ds5.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%                                    %%
%%         P R É A M B U L E          %%
%%    ___________________________     %%
%%                                    %%
%%             BriCàMatH              %%
%%                                    %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage[latin1]{inputenc}% codage utf8, sous linux principalement
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[pdfauthor={Christian TELLECHEA, administrateur de www.bricamath.net},bookmarks=false,pdfcreator={LaTeX}]{hyperref}
\usepackage[dvips,margin=1.5cm,noheadfoot]{geometry}% dimensions de la page
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,textcomp}% pour les maths
\usepackage{array}% divers outils pour les tableaux
\usepackage{hhline}% des lignes complexes dans les tableaux
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-math,pst-xkey,pst-text,pstricks-add}% Figures géométriques dans le code LaTeX
\usepackage{wrapfig}% insère une figure flottante
\usepackage{cancel}% pour barrer des termes dans les formules
%\usepackage{xlop}% pour faire des calculs dans latex et poser des opérations comme à la main
\usepackage{enumitem}% des énumérations paramétrables
\usepackage{lmodern}% fonte modern
\usepackage{mathrsfs}% fonte cursive : emploi \mathscr{TEXTE}, en majuscules
%\usepackage{mathptmx}% fonte
%\usepackage{mathpazo}% fonte
%\usepackage{pslatex}% fonte Times
\usepackage{multicol}% pour aller au delà de 2 colonnes
\usepackage{ifthen}% pour faire des tests
\usepackage{fp}% pour faire des calculs dans LaTeX
\usepackage{setspace}% pour spécifier l'interlignage
% importantion des petites capitales grasses
\rmfamily\DeclareFontShape{T1}{lmr}{b}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{}\DeclareFontShape{T1}{lmr}{bx}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{}
\pagestyle{empty}% pas de pied de page ni d'en tête
\usepackage[frenchb]{babel}% francisation
\FrenchFootnotes% des notes de bas de pages conformes à la typo française
\setlength{\parindent}{0cm}% pas d'identation
%
%#################################################################################
%###########################       MES COMMANDES       ###########################
%#################################################################################
%
% Pour avoir des lettres majuscules droites dans le mode math
% par JCC sur f.c.t.tex
\DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{65}
\DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{66}
\DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{67}
\DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{operators}{68}
\DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{operators}{69}
\DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{operators}{70}
\DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{operators}{71}
\DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{operators}{72}
\DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{operators}{73}
\DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{operators}{74}
\DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{operators}{75}
\DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{operators}{76}
\DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{operators}{77}
\DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{operators}{78}
\DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{operators}{79}
\DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{operators}{80}
\DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{operators}{81}
\DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{operators}{82}
\DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{operators}{83}
\DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{operators}{84}
\DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{operators}{85}
\DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{operators}{86}
\DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{operators}{87}
\DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{operators}{88}
\DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{operators}{89}
\DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{90}
%
% pour avoir des nombres à virgule en affichant des résultats de calculs par FP
% par JCC sur f.c.t.tex
\def\nombrefr#1{\expandafter{\changecomma{#1}}}
\def\changecomma#1{\expandafter\changecommaaux#1.\changecommaaux}
\def\changecommaaux#1.#2\changecommaaux{#1\ifx\empty#2\else,\expandafter\changecommapt#2\changecommapt\fi}
\def\changecommapt#1.\changecommapt{#1}
%
% Teste si l'argument est un nombre
% par JCC sur f.c.t.tex
% Utilisation :     \IFnombre{#1}{code si #1 est un nombre}{code si #1 n'est pas un nombre}
%                   \decimalpart et \intergerpart contiennent les parties décimales et entières
\makeatletter
\newcount\integerpart
\newcount\decimalpart
\newcommand\IFnombre[3]{%
	\decimalpart=0
	\afterassignment\defnext\integerpart=0#1\relax\@nil
	\expandafter\@dotorcomma\next\@nil
	\if\relax\@remain
		#2%
	\else
		#3
	\fi
	}
\def\defnext#1\@nil{\def\next{#1}}%
\def\@dotorcomma{\@ifnextchar.{\@decimal}{\@comma}}
\def\@comma{\@ifnextchar,{\@decimal}{\@endnumber}}
\def\@decimal#1#2\@nil{%
\afterassignment\defnext\decimalpart=0#2\@nil
\expandafter\@endnumber\next\@nil
}
\def\@endnumber#1\@nil{\def\@remain{#1}}
\makeatother
 
% On sauvegarde les enumerate normaux un peu modifiés
\newcommand*{\setenumeratedefaut}{
\setenumerate{itemsep=2ptplus2ptminus2pt,topsep=\the\itemsep,partopsep=0cm,parsep=0pt}}
\setenumeratedefaut
\let\oldenumerate=\enumerate
\let\oldendenumerate=\endenumerate
%
%%%%% Numérotation des questions %%%%%%%%%%
\newenvironment{Questions}{%
\setenumerate{%
	itemsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre items
	topsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre l'environnement et le texte au dessus
	partopsep=0cm,%
	parsep=3ptplus1ptminus2pt,% séparation entre les paragraphes au sein d'un item
	leftmargin=*,% pas de marge gauche
	align=left,% alignement des numéros à gauche
	labelindent=0pt,% indentation du numéro
	widest=8),% largeur du numéro
	labelsep=0.5em,% séparation entre le numéro et le texte
	itemindent=0em% indentation du texte
	\setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*)}}% numéro du type 1) en gras
	\setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*)}}% lettre de type a) en gras
}\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut}
%
%%%%%% Numérotation des sous questions %%%%%%%%
\newenvironment{SousQuestions}{%
\setenumerate{
	itemsep=3ptplus1ptminus2pt,% espacement vertical entre items
	topsep=4ptplus2ptminus4pt,% séparation avec avec le texte de l'item de hiérarchie plus haute, si celui ci existe
	partopsep=0pt,%
	parsep=3ptplus1ptminus2pt,% séparation entre les paragraphes au sein d'un item
	leftmargin=*,%
	align=left,% alignement des lettres à gauche
	widest=b),% largeur maxi du numéro
	labelsep=0.2em,% séparation entre le numéro et le texte
	itemindent=0em% indentation du texte
}\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut}
%
% Puces
\newenvironment{Puces}[1][1cm]%
{\begin{list}%
	{$\bullet$}%
	{	\setlength{\leftmargin}{#1}% marge à gauche, par défaut=1cm
		\setlength{\itemsep}{3ptplus3ptminus2pt}% espacement entre item
		\setlength{\topsep}{3ptplus3ptminus2pt}% espacement entre le paragraphe précédent et le 1er item
	}}%
{\end{list}}
%
% Affiche "Nom :      Prénom :      Classe :"
\newcommand\NomPrenom{\textbf{\textit{Nom :\hfill Prénom :\hfill Classe :}}\hspace*{2cm}}
%
% Affiche le titre de la page en gros, petites capitales et centré
\newcommand*{\titre}[1]{{\centering\bfseries\scshape\Large#1\par}}
%
% Affiche la date en italique centré
\newcommand*{\ladate}[1]{\vspace{0.1cm}{\centering\itshape#1\par}\vspace{0.1cm}}
%
% Affiche le texte en gras, petite capitale, avec une puce carrée au début
\newcommand*{\exo}[1]{\vspace{0.35cm plus 0.15cm minus 0.15cm}\rule{1ex}{1ex}\hspace{1ex}\textsc{\textbf{#1}}\vspace{0.1cm plus 0.1cm minus 0.1cm}}
%
% Affiche 2 lignes d'épaisseur et d'écartement paramétrables
\newcommand*{\ligne}[5]{%
%#1:espace avant #2:épaisseur 1ère ligne #3:séparation entre les 2 lignes #4:épaisseur 2ème ligne #5:espace après
	\vspace*{#1}\vspace*{-\baselineskip}% remonte d'une ligne
	\rule{\linewidth}{#2}\par% épaisseur 1ère ligne
	\vspace*{-\baselineskip}\vspace*{#3}% on remonte d'une ligne + on descend de la séparation
	\rule{\linewidth}{#4}\par% épaisseur 2ème ligne
	\vspace*{#5}% on met l'espace final
}
%
% Affiche éventuellement le texte puis une double ligne (1 épaisse et 1 fine)
\newcommand*{\DoubleLigne}[1]{#1\par\ligne{6pt plus 2pt minus 2pt}{1.5pt}{2pt}{0.3pt}{0pt}}
%
% Affiche éventuellement le texte puis une ligne fine
\newcommand*{\SimpleLigne}[1]{#1\par\ligne{4pt plus 2pt minus 2pt}{0.3pt}{0pt}{0pt}{0pt}}
%
% Met en gras dans les formules math
\newcommand*{\gras}[1]{\text{\bfseries\mathversion{bold}$#1$}}
%
% Forme un angle
\newcommand*{\Angle}[1]{\ensuremath{\widehat{#1}}}
%
% Forme un arc commande n°1 : arc plutôt bas
\makeatletter
\newcount\r@pport \newdimen\r@ppord
\newcount\kslant \newdimen\kslantd
\newcommand*{\arc}[1]{\setbox0\hbox{$\m@th\displaystyle#1$}\kslant=\ht0
	\divide\kslant by1000\multiply\kslant by\fontdimen1\textfont1
	\divide\kslant by10000\kslantd=\kslant\fontdimen6\textfont1
	\divide\kslantd by7750\kern\kslantd
	\r@ppord=\wd0\multiply\r@ppord by100\divide\r@ppord by\ht0
	\multiply\r@ppord by300\advance\r@ppord by\ht0
	\pspicture(0,0)
	\parabola[linewidth=.3pt]{-}(0,1.05\ht0)(.5\wd0,1.15\r@ppord)
	\endpspicture
	\kern-\kslantd\box0}
\makeatother
%
% Forme un arc commande n°2 : arc plus haut, argument optionnel = épaisseur de la ligne
\newcommand*{\Arc}[2][0.3pt]{%
	\newlength{\longarc}
	\settowidth{\longarc}{$#2$}%
		\unitlength\longarc%
		\ensuremath{%
			\stackrel{\begin{picture}(1,0.2)\linethickness{#1}\qbezier(0,0)(0.5,0.2)(1,0)\end{picture}}%
			{#2}%
		}%
}
% Met entre guillemets français
\def\guill#1{\og{}#1\fg{}}
% _______________________________________________________________________
%|                                                                       |
%|   Met un signe = si \Delta est suffisemment petit, met \approx sinon  |
%|_______________________________________________________________________|
\newcommand*{\SigneEgal}[1]{\FPabs{\Delta}{#1}\FPiflt{\Delta}{0.000000001}=\else\approx\fi}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%   F I N    D U   P R É A M B U L E   %%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%#####################################################################################
%######################## MACROS : SOLIDES À SURFACES COURBES ########################
%########################        v 0.2 du 8/1/2008            ########################
%#####################################################################################
%
% Auteur : Christian TELLECHEA
% Site   : www.bricamath.net
 
% Trace une flèche de cotation parallèle à une ligne, et ajoute du texte et des traits de rappel
\makeatletter
\newcommand*{\Cotation}{\@ifstar{\def\MonOp{\lput*}\cotation@}{\def\MonOp{\aput}\cotation@}}
\newcommand*{\cotation@}[1][linewidth=0.4pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt]{\@ifnextchar[{\cotation@i[#1]}{\cotation@i[#1][linewidth=1pt]}}
\def\cotation@i[#1][#2](#3,#4)(#5,#6)#7#8{\@ifnextchar[{\cotation@ii[#1][#2](#3,#4)(#5,#6){#7}{#8}}{\cotation@ii[#1][#2](#3,#4)(#5,#6){#7}{#8}[0.7ex]}}
\def\cotation@ii[#1][#2](#3,#4)(#5,#6)#7#8[#9]{%
% #1      : optionnel = style des traits de rappel de cotation
% #2      : optionnel = style des traits de la flèche
% (#3,#4) : coordonnées du départ de la ligne à côter
% (#5,#6) : coordonnées de fin de la ligne à côter
% #7      : décalage de la flèche par rapport à la ligne à côter (positif, négatif ou nul)
% #8      : texte
% #9      : optionnel = décalage texte. Par défaut 0.7ex
	\pstVerb{%
		/signe {dup 0 eq {pop 0}{dup 0 lt {pop 1 neg}{pop 1} ifelse} ifelse} def% renvoie -1 0 ou 1
		/depass 0.15 #7 abs add #7 signe mul #5 #3 sub dup mul #6 #4 sub dup mul add sqrt div def%
		/decalx #4 #6 sub depass mul def%
		/decaly #5 #3 sub depass mul def}%
	\psline[#1](! #3 #4)(! #3 decalx add #4 decaly add)% traits de rappel
	\psline[#1](! #5 #6)(! #5 decalx add #6 decaly add)%
	\pcline[offset=#7,#2]{<->}(! #3 #4)(! #5 #6)% tracé de la flèche
	\setlength{\pslabelsep}{#9}% on positionne le texte avec le décalage
	\MonOp{:U}{#8}% affichage du texte
}
 
\newcommand*{\TraceEllipse}{\@ifstar{\TraceEllipse@{linestyle=none}}{\TraceEllipse@{linestyle=dashed}}}
\newcommand*{\TraceEllipse@}[1]{\@ifnextchar[{\TraceEllipse@i{#1}}{\TraceEllipse@i{#1}[linewidth=1pt]}}
\def\TraceEllipse@i#1[#2]#3#4#5{%
% #1 : argument dépendant de l'étoile ou non (rien ou pointillés)
% #2 : optionnel = épaisseur du trait, par défaut 1pt
% #3 : ordonnée positive au delà de laquelle on met des pointillés
% #4 : demi axe horizontal >0
% #5 : demi axe vertical >0
	\pstVerb{/AAsin {dup 1 gt {pop 90}{dup 1 neg lt {pop 90 neg}{asin} ifelse} ifelse} def /AAngl #3 #5 div AAsin def}%
	\psellipticarc[#2,#1](0,0)(! #4 #5){! AAngl}{! 180 AAngl sub}% pointillés éventuellement
	\psellipticarc[linestyle=solid,#2](0,0)(! #4 #5){! AAngl 180 add neg}{! AAngl}%
	\ignorespaces
}
 
\newcommand*{\TraceCone}{\@ifstar{\def\OpEllipse{\TraceEllipse*}\TraceCone@}{\def\OpEllipse{\TraceEllipse}\TraceCone@}}
\newcommand*{\TraceCone@}[4][linewidth=1pt]{% Trace un cône dont la base horizontale est centrée sur l'origine
% #1 : optionnel = épaisseur du trait, par défaut 1pt
% #2 : rayon                  R > 0
% #3 : coeff d'aplatissement  k > 0
% #4 : hauteur                H (valeur signée : si H < 0 cône vu de dessus, pas de pointillé pour l'ellipse)
	\pstVerb{%
		/bb #2 #3 mul def%                      bb:=kR             : demi grand axe vertical
		/yy bb dup mul #4 div def%              yy:=R^2*k^2/H      : ordonnée du point de tangence
		/xx 1 yy #4 div sub sqrt #2 mul def%    xx:=R*sqrt(1-yy/H) : abscisse du point de tangence
		/ycoupe {#4 0 lt {bb}{yy}  ifelse} def% si H négatif, on empêche les pointillés
	}%
	\OpEllipse[#1]{ycoupe}{#2}{bb}% tracé de la base
	\psline[#1](! xx neg yy)(! 0 #4)(! xx yy)% les génératrices extrêmes vues
	\ignorespaces
}
\makeatother
 
\newcommand*{\NomPoints}[8][dotsize=3pt]{% Affiche les noms des points remarquables du cône ou du cylindre
% #1 : optionnel = style point pour le centre de la base, par défaut [dotsize=3pt]
% #2 : rayon                  R
% #3 : coeff d'applatissement k
% #4 : hauteur                H
% #5 : Nom de l'extrémité diamètre gauche
% #6 : Nom du centre du cercle
% #7 : Nom de l'extrémité diamètre droit
% #8 : Nom du sommet
	\pstVerb{%
		/Corr 0.12 def% correction à apporter pour les placements
		/OrdSommet #4 abs Corr 1.6 mul add def% = |#4| + 1.6*Corr
		/xCentre {#4 0 lt {0}{Corr neg} ifelse} def%
		/ySommet {#4 0 lt {OrdSommet neg}{OrdSommet} ifelse} def%
		/xDiametre #2 Corr add def%
	}%
	\ifdim #4cm<0cm\def\PC{b}\def\PS{t}\else\def\PC{br}\def\PS{b}\fi
	\rput[r](! xDiametre neg 0){#5}
	\rput[\PC](! xCentre Corr){#6}
	\rput[l](! xDiametre 0){#7}
	\rput[\PS](! 0 ySommet){#8}
	\psdots[#1](0,0)
}
 
\makeatletter
\newcommand*{\AxesFigure}[1][linewidth=0.7pt,linestyle=dashed]{\@ifnextchar[{\AxesFigure@i[#1]}{\AxesFigure@i[#1][linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]}}
\def\AxesFigure@i[#1][#2]{\@ifnextchar[{\AxesFigure@ii[#1][#2]}{\AxesFigure@ii[#1][#2][linewidth=0.5pt]}}
\def\AxesFigure@ii[#1][#2][#3]{\@ifnextchar[{\AxesFigure@iii[#1][#2][#3]}{\AxesFigure@iii[#1][#2][#3][0.2]}}
\def\AxesFigure@iii[#1][#2][#3][#4]#5#6#7{%
% #1 : optionnel style des traits de l'axe. Par défaut [linewidth=0.7pt,linestyle=dashed]
% #2 : optionnel style des traits du diamètre bas. Par défaut [linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
% #3 : optionnel style des traits codage angle droit. Par défaut [linewidth=0.5pt]
% #4 : optionnel taille du codage de l'angle droit. Par défaut [0.2]
% #5 : rayon                  R
% #6 : coeff d'applatissement k
% #7 : hauteur                H
	\psline[#1](! 0 0)(! 0 #7)
	\psline[#2](! #5 neg 0)(! #5 0)
	\pstVerb{/yy {#7 0 lt {#4 neg}{#4} ifelse} def}
	\psline[#3](! 0 yy)(! #4 yy)(! #4 0)
}
 
\newcommand*{\SectionCone}{\@ifstar{\def\OpEllipse{\TraceEllipse*}\SectionCone@}{\def\OpEllipse{\TraceEllipse}\SectionCone@}}
\newcommand*{\SectionCone@}[5][linewidth=1pt]{% Affiche la section du cône
% #1 : optionnel = épaisseur du trait, par défaut 1pt
% #2 : rayon                  R
% #3 : coeff d'applatissement k
% #4 : hauteur                H
% #5 : ordonnée de la section z (0<z<H)
	\pstVerb{%
		/rr #2 #4 #5 sub mul #4 div def%    rr = R*(H-z)/H) : rayon de la section
		/bb #3 rr mul def%                  bb:=k*rr        : demi grand axe vertical
		/yy bb dup mul #4 div def%          yy:=bb^2/H      : ordonnée du point de tangence
	}%
	\rput(0,#5){\OpEllipse[#1]{yy}{rr}{bb}}
}
 
\newcommand*{\AxesSectionCone}[1][linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{\@ifnextchar[{\AxesSectionCone@i[#1]}{\AxesSectionCone@i[#1][linewidth=0.5pt]}}
\def\AxesSectionCone@i[#1][#2]{\@ifnextchar[{\AxesSectionCone@ii[#1][#2]}{\AxesSectionCone@ii[#1][#2][0.2]}}
\def\AxesSectionCone@ii[#1][#2][#3]#4#5#6#7{%
% #1 : style des traits du diamètre. Par défaut : linewidth=0.7pt,linestyle=dashed
% #2 : style des traits codage angle droit. Par défaut : linewidth=0.5pt
% #3 : taille du codage de l'angle droit. Par défaut : 0.2
% #4 : rayon                  R
% #5 : coeff d'applatissement k
% #6 : hauteur                H
% #7 : ordonnée de la section z
	\rput(! 0 #7){\AxesFigure[linestyle=none][#1][#2][#3]{#4 #6 abs #7 abs sub mul #6 abs div}{#5}{#6}}%
}
\makeatother
 
\newcommand*{\NomSectionCone}[8][dotsize=3pt]{%
% #1 : optionnel = style point pour le centre de la base, par défaut [dotsize=3pt]
% #2 : rayon                  R
% #3 : coeff d'applatissement k
% #4 : hauteur                H
% #5 : ordonnée de la section z
% #6 : Nom de l'extrémité diamètre gauche
% #7 : Nom du centre du cercle
% #8 : Nom de l'extrémité diamètre droit
	\rput(! 0 #5){\NomPoints[#1]{#2 #4 abs #5 abs sub mul #4 div}{#3}{#4}{#6}{#7}{#8}{}}
}
 
\makeatletter
\newcommand*{\TraceCylindre}{\@ifstar{\def\OpEllipse{\TraceEllipse*}\TraceCylindre@}{\def\OpEllipse{\TraceEllipse}\TraceCylindre@}}
\newcommand*{\TraceCylindre@}[4][linewidth=1pt]{%
% #1 : optionnel = épaisseur du trait, par défaut 1pt
% #2 : rayon > 0
% #3 : coeff aplatissement
% #4 : hauteur > 0
	\pstVerb{/rr #2 abs def /hh #3 abs def /bb rr bb mul def}
	\OpEllipse[#1]{0}{rr}{bb}% la base
	\psellipse[#1](! 0 #4)(! rr bb)% le haut
	\psline[#1](! rr neg 0)(! rr neg #4)\psline[#1](! rr 0)(! rr #4)% les génératrices
	\ignorespaces
}
 
\newcommand*{\TraceSphere}{\@ifstar{\def\OpEllipse{\TraceEllipse*}\TraceSphere@}{\def\OpEllipse{\TraceEllipse}\TraceSphere@}}
\newcommand*{\TraceSphere@}[1][linewidth=1pt]{\@ifnextchar[{\TraceSphere@i[#1]}{\TraceSphere@i[#1][linewidth=0.7pt]}}
\def\TraceSphere@i[#1][#2]#3#4{%
% #1 : optionnel : style de traits de la sphère (par défaut linewidth=1pt)
% #2 : optionnel : style de traits de l'équateur (par défaut linewidth=0.7pt)
% #3 : Rayon R
% #4 : aplatissement de l'équateur
	\pscircle[#1](! 0 0){#3}
	\OpEllipse[#2]{0}{#3}{#4 #3 mul}
}
 
\newcommand*{\AxesSphere}[1][linewidth=0.7pt,linestyle=dashed]{\@ifnextchar[{\AxesSphere@i[#1]}{\AxesSphere@i[#1][linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]}}
\def\AxesSphere@i[#1][#2]{\@ifnextchar[{\AxesSphere@ii[#1][#2]}{\AxesSphere@ii[#1][#2][linewidth=0.5pt]}}
\def\AxesSphere@ii[#1][#2][#3]{\@ifnextchar[{\AxesSphere@iii[#1][#2][#3]}{\AxesSphere@iii[#1][#2][#3][0.2]}}
\def\AxesSphere@iii[#1][#2][#3][#4]#5#6{%
% #1 : style traits axe passant par les pôles
% #2 : style traits diamètre équateur
% #3 : style traits codage angle droit
% #4 : taille codage angle droit
% #5 : Rayon R
% #6 : aplatissement équateur
	\AxesFigure[#1][#2][#3][#4]{#5}{0.5}{#5 1.1 mul}
	\AxesFigure[#1][linestyle=none][linestyle=none][#4]{#5}{0.5}{#5 1.1 mul neg}
}
 
\newcommand*{\SectionSphere}{\@ifstar{\def\OpEllipse{\TraceEllipse*}\SectionSphere@}{\def\OpEllipse{\TraceEllipse}\SectionSphere@}}
\newcommand*{\SectionSphere@}[4][linewidth=0.7pt]{%
% #1 : optionnel = style du trait
% #2 : Rayon de la sphère R
% #3 : aplatissement de la section
% #4 : côte de la section z
	\pstVerb{/rr #4 dup mul #3 dup mul 1 sub div #2 dup mul add sqrt def}% rayon de l'ellipse représentant la section
	\rput(! 0 #4){\OpEllipse[#1]{#3 dup mul #4 mul 1 #3 dup mul sub div}{rr}{rr #3 mul}}%
}
 
\newcommand*{\AxesSectionSphere}[1][linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{\@ifnextchar[{\AxesSectionSphere@i[#1]}{\AxesSectionSphere@i[#1][linewidth=0.5pt]}}
\def\AxesSectionSphere@i[#1][#2]{\@ifnextchar[{\AxesSectionSphere@ii[#1][#2]}{\AxesSectionSphere@ii[#1][#2][0.2]}}
\def\AxesSectionSphere@ii[#1][#2][#3]#4#5#6{%
% #1 : style des traits du diamètre. Par défaut : linewidth=0.7pt,linestyle=dashed
% #2 : style des traits codage angle droit. Par défaut : linewidth=0.5pt
% #3 : taille du codage de l'angle droit. Par défaut : 0.2
% #4 : rayon                  R
% #5 : coeff d'applatissement k
% #6 : ordonnée de la section z
	\rput(! 0 #6){\AxesFigure[linestyle=none][#1][#2][#3]{#6 dup mul #5 dup mul 1 sub div #4 dup mul add sqrt}{#5}{#4}}%
}
\makeatother
 
\newcommand*{\NomSectionSphere}[7][dotsize=3pt]{%
% #1 : optionnel = style point pour le centre de la base, par défaut [dotsize=3pt]
% #2 : rayon                  R
% #3 : coeff d'applatissement k
% #4 : ordonnée de la section z
% #5 : Nom de l'extrémité diamètre gauche
% #6 : Nom du centre du cercle
% #7 : Nom de l'extrémité diamètre droit
	\rput(! 0 #4){\NomPoints[#1]{#4 dup mul #3 dup mul 1 sub div #2 dup mul add sqrt}{#3}{1}{#5}{#6}{#7}{}}
}
 
\makeatletter
\newcommand*{\Calotte}{\@ifstar{\def\OpEllipse{\TraceEllipse*}\Calotte@}{\def\OpEllipse{\TraceEllipse}\Calotte@}}
\newcommand*{\Calotte@}[1][B]{\@ifnextchar[{\Calotte@i[#1]}{\Calotte@i[#1][linewidth=1pt]}}
\def\Calotte@i[#1][#2]#3#4#5{%
% #1 : optionnel [H] ou [B] selon que l'on veut la partie Haute ou Basse restante après coupe par un plan. Par défaut B
% #2 : optionnel : style de trait de la calotte. Par défaut linewidth=1pt
% #3 : Rayon de la sphere R
% #4 : aplatissement de la section k
% #5 : côte de la section z
	\pstVerb{%
		/RR #3 dup mul def /kk #4 dup mul def /zz #5 dup mul def%
		/rr zz kk 1 sub div RR add sqrt def% rayon de l'ellipse représentant la section
		/yy #5 1 kk sub div def% ordonnée du point de tangence entre ellipse et cercle
		/AAangle yy #3 div asin def%
	}%
	\ifx B#1%
		\psellipticarc[linestyle=solid,#2](! 0 0)(! #3 #3){! AAangle 180 add neg}{! AAangle}
		\rput(! 0 #5){\OpEllipse[#2]{rr #4 mul}{rr}{rr #4 mul}}%
	\fi
	\ifx H#1%
		\psellipticarc[linestyle=solid,#2](! 0 0)(! #3 #3){! AAangle}{! 180 AAangle sub}
		\rput(! 0 #5){\OpEllipse[#2]{yy #5 sub}{rr}{rr #4 mul}}%
	\fi
}
\makeatother
%########################################################################################
%########################### MACROS POUR LES DROITES GRADUÉES ###########################
%###########################         v 0.2 du 7/1/2008        ###########################
%########################################################################################
%
% Auteur : Christian TELLECHEA
% Site   : www.bricamath.net
%
\newcommand*{\Position}[1]{\ifdim #1cm=0cm c \fi \ifdim #1cm>0cm b \fi \ifdim #1cm<0cm t \fi}
% _________________________________________________
%|                                                 |
%|      Marque un point sur la droite graduée      |
%|_________________________________________________|
% #1 optionnel : épaisseur du point, par défaut 3.5pt
\newcommand*{\MarquePoint}[2][3.5]{\psdots[dotsize=#1pt 0](! #2 0)}
% __________________________________________________________
%|                                                          |
%|      Marque un trait vertical sur la droite graduée      |
%|__________________________________________________________|
% #1 optionnel : hauteur du trait de part et d'autre de la droite. Par défaut 0.25cm
\newcommand*{\MarqueTrait}[2][0.25]{\psline[linewidth=1pt](! #2 -#1)(! #2 #1)}
% _________________________________________________________________
%|                                                                 |
%|      Affiche un texte à une abscisse et une hauteur donnée      |
%|_________________________________________________________________|
%#1 : abscisse
%#2 : decalage vertical (espace en cm entre le haut ou la bas de la lettre et la droite graduée)
%#3 : texte
\newcommand*{\AfficheTexte}[3]{\rput[\Position{#2}](! #1 #2){#3}}
% ________________________________________________________
%|                                                        |
%|             Affiche une flèche verticale               |
%|      au dessus ou au dessous de la droite graduée      |
%|                  avec ou sans texte                    |
%|________________________________________________________|
\makeatletter
\newcommand{\AfficheFleche}[3][0.15]{\@ifnextchar[{\AfficheFleche@i[#1]{#2}{#3}}{\AfficheFleche@i[#1]{#2}{#3}[]}}
\def\AfficheFleche@i[#1]#2#3[#4]{%
% #1  :   décalage vertical entre bout de la flèche et la droite. Par défaut=0.15
% #2  :   abscisse de la flèche
% #3  :   hauteur de la flèche en cm (positif:flèche au dessus, négatif:flèche au dessous)
% #4  :   Optionnel : texte à afficher
\pstVerb{/Signe #3 dup 0 eq {pop 0}{dup 0 lt {pop 1 neg}{pop 1} ifelse} ifelse def}% renvoie -1 0 ou 1 selon le signe de #3
\psline[arrowsize=2pt 3]{->}(! #2 #3 abs #1 abs add Signe mul)(!#2 #1 abs Signe mul)%
\rput[\Position{#3}](! #2 #3 abs #1 abs add 0.1 add Signe mul){#4}%
}
% ___________________________________________
%|                                           |
%|        ENVIRONNEMENT DroiteGraduée        |
%|          Trace une droite gradué          |
%|___________________________________________|
\newenvironment{DroiteGraduee}[8][all]{%
% Les arguments de l'environnement
% #1 : Optionnel = affichage des nombres. Par défaut all (none est le contraire)
% #2 : largeur totale de la droite en cm
% #3 : abscisse de la 1ère graduation
% #4 : abscisse de la dernière graduation
% #5 : Nombre d'intervalles sudivisant la graduation principale
% #6 : Incrément entre 2 graduations principales
% #7 : Nombre de graduations principales à afficher avant la première
% #8 : Nombre de graduations principales à afficher après la dernière
	\newdimen\x@gauche \newdimen\x@droite \newdimen\x@@unite
	\newdimen\c@rrection \newdimen\n@m \newdimen\d@n
	\x@@unite=1cm%       pour les conversions
	\c@rrection=0.6cm%   largeur de la flèche
	\x@gauche=-#7cm \advance\x@gauche #3cm \x@droite=#4cm \advance\x@droite #8cm
	\pst@divide\x@gauche\x@@unite\x@@gauche%      conversion pt-->cm
	\n@m=-\c@rrection \advance\n@m #2cm%          n@m=largeur-epaisseur_fleche
	\d@n=-\x@gauche \advance\d@n\x@droite%        d@n=xdroite-xgauche
	\pst@divide\n@m\d@n\x@unite%                  x@unit=(largeur-largeur_fleche)/(xdroite-xgauche)
	\pst@divide\c@rrection{\x@unite cm}{\Fl@che}
	\newdimen\EpFl@che \EpFl@che=\Fl@che cm
	\advance\x@droite\EpFl@che \pst@divide\x@droite\x@@unite\x@@droite% on corrige de la largeur de la flèche, et on convertit
	\psset{xunit=\x@unite cm,yunit=1cm,arrowsize=4pt 3}%
	\begin{pspicture}(\x@@gauche,-1)(\x@@droite,1)%
		\psaxes[comma,labelsep=5pt,labels=#1,Ox=#3,Dx=#6,yAxis=false,subticks=#5,ticksize=-0.15cm 0.15cm,tickwidth=1.5pt,subticksize=0.7,subtickwidth=0.8pt,subtickcolor=black]{->}(#3,0)(\x@@gauche,-1)(\x@@droite,1)
	}
	{\end{pspicture}}
% ___________________________________________________
%|                                                   |
%|      Représentation graphique de l'ensemble       |
%|    des solutions d'une inéquation du 1è degrés    |
%|___________________________________________________|
%
\makeatletter
\newcommand*{\GraphiqueInequation}[3][n]{\@ifnextchar[{\GraphiqueInequation@i[#1]{#2}{#3}}{\GraphiqueInequation@i[#1]{#2}{#3}[5]}}
\def\GraphiqueInequation@i[#1]#2#3[#4]{%
% #1   :   optionnel = 0 par défaut (pas de hachure pour ce qui ne convient pas) sinon #1=H ou h
% #2   :   signe de l'inégalité  < ou <= ou =< ou > ou >= ou =>
% #3   :   nombre à afficher au dessus de la borne
% #4   :   optionnel = largeur de la représentation en cm. Par défaut 5.
	\newdimen\xMaxi \xMaxi=#4cm \divide\xMaxi2
	\psset{unit=1 cm,arrowsize=4pt 3}
	\begin{pspicture*}(-\xMaxi,-0.3)(\xMaxi,1.2)%
		\pstVerb{% début code PostScript
			/DecalCrochet 0.07 def /DecalOrigine 0.07 def /EpFleche 0.2 def /Angle 0 def
			/Inferieur (#2)(<)eq (#2)(<=)eq or (#2)(=<)eq or def
			/Superieur (#2)(>)eq (#2)(>=)eq or (#2)(=>)eq or def
			/Large (#2)(<=)eq (#2)(=<)eq or (#2)(>=)eq or (#2)(=>)eq or def
			/Stricte (#2)(<)eq (#2)(>)eq or def
			Superieur {/Signe 1 def} if
			Inferieur	{/Signe 1 neg def} if
			(#1)(H)eq (#1)(h)eq or {/yHachures 0.15 def}{/yHachures 0 def} ifelse
			Large {
				/TaillePoint 0.075 def /TailleTrait 0 def /xOrigine 0 def
				/xCrochet DecalCrochet Signe neg mul def /xHachures xCrochet def
				Inferieur {/Angle 180 def} if
				} if
			Stricte {
				/TaillePoint 0 def /TailleTrait 0.15 def /xOrigine DecalOrigine def
				/xCrochet DecalCrochet Signe mul def /xHachures 0 def
				Superieur {/Angle 180 def} if
				} if
			/xExtremeHachures #4 2 div Signe neg mul def
			/xExtreme #4 2 div Signe mul def
			Superieur {/xExtreme xExtreme EpFleche sub def} if
			Inferieur {/xExtremeHachures xExtremeHachures 2 EpFleche mul sub def} if
			/xOrigine xOrigine Signe mul def
		}%% fin code PostScript
	\psline[linewidth=1pt]{->}(! #4 2 div neg 0)(! #4 2 div 0)%      tracé de la droite
	\psline[linewidth=2.5pt](! xExtreme 0)(! xOrigine 0)%            on repasse en gras
	\psellipse*(! 0 0)(! TaillePoint TaillePoint)%                   marque éventuellement le point
	\psline[linewidth=1pt](! 0 TailleTrait neg)(! 0 TailleTrait)%    trace éventuellement un trait
	\rput[c]{! Angle}(! xCrochet 0){\LARGE\textbf{[}}%               on place le crochet
	\rput[b](! 0 0.4){#3}%                                           affichage de la borne
	\psframe[linestyle=none,fillstyle=hlines,hatchwidth=0.5pt,hatchsep=3pt](! xHachures yHachures neg)(! xExtremeHachures yHachures)% hachures
	\end{pspicture*}
}
\makeatother
\author{BriCàMatH}
\hypersetup{pdftitle={Devoir surveillé 5. Classe troisième},pdfsubject={Devoir de maths niveau troisième avec correction : équations, inéquations},pdfkeywords={équations, inéquations}}
\title{Devoir surveillé 3ème : Équations et autres}
\date{14/1/2008}
\begin{document}
\titre{Devoir surveillé \no5}
\DoubleLigne{\ladate{Le lundi 14/1/2008}}
\ladate{\textbf{Calculatrice autorisée -- Pas de prêt ni d'échange de calculatrice !}}
 
\exo{Exercice 1.}
 
\begin{Questions}
	\item Résoudre les équations et inéquations suivantes. Pour les inéquations, représenter l'ensemble des solutions :
		\begin{align*}
			(2x-3)^2-(2x-1)(2x-2)=-1 && 2(x-4)-3(2x-1)\leqslant7 \\[1ex]
			\dfrac{3x}{2}-\dfrac{2x}{3}<\dfrac{5}{6} && (x+3)^2-3(2x+5)=0
		\end{align*}
	\item \begin{SousQuestions}
			\item Soit le nombre $A=(2\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-2)$\par
			Calculer A et donner le résultat sous la forme $a+b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs.
			\item On donne l'encadrement : $1,5<\sqrt{3}<2$. En déduire un encadrement de A.
	      \end{SousQuestions}
	\item Calculer et donner l'écriture scientifique de : $C=\dfrac{0,4\times10^{-8}}{\left(5\times10^{-5}\right)^2}$
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 2.}
 
La figure ci-dessous n'est pas représentée en vraie grandeur, et il n'est pas demandé de la reproduire.\medskip
 
\begin{center}
	\psset{unit=0.8cm}
	\begin{pspicture*}(0.5,0.5)(10.5,7.5)
		\pspolygon(1,7)(8,7)(8,2)(1,2)
		\psline(3,2)(8,5)
		\Cotation*[linestyle=none][linewidth=0.5pt](1,2)(8,2){-1.3}{\footnotesize7 cm}
		\Cotation*[linestyle=none][linewidth=0.5pt](1,2)(3,2){-0.8}{\footnotesize2 cm}
		\Cotation*[linestyle=none][linewidth=0.5pt](8,2)(8,7){-1.5}{\footnotesize5 cm}
		\Cotation*[linestyle=none][linewidth=0.5pt](8,5)(8,7){-1}{\footnotesize$x$ cm}
		\rput[bl](0.7,7.1){A}
		\rput[bl](8.1,7.1){B}
		\rput[bl](8.1,1.7){C}
		\rput[bl](0.6,1.7){D}
		\rput[bl](2.9,1.5){N}
		\rput[bl](8.2,4.9){M}
	\end{pspicture*}
\end{center}
 
Dans cette figure :\par
\begin{Puces}
	\item ABCD est un rectangle tel que : $AB=DC=7\text{ cm}$ et $AD=BC=5\text{ cm}$.
	\item N est le point de [DC] tel que $DN=2\text{ cm}$.
	\item M est le point de [BC] tel que $BM=x$ où $x$ est une longueur en cm telle que $0\leqslant x \leqslant5$.
\end{Puces}
\medskip
 
\begin{Questions}
	\item \begin{SousQuestions}
			\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire $\mathcal{A}$ du triangle CMN.
			\item Calculer la longueur $x$ pour que l'aire $\mathcal{A}$ du triangle CMN soit le quart de l'aire du rectangle ABCD.
	      \end{SousQuestions}
	\item Dans cette question, on prendra : $BM=x=1,5\text{ cm}$.
		\begin{SousQuestions}
			\item Les droites (BD) et (MN) sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.
			\item Calculer au degré le plus proche, la mesure de l'angle \Angle{MNC}.
		\end{SousQuestions}
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 3.}
 
Résoudre ces 2 problèmes à l'aide d'une équation du 1\ier{} degré.
 
\begin{Questions}
	\item Je choisis un nombre, je lui ajoute 5, puis je multiplie le résultat par 4. Enfin, je divise le résultat trouvé par 5, et je retombre sur le nombre de départ. Quel était ce nombre ?
	\item Aujourd'hui, l'âge d'un père vaut 4 fois celui de sa fille. Mais dans 18 ans, l'âge du père sera seulement le double de celui de sa fille.\par Quels sont leurs âges actuels ?
\end{Questions}
\pagebreak
 
\DoubleLigne{\titre{Correction du devoir surveillé \no5}}
 
\exo{Exercice 1.}
 
\begin{Questions}
	\item
		\begin{multicols}{2}
		$	(2x-3)^2-(2x-1)(2x-2)=-1\\[0.5ex]
			4x^2-12x+9-(4x^2-4x-2x+2)=-1\\[0.5ex]
			\cancel{4x^2}-12x+9-\cancel{4x^2}+4x+2x-2=-1\\[0.5ex]
			-12x+4x+2x=-1-9+2\\[0.5ex]
			-6x=-8\\[0.5ex]
			\gras{x=\dfrac{4}{3}}
		$
		\bigskip
 
		$	2(x-4)-3(2x-1)\leqslant7\\[0.5ex]
			2x-8-6x+3\leqslant7\\[0.5ex]
			2x-6x\leqslant7+8-3\\[0.5ex]
			-4x\leqslant12\\[0.5ex]
			x\geqslant\dfrac{12}{-4}\\[0.5ex]
			\gras{x\geqslant-3}
		$
 
		\vspace{-1.5\baselineskip}
		\GraphiqueInequation[H]{>=}{$-3$}
 
		$	\dfrac{3x}{2}-\dfrac{2x}{3}<\dfrac{5}{6}\\[0.5ex]
			\dfrac{9x}{6}-\dfrac{4x}{6}<\dfrac{5}{6}\\[0.5ex]
			\dfrac{5x}{6}<\dfrac{5}{6}\\[0.5ex]
			\gras{x<1}
		$
 
		\vspace{-1.5\baselineskip}
		\GraphiqueInequation[H]{<}{1}
		\bigskip
 
		$	(x+3)^2-3(2x+5)=0\\[0.5ex]
			x^2+\cancel{6x}+9-\cancel{6x}-15=0\\[0.5ex]
			x^2=15-9\\[0.5ex]
			x^2=6\\[0.5ex]
			\gras{x=-\sqrt{6}\quad\text{ou}\quad x=\sqrt{6}}
		$
		\end{multicols}
	\item \begin{SousQuestions}
			\begin{multicols}{2}
				\item $	A=(2\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-2)\\[0.5ex]
							A=2(\sqrt{3})^2-4\sqrt{3}+\sqrt{3}-2\\[0.5ex]
							A=6-4\sqrt{3}+\sqrt{3}-2\\[0.5ex]
							\gras{A=4-3\sqrt{3}}$
				\item $	1,5<\sqrt{3}<2\\[0.5ex]
							1,5\times(-3)>-4\sqrt{3}>2\times(-3)\\[0.5ex]
							-6<-3\sqrt{3}<-4,5\\[0.5ex]
							\gras{-2<4-3\sqrt{3}<-0,5}$
			\end{multicols}
		\end{SousQuestions}
	\item $C=\dfrac{0,4\times10^{-8}}{\left(5\times10^{-5}\right)^2}=\dfrac{0,4\times10^{-8}}{25\times10^{-10}}=\dfrac{0,4}{25}\times\dfrac{10^{-8}}{10^{-10}}=0,016\times10^{-8-(-10)}=1,6\times10^{-2}\times10^{2}=\gras{1,6\times10^0}$
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 2.}
 
\begin{Questions}
	\item\begin{SousQuestions}
			\item $\mathcal{A}=\dfrac{CN\times CM}{2}=\gras{\dfrac{5(5-x)}{2}\text{ cm}^2}$
			\item Il suffit de résoudre $\mathcal{A}=\dfrac{35}{4}$, c'est-à-dire :\newline
				$\begin{aligned}
					&\dfrac{5(5-x)}{2}=\dfrac{35}{4}\\
					&20(5-x)=70\qquad\text{ Égalité des produits en croix.}\\
					&100-20x=70\\
					&-20x=-30\\
					&x=\dfrac{-30}{-20}=1,5\qquad\gras{\text{ Lorsque }x=1,5\text{ cm, l'aire de CMN vaut le quart de celle de ABCD.}}
				\end{aligned}$
		\end{SousQuestions}
	\item \begin{SousQuestions}
	      	\item $\dfrac{CD}{CN}=\dfrac{7}{5}\qquad\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{5}{3,5}=\dfrac{50}{35}=\dfrac{10}{7}$\par
				On n'obtient pas d'égalité puisque $\dfrac{CD}{CN}\ne\dfrac{CB}{CM} $ : la réciproque du théorème de Thalès n'est pas vérifiée donc \textbf{les droites (BD) et (MN) ne sont pas parallèles}.
			\item Dans le triangle MNC rectangle en C : $\tan\Angle{MNC}=\dfrac{MC}{NC}\qquad\tan\Angle{MNC}=\dfrac{3,5}{5}\qquad\gras{\Angle{MNC}\approx35\degres}$
	      \end{SousQuestions}
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 3.}
 
\begin{Questions}
	\item Appelons $x$ ce nombre de départ; on obtient l'équation $\dfrac{4(x+5)}{5}=x$\quad c'est-à-dire : $4(x+5)=5x$\par
		Cette équation se résout facilement, et on trouve $x=20$. \textbf{Le nombre de départ est donc 20}.
	\item Appelons $x$ l'âge actuel de la fille. On a donc le tableau chronologique suivant:\par\smallskip
		\begin{tabular}[c]{|c|>{\centering\arraybackslash}m{3cm}|>{\centering\arraybackslash}m{3cm}|}\cline{2-3}
			\multicolumn{1}{c|}{}&Actuellement&Dans 18 ans\\\hline
			Père&$4x$&$4x+18$\\\hline
			Fille&$x$&$x+18$\\\hline
		\end{tabular}\qquad D'après l'énoncé, on peut écrire : $4x+18=2(x+18)$\par\smallskip
		On résout cette équation aisément, et on trouve $x=9$. Par conséquent, \textbf{la fille a 9 ans et le père a 36 ans}.
\end{Questions}
\end{document}