2)(0.55,-0.4)
\psline(0.7,-0.3)(0.7,-0.5)
\psline(1,-0.25)(1.2,-0.5)
}
 
\def\poisson{{%
\psset{fillstyle=slope}
    \pscurve(0.1,1.8)(0.4,1.65)(0.6,1.1)(0.85,1.2)
    \pscurve(1.6,3.25)(2.5,4.2)(2.5,3.5)
    \pscurve(4.25,1.9)(4.5,1.5)(3.9,1.4)(3.7,0.8)(3.2,1.5)
    \pscurve(2.5,3.5)(2.75,3.75)(3.2,4)(3.75,3.2)(3.2,2.8)%(2.8,3.2)
    \pscurve(5,2.45)(6,2.5)(5.75,2)(6,1.5)(5.8,1.4)(5,1.6)
    \pscurve(3.2,1.4)(3.1,0.7)(3.5,0.5)(2.7,0.5)
    \pscurve(1.8,1.1)(2.2,1.4)(2.7,1.6)(2.6,1.2)(2.65,1.1)
    (2.6,1)(2.65,0.9)(1.9,0.5)}
    \pscurve[fillstyle=slopes](0.25,2.4)(1,3)(1.6,3.25)(2.5,3.5)(3,3)(4,2.6)
    (5,2.45)(5.7,2.75)(6,2.5)(5.75,2)(6,1.5)(5.9,1.35)(5,1.6)
    (4,1.7)(3,1.1)(2.7,-.2)(2,0)(1,0.3)(0.8,0.3)(0.35,1)
    (0.1,1.8)(0,2.1)(0.1,2.2)(0.5,1.9)(0.45,2.2)(0.25,2.4)
    \pscircle(0.9,2.5){0.25}
    \pscircle*(0.9,2.5){0.15}
    \pscircle[fillstyle=solid,linestyle=none](0.85,2.55){0.03}
    \pscurve(0.35,1)(1,0.8)(1.45,1)(1.6,1.6)(1.5,2.25)}
 
\DeclareFixedFont{\SF}{T1}{phv}{b}{n}{1cm}
\DeclareFixedFont{\Sf}{T1}{phv}{b}{n}{0.4cm}
 
\title{Des transformations simples dans le plan\\
avec le package \textsf{pst-transform}}
\date{7 août 2007 - documentation révisée le 1 septembre}
% révisé le 1 septembre
\author{Manuel Luque\\
 \texttt{\footnotesize manuel.luque27@gmail.com}}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
Suite à une discussion que j'avais initiée sur \texttt{fr.comp.text.tex}\footnote{Voir le fil, \textsf{``Macro de rotation pour PStricks''} :
\href{http://groups.google.fr/group/fr.comp.text.tex/}{http://groups.google.fr/group/fr.comp.text.tex/}},
j'ai pensé qu'il serait utile de regrouper un ensemble de commandes permettant des transformations simples dans le plan :
\begin{enumerate}
  \item translation ;
  \item rotation ;
  \item homothétie ;
  \item cisaillement ;
  \item symétrie par rapport à une droite, ou un point.
\end{enumerate}
J'ai repris et modifié la définition de \verb+\psrotate+ qui avait été élaborée lors de cette discussion et qu'Herbert Voss
avait introduite dans le package \textsf{pstricks-add}, afin de la rendre plus puissante et d'exploiter les possibilités
de \textsf{pst-node}.
 
La commande relative à l'homothétie avait été définie suite à une question posée lors de cette discussion.
 
les commandes relatives au cisaillement et à la symétrie par rapport à une droite figuraient déjà dans une ancienne étude, voir la page :\\
\centerline{\href{http://members.aol.com/ManuelLuque3/miroirs.htm}{http://members.aol.com/ManuelLuque3/miroirs.htm}}
 
Ces commandes associées au package \textsf{pst-node} sont suffisamment puissantes pour limiter au maximum les calculs. Elles sont bien sûr perfectibles :
n'hésitez pas à me faire part de vos améliorations ou de vos applications.
\end{abstract}
\tableofcontents
\clearpage
\psset{unit=1,dimen=middle}
 
 
 
\section{La matrice de transformation de PostScript}
Nous trouvons page 159 de l'édition française du \textit{Manuel de référence du langage PostScript}(Addison-Wesley), les explications sur la \textit{``Représentation et
la manipulation''} de la matrice de transformation courante(\texttt{CTM}).
 
Si les relations entre anciennes $(x,y)$ et nouvelles coordonnées $(x',y')$, après transformation s'écrivent sous la forme :
\[\left\lbrace%
 \begin{array}{ccl}
 x'&=&ax +cy+t_x\\
 y'&=&bx +dy+t_y
 \end{array}
 \right.
\]
La matrice de transformation courante(\texttt{CTM}) qui permettra à \texttt{PostScript} de faire les calculs et
l'affichage de l'image transformée est représentée par un  tableau à 6 éléments :
 
\centerline{\texttt{CTM = [a b c d e f]}}
 
Ce tableau est ensuite intégré dans la commande.
 
Par exemple pour la translation de $(x_0,y_0)\longrightarrow (x_1,y_1)$ :
\begin{verbatim}
  \pst@Verb{%
    {[1 0 0 1 x1 x0 sub y1 y0 sub]
     concat } \tx@TMChange }%
\end{verbatim}
J'ai suivi la méthode employée par Timothy Van Zandt dans le package \texttt{pst-3d}, en modifiant, pour chaque cas, la \texttt{CTM}.
\newpage
\section{Homothétie}
\verb+\psHomothetie(xCentre,yCentre){rapport}{objet}+
 
\begin{pspicture}(-5,-5)(4,9)
\psgrid[subgriddiv=0](-5,-4)(4,8)
\psdots[dotsize=3pt,linecolor=red](3,-4)
\Bill
\psHomothetie(3,-4){2}{\Bill}
\end{pspicture}
\begin{verbatim}
\begin{pspicture}(-5,-4)(4,8)
\psgrid[subgriddiv=0](-5,-4)(4,8)
\psdots[dotsize=3pt,linecolor=red](3,-4)
\Bill
\psHomothetie(3,-4){2}{\Bill}
\end{pspicture}
\end{verbatim}
\section{Application combinée rotation et homothétie : théorème du point fixe\protect\footnote{Dictionnaire Penguin des curiosités mathématiques, page~182. Eyrolles}}
\subsection{Méthode 1}
L'homothétie s'applique aussi à l'épaisseur du trait, avec les inconvénients de lisibilité des petits tracés.
\begin{verbatim}
\pnode(-1,1){O}% rotation
\rectangle
\multido{\i=\rot+\rot}{10}{%
\psrotate(O){\i}{\psHomothetie(O){\rH}{\rectangle}}
\FPeval{\rH}{\rH*0.5}
    }
\end{verbatim}
\def\rectangle{\psframe[linewidth=0.2](-4,-3)(4,3)%
    \uput[135](-4,3){A}\uput[45](4,3){B}
    \uput[225](-4,-3){D}\uput[-45](4,-3){C}}
\def\rH{0.6} % rapport d'homothétie
\def\rot{-15} % angle de rotation
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,3)
%\psgrid(-4,-3)(4,3)
\pnode(-1,1){O}% rotation
\rectangle
\multido{\i=\rot+\rot}{10}{%
\psrotate(O){\i}{\psHomothetie(O){\rH}{\rectangle}}
\FPeval{\rH}{\rH*0.5}
    }
\end{pspicture}
\subsection{Méthode 2}
Pour remédier à l'inconvénient précédent, on calcule les sommets du rectangle après transformation et puis on trace.
\begin{verbatim}
\multido{\i=\rot+\rot}{10}{%
\psrotate(O){\i}{\psHomothetie(O){\rH}{%
    \pnode(-4,3){A}\pnode(4,3){B}
    \pnode(4,-3){C}\pnode(-4,-3){D}}\psframe(A)(C)}
\FPeval{\rH}{\rH*0.5}
    }
\end{verbatim}
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,3)
%\psgrid(-4,-3)(4,3)
\pnode(-1,1){O}% rotation
\psframe(-4,-3)(4,3)
\multido{\i=\rot+\rot}{10}{%
\psrotate(O){\i}{\psHomothetie(O){\rH}{%
    \pnode(-4,3){A}\pnode(4,3){B}
    \pnode(4,-3){C}\pnode(-4,-3){D}}\psframe(A)(C)}
\FPeval{\rH}{\rH*0.5}
    }
\end{pspicture}
\subsection{Méthode 3 : calculs avec PostScript}
Les calculs précédents ont été faits avec le package \textsf{fp}, les voici réalisés avec \textsf{PostScript}
\begin{verbatim}
\multido{\i=\rot+\rot,\iCount=1+1}{10}{%
\psrotate(O){\i}{\psHomothetie(O){\rH\space \iCount\space exp}{%
    \pnode(-4,3){A}\pnode(4,3){B}
    \pnode(4,-3){C}\pnode(-4,-3){D}}\psframe(A)(C)}
    }
\end{verbatim}
\def\rH{0.6} % rapport d'homothétie
\begin{pspicture}(-4,-3)(4,3)
%\psgrid(-4,-3)(4,3)
\pnode(-1,1){O}% rotation
\psframe(-4,-3)(4,3)
\multido{\i=\rot+\rot,\iCount=1+1}{10}{%
\psrotate(O){\i}{\psHomothetie(O){\rH\space \iCount\space exp}{%
    \pnode(-4,3){A}\pnode(4,3){B}
    \pnode(4,-3){C}\pnode(-4,-3){D}}\psframe(A)(C)}
    }
\end{pspicture}
\newpage
\section{Translations}
La commande dédiée aux translations est \verb+\pstranslate(x0,y0)(x1,y1){objet}+. Elle permet de
déplacer tout l'objet dans la translation qui au point $A_0(x_0,y_0)$ fait correspondre le point $A_1(x_1,y_1)$.
 
Exemple : suspendre un cadre en un pont donné.
\begin{verbatim}
\begin{pspicture}(0,0)(12,10)
\psgrid[subgriddiv=0](0,0)(12,10)%
\lucky
\pstranslate(0,6)(9,9){\lucky}
\psline[linecolor=red]{o-v}(0,6)(9,10)
\end{pspicture}
\end{verbatim}
\def\lucky{\psframe[framesep=0pt,linewidth=0.1](-2.05,0)(2.05,5.3)%
           \psline(-2.05,5.3)(0,6)(2.05,5.3)
           \makebox[0cm]{\includegraphics{luckyluke1.eps}}}
\begin{pspicture}(-2,0)(12,10)
\psgrid[subgriddiv=0](0,0)(12,9)%
\lucky
\pstranslate(0,6)(9,9){\lucky}
\psline[linecolor=red]{o-v}(0,6)(9,9)
\end{pspicture}
\def\canne{%
    \pscustom{\psline(0,0)(0,4)\psarcn(0.4,4){0.4}{180}{0}
             \psarcn(0.7,4){0.1}{0}{180}\psarc(0.4,4){0.2}{0}{180}
              \psline(0.2,4)(0.2,0)}
    \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](-0.05,0)(-0.1,-0.4)(0.3,-0.4)(0.25,0)}
\begin{multicols}{2}
{\psset{unit=0.75}
\begin{pspicture}(-5,-1)(2,7)
\psgrid(-5,-1)(1,7)
\canne
\pstranslate(0.7,4)(-3,6){\psset{linecolor=red}\canne}
\psline[linecolor=green]{o-v}(0.7,4)(-3,6)
\end{pspicture}}
\columnbreak
\begin{verbatim}
\begin{pspicture}(-5,-1)(2,7)
\psgrid(-5,-1)(2,7)
\canne
\pstranslate(0.7,4)(-3,6){\canne}
\psline[linecolor=red]{o-v}(0.7,4)(-3,6)
\end{pspicture}
\end{verbatim}
\end{multicols}
\section{Rotations}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,5)
\psgrid\canne
\psrotate(0.4,4){45}{\psgrid(-1,0)(1,5)\psset{linecolor=red}\canne}
\psdot[linecolor=green](0.4,4)
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,5)
\psgrid\canne
\psrotate(0.1,0){-30}{\psgrid(-1,0)(1,5)\psset{linecolor=red}\canne}
\psdot[linecolor=green](0.1,0)
\end{pspicture}
\begin{verbatim}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,5)
\psgrid\canne
\psrotate(0.4,4){45}{\psgrid(-1,0)(1,5)\psset{linecolor=red}\canne}
\psdot[linecolor=green](0.4,4)
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,6)
\psgrid\canne
\psrotate(0.1,0){-30}{\psgrid(-1,0)(1,5)\psset{linecolor=red}\canne}
\psdot[linecolor=green](0.1,0)
\end{pspicture
\end{verbatim}
\begin{multicols}{2}
Où on peut faire des choses assez compliquées sans effectuer aucun calcul !
Il suffit de noter le point intéressant, ici le centre du ballon, afin de savoir où il se trouve
après transformation : ceci grâce aux n\oe{}uds.
 
\begin{pspicture}(-4,-2)(3,3)
\psgrid(-4,-2)(3,3)
{\psset{linestyle=none}\ballon}% initialise les paramètres du ballon sans le tracer
% ballon initial
\ballondeb%
% extrémité droite du col du ballon
% 2*rayon du ballon est la hauteur mesurée à partir du centre du ballon
\pnode(! eCol rBallon 2 mul){C}
% ballon que l'on fait tourner autour de l'extrémité droite du col
% on note O' la position du centre après rotation
\psrotate(C){-70}{\pnode(0,0){O'}}
% On déplace le ballon contenant le liquide, mais sans dessiner le ballon
% uniquement le contenu, ceci afin de garder la surface libre du liquide horizontale.
\pstranslate(0,0)(O'){\psset{linestyle=none}\ballondeb}
% on marque le centre de rotation
\psdot[linecolor=red](C)
% on dessine le ballon incliné de 70°
\psrotate(C){-70}{\pscustom{\ballon}}%
% représentons l'angle de rotation
\psarcn[linecolor=red]{->}(C){0.75}{-90}{-160}
\uput{0.75}[-125](C){\textcolor{red}{$\alpha$}}
\end{pspicture}
\end{multicols}
\begin{verbatim}
\begin{pspicture}(-4,-2)(3,3)
\psgrid(-4,-2)(3,3)
{\psset{linestyle=none}\ballon}% initialise les paramètres du ballon sans le tracer
% ballon initial
\ballondeb%
% extrémité droite du col du ballon
% 2*rayon du ballon est la hauteur mesurée à partir du centre du ballon
\pnode(! eCol rBallon 2 mul){C}
% ballon que l'on fait tourner autour de l'extrémité droite du col
% on note O' la position du centre après rotation
\psrotate(C){-70}{\pnode(0,0){O'}}
% On déplace le ballon contenant le liquide, mais sans dessiner le ballon
% uniquement le contenu, ceci afin de garder la surface libre du liquide horizontale.
\pstranslate(0,0)(O'){\psset{linestyle=none}\ballondeb}
% on marque le centre de rotation
\psdot[linecolor=red](C)
% on dessine le ballon incliné de 70°
\psrotate(C){-70}{\pscustom{\ballon}}%
% représentons l'angle de rotation
\psarcn[linecolor=red]{->}(C){0.75}{-90}{-160}
\uput{0.75}[-125](C){\textcolor{red}{$\alpha$}}
\end{pspicture}
\end{verbatim}
\section{Combinaison rotation et translation}
\subsection{Déplacer et faire tourner une canne}
\begin{multicols}{2}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
\psgrid\canne
\pstranslate(0.4,4)(2,3){\psrotate(0.4,4){30}{\psset{linecolor=red}\canne}}
\psdot[linecolor=green](2,3)
\psline[linecolor=blue]{o-v}(0.4,4)(2,3)
\end{pspicture}
\columnbreak
\begin{verbatim}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
\psgrid\canne
\pstranslate(0.4,4)(2,3){%
        \psrotate(0.4,4){30}{%
          \psset{linecolor=red}\canne}
          }
\psdot[linecolor=green](2,3)
\psline[linecolor=blue]{o-v}(0.4,4)(2,3)
\end{pspicture}
\end{verbatim}
\end{multicols}
\subsection{Construction d'un support-boy paramétrable pour la chimie}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,4)
\psgrid
\supportboy{25}
\end{pspicture}
\end{center}
{\small
\begin{verbatim}
\def\supportboy#1{% #1 angle d'élévation
% limites de l'angle
\pst@cntg=#1\relax \ifnum\pst@cntg>50 \typeout{Niveau must be 50 and not
`\the\pst@cntg'. Value 50 forced.} \pst@cntg=50
    \else
   \ifnum\pst@cntg<15 \typeout{Niveau must be 15 and not
`\the\pst@cntg'. Value 15 forced.} \pst@cntg=15
\fi\fi
% boulons et axes
\def\boulon{\pscircle[style=boulon](0,0){0.2}%
            \pspolygon[style=boulon](0.15;60)(0.15;120)(0.15;180)(0.15;240)(0.15;300)(0.15;360)}
\def\axe{\pscircle[style=boulon](0,0){0.15}}
\def\tige{\psframe[framearc=1,style=metal](-2,0)(2,0.5)}
% molette et vis
\def\vis{%
\psframe(-2.5,-0.1)(2.5,0.1)
\psframe[fillstyle=crosshatch](2.5,-0.75)(3,0.75)
\psframe[linestyle=none,fillstyle=hlines,hatchangle=60,hatchsep=0.05]%
            (-1,-0.1)(2,0.1)}
% base  et plan support
\def\base{%
\psframe(-2,-0.25)(2,0.25)
\pscustom[linestyle=none,style=metal]{\psline(-2,0.25)(2,0.25)(2,-0.25)(-2,-0.25)(-2,0.25)%
          \psarc(-0.95,0){0.15}{90}{270}\psline(-0.8,-0.15)(1.7,-0.15)%
          \psarc(1.7,0){0.15}{-90}{90}
          \psline(-0.95,0.15)}
\psline(-2,0.25)(2,0.25)(2,-0.25)(-2,-0.25)(-2,0.25)%
\psarc(-0.95,0){0.15}{90}{270}\psline(-0.95,-0.15)(1.7,-0.15)%
\psarc(1.7,0){0.15}{-90}{90}
\psline(1.7,0.15)(-0.95,0.15)}
% calcul de quelques points
\pnode(-1.75,0.25){O1}% O1 axe 1
% O2 milieu de la tige 1 après rotation,
% O3 extrémité de la tige 1 après rotation.
\psrotate(O1){\the\pst@cntg}{\pnode(0,0.25){O2}\pnode(1.75,0.25){O3}}%
% récupérer le noeud 4
\psrotate(O2){-\the\pst@cntg}{\pstranslate(0,0.25)(O2){\pnode(-1.75,0.25){O4}}} % récupérer le noeud 4
\pstranslate(-1.75,0)(O4){\vis}
% translation et rotation de la tige 1 -> tige 3
% et récupérer les noeuds 5 et 6
\psrotate(O3){-\the\pst@cntg}{\pstranslate(1.75,0.25)(O3){\tige\pnode(0,0.25){O5}\pnode(-1.75,0.25){O6}}} % tige 3
% translation et rotation de la tige 1 -> tige 2 et récupérer le noeud 7
\psrotate(O2){-\the\pst@cntg}{\pstranslate(0,0.25)(O2){\tige\pnode(1.75,0.25){O7}}} % tige 2
% translation et rotation de la tige 1 -> tige 4
\psrotate(O5){\the\pst@cntg}{\pstranslate(0,0.25)(O5){\tige\pnode(1.75,0.25){O8}}} % tige 4
% rotation  de la tige 1
\psrotate(O1){\the\pst@cntg}{\tige}% tige 1
% récupérer le noeud milieu du dessus du plan support
% pour y placer l'appareil de chauffage : O9
\rput(0,0.25){\base}\pstranslate(-1.75,0)(O6){\base\pnode(0,0.25){O9}}
\multido{\i=1+1}{6}{\rput(O\i){\boulon}}
\rput(O8){\axe}\rput(O7){\axe}}
\end{verbatim}}
\section{Symétrie par rapport à une droite : l'effet miroir}
\subsection{Des ciseaux pour gauchers et droitiers}
\begin{pspicture}(-5,-1)(5,2)
%\psgrid(-5,-1)(5,2)
\pnode(0,-1){A}\pnode(0,2){B}
\rput(-2.5,-0.5){ciseaux pour gaucher}
\rput(2.5,-0.5){ciseaux pour droitier}
\rput[bl](0,0){\includegraphics{ciseauxpourdroitier.eps}}%
\psline[linecolor=red](A)(B)
\SymPlan(A)(B){\includegraphics{ciseauxpourdroitier.eps}}
\end{pspicture}
\begin{verbatim}
\begin{pspicture}(-5,-1)(5,2)
\psgrid(-5,-1)(5,2)
\pnode(0,-1){A}\pnode(0,2){B}
\rput(-2.5,-0.5){ciseaux pour gaucher}
\rput(2.5,-0.5){ciseaux pour droitier}
\rput[bl](0,0){\includegraphics{ciseauxpourdroitier.eps}}%
\psline[linecolor=red](A)(B)
\SymPlan(A)(B){\includegraphics{ciseauxpourdroitier.eps}}
\end{pspicture}
\end{verbatim}
\subsection{Reflet d'un panneau dans une flaque d'eau}
\begin{minipage}{2cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(1,5)
%\psgrid%
\def\panneau{%
\psframe[fillstyle=gradient,gradangle=90,gradend=black,gradbegin=white](-0.1,0)(0.1,3.2)
\psframe[fillstyle=solid,framearc=0.5](-1,2.2)(1,2.8)
\rput(0,2.5){\Sf RAPPEL}
\pscircle[fillstyle=solid](0,4){1}
\pscircle[linewidth=0.2,linecolor=red](0,4){0.8}
\rput(0,4){\SF 50}}
\psframe*[linecolor=cyan!25](-1,0)(1,5)
\panneau
\psframe*[linecolor=green!20](-1,0)(1,-5)
\pnode(-1,0){A}\pnode(1,0){B}
\SymPlan(A)(B){\panneau}
\psline[linewidth=0.2,linecolor=red!50!yellow!50](A)(B)
\end{pspicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{11cm}
%\small
\begin{verbatim}
\begin{pspicture}(-1,-5)(1,5)
%%
\def\panneau{%
\psframe[fillstyle=gradient,gradangle=90,gradend=black,%
                   gradbegin=white](-0.1,0)(0.1,3.2)
\psframe[fillstyle=solid,framearc=0.5](-1,2.2)(1,2.8)
\rput(0,2.5){\Sf RAPPEL}
\pscircle[fillstyle=solid](0,4){1}
\pscircle[linewidth=0.2,linecolor=red](0,4){0.8}
\rput(0,4){\SF 50}}
%%
\psframe*[linecolor=cyan!25](-1,0)(1,5)
\panneau
\psframe*[linecolor=green!20](-1,0)(1,-5)
\pnode(-1,0){A}\pnode(1,0){B}
\SymPlan(A)(B){\panneau}
\psline[linewidth=0.2,linecolor=red!50!yellow!50](A)(B)
\end{pspicture}
\end{verbatim}
\end{minipage}
\section{Cisaillement}
\subsection{Présentation}
Dans son livre \textit{Forme et croissance}, \textsc{D'arcy
Thompson} propose <<~une analyse des phénomènes biologiques sous
leurs aspects mathématiques (la géométrie des formes) et physiques
(le jeu des forces)~>>. Dans le chapitre \textit{La théorie des
transformations ou la comparaison des formes appa\-rentées}, il
étudie certaines variétés de poissons. À la page 293 des éditions
du Seuil, il illustre <<~un cas assez simple, où seule intervient
une force de cisaillement~>>.
 
<<~La première figure représente en coordonnées cartésiennes un
petit poisson océanique du nom d'\textit{Argyropelecus
olfersi}.~>>
 
<<~L'autre figure représente exactement le même croquis  transféré
dans un système de coordonnées obliques dont les axes forment un
angle de 70\textsuperscript{o} : mais, curieusement, ce dernier
constitue alors, une très bonne représentation d'un poisson
apparenté, et pourtant classé dans un genre différent,
\textit{Sternoptyx diaphana}. La déformation illustrée par cet
exemple est précisément analogue aux fossiles soumis aux
contraintes de cisaillement des roches.~>>\footnote{Ce qui est
entre guillemets est extrait du livre.}
\psset{unit=0.5,subgriddiv=0,gridlabels=0.5}
\vspace{1cm}
 
\strut\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\begin{pspicture}(6,4)
\psgrid\poisson
\end{pspicture}\\
\centering \textit{Argyropelecus olfersi}\\ Représentation en
coordonnées cartésiennes
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{6cm}
\begin{pspicture}(6,4)
\psgrid[gridlabels=0,gridcolor=lightgray](6,4)%
\pscisaillement[cisX=20]{\psgrid\poisson}
\psarcn[arrowsize=0.3]{->}(0,0){4}{90}{70}
\uput[80](4;80){$\omega$}
\psline{->}(0,4)
\end{pspicture}\\
\centering \textit{Sternoptyx diaphana}\\ pscisaillement de
$\omega=20$\textsuperscript{o} dans la direction de $x$.
\end{minipage}
\strut\hfill \vspace{1cm}
 
C'est la commande \verb+\pscisaillement[cisX=20]{\psgrid\poisson}+
qui réalise cat effet de cisaillement, en paramètrant l'angle.
 
Ci-dessous, le résultat obtenu par la commande
\verb+\psTilt{70}{\psgrid\poisson}+ faisant partie du package
\verb+\pst-3d+ qui fait exactement la même chose, dans ce cas là.
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,4)
\psgrid[gridlabels=0,gridcolor=lightgray](6,4)%
\psTilt{70}{\psgrid\poisson}
\end{pspicture}
\end{center}
\hfill
 
Mais on peut aussi prévoir un cisaillement suivant l'axe $Oy$, et
même combiner les deux !
\subsection{Cisaillement suivant \textit{Oy}}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,7)
\psgrid[gridlabels=0,gridcolor=lightgray](6,4)%
\pscisaillement[cisX=0,cisY=45]{\poisson\psgrid(6,4)}
\psarc[arrowsize=0.3]{->}(0,0){6}{0}{45}
\uput[22.5](6;22.5){$\beta$}
\end{pspicture}
\begin{verbatim}
\pscisaillement[cisX=0,cisY=45]{\psgrid(6,4)\poisson}
\end{verbatim}
\end{center}
\subsection{Cisaillement suivant \textit{Ox} et \textit{Oy}}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,7)
\psgrid[gridlabels=0,gridcolor=lightgray](6,4)%
\pscisaillement[cisX=20,cisY=20]{\psgrid(6,4)\poisson}
\end{pspicture}
\begin{verbatim}
\pscisaillement[cisX=20,cisY=20]{\psgrid(6,4)\poisson}
\end{verbatim}
\end{center}
Avec des valeurs différentes :
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,9)
\psgrid[gridlabels=0,gridcolor=lightgray](6,4)%
\pscisaillement[cisX=30,cisY=60]{\psgrid(6,4)\poisson}
\end{pspicture}
\begin{verbatim}
\pscisaillement[cisX=30,cisY=60]{\psgrid(6,4)\poisson}
\end{verbatim}
\end{center}
\end{document}