ds_espace_sujet_2.tex

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\include{preambule}
\include{espace}
\title{Devoir surveillé 7}
\hypersetup{pdftitle={Devoir surveillé math},pdfsubject={Devoir de maths niveau troisième},pdfkeywords={géométrie dans l'espace,calcul littéral}}
\begin{document}
\titre{Devoir surveillé \no7}
\DoubleLigne{\ladate{3\ieme{} -- Le mercredi 6/2/2008}}
\ladate{\textbf{Calculatrice autorisée}}
\exo{Exercice 1.}
 
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
	On a représenté ci-contre, une pyramide BEFG.\bigskip
 
	On sait que :
	\begin{Puces}
		\item EFG, EFB et BFG sont trois triangles rectangles en F;
		\item $EF=6\text{ cm}\quad;\quad FG=3\text{ cm}$;
		\item $BF=5\text{ cm}$.
	\end{Puces}
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
	\centering
	\begin{pspicture}(-3.5,-0.7)(1.5,2.9)
		\pspolygon(0,0)(-3,0)(0,2.5)(1,1)
		\psline(0,0)(0,2.5)
		\rput[tr](-3,-0.1){E}
		\rput[tl](0,-0.1){F}
		\rput[l](1,1.1){G}
		\rput[b](0,2.6){B}
		\psline[linestyle=dashed](-3,0)(1,1)
		\psline(-1.2,1.5)(0,1.5)(0.4,1.9)\psline[linestyle=dashed](-1.2,1.5)(0.4,1.9)
		\rput[tl](0.1,1.5){M}
		\rput[br](-1.3,1.5){L}
		\rput[l](0.5,2){N}
	\end{pspicture}
\end{minipage}
 
\begin{Questions}
	\item
	\begin{SousQuestions}
		\item Calculer la longueur EG. On donnera la valeur exacte sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus petit possible.
		\item Calculer la valeur approchée au degré le plus proche de l'angle \Angle{GEF}.
		\item Calculer l'aire du triangle EFG.
		\item Prouver que le volume de la pyramide BEFG est de $15\text{ cm}^3$.
	\end{SousQuestions}
	\item M est le point de l'arête [BF] tel que $BM=2\text{ cm}$.\\
	On coupe la pyramide BEFG par le plan passant par M et parallèle à la base BEFG. On obtient la pyramide BLMN, réduction de la pyramide BEFG.
	\begin{SousQuestions}
		\item Quel est le rapport de réduction ?
		\item En déduire le volume de la pyramide BLMN. On donnera la valeur exacte en $\text{cm}^3$.
	\end{SousQuestions}
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 2.}
 
Un culbuto\footnote{Jouet lesté dans sa partie basse qui se remet en position verticale en oscillant lorsqu'on l'écarte de cette position.} est constitué d'une demi-boule surmontée d'un cône (voir figure).
 
\begin{minipage}{0.7\linewidth}
	\begin{Questions}
		\item Calculer la valeur exacte du volume de ce culbuto, en $\text{cm}^3$. Montrer que la valeur approchée à l'unité la plus proche de ce volume est de $113\text{ cm}^3$.
		\item Un autre modèle, de taille plus grande, est un agrandissement du modèle ci-contre d'un coefficient de 2,5. Calculer le volume du grand modèle : donner la valeur en litres, arrondie au centième.
	\end{Questions}
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
	\centering
	\begin{pspicture}(-1.8,-1.5)(1,2)
		\TraceCone{1}{0.2}{2}
		\psarc(0,0){1}{180}{360}
		\Cotation[linestyle=none][linewidth=0.5pt](-1,0)(1,0){-1.5}{6 cm}
		\Cotation[linestyle=none][linewidth=0.5pt](0,0)(0,2){1.5}{6 cm}
	\end{pspicture}
\end{minipage}
 
\exo{Exercice 3.}
 
On donne l'expression littérale $D=(3x+1)^2-(x-2)^2$
 
\begin{Questions}
	\item Développer et réduire D.
	\item Factoriser D.
	\item Calculer D lorsque $x=\sqrt{3}$. Donner le résultat sous la forme $a+b\sqrt{3}$ où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs.
	\item Résoudre l'équation $(2x+3)(4x-1)=0$
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 4.}\medskip
 
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
 
	ABCDEFGH est un cube de 5 cm d'arête.
	\bigskip
 
	\begin{Questions}
		\item Calculer BD.
		\item Montrer que $\tan\Angle{DHB}=\sqrt{2}$. En déduire l'angle \Angle{DHB}, arrondi au dixième de degré le plus proche.
		\item Dessiner le triangle DBH en vraie grandeur.
		\item Déduire de la question 2 la longueur BH, arrondie au millimètre.
	\end{Questions}
\end{minipage}%
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
	\centering
	\psset{unit=0.8cm}
	\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5.5,4.5)
		\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
		\psline(3,0)(5,1)
		\psline(5,1)(5,4)
		\psline(5,4)(3,3)
		\psline(3,0)(3,3)
		\psline(0,3)(2,4)
		\psline(2,4)(5,4)
		\psline(5,4)(3,3)
		\psline(0,3)(3,3)
		\psline[linestyle=dashed](2,1)(5,1)
		\psline[linestyle=dashed](2,4)(2,1)
		\psline[linestyle=dashed](0,0)(2,1)
		\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](3,0)(2,1)(2,4)
		\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](3,0)(2,4)
		\rput[tr](-0.1,0){A}
		\rput[tl](3.1,0){B}
		\rput[l](5.1,1){C}
		\rput[br](1.9,1){D}
		\rput[br](-0.1,3){E}
		\rput[b](3,3.1){F}
		\rput[bl](5.1,4){G}
		\rput[b](2,4.1){H}
	\end{pspicture*}
\end{minipage}
 
\pagebreak
\DoubleLigne{\titre{Correction du devoir surveillé \no7}}
 
\exo{Exercice 1.}
 
\begin{Questions}
	\item
	\begin{SousQuestions}
		\item Dans le triangle EFG, rectangle en F, d'après le théorème de Pythagore :\par
		$EG^2=EF^2+FG^2\qquad EG^2=6^2+3^2\qquad EG^2=45\qquad EG=\sqrt{45}=\sqrt{9}\times\sqrt{5}=\gras{3\sqrt{5}\text{ cm}}$
		\item Dans le triangle EFG, rectangle en F : $\tan\Angle{GEF}=\dfrac{FG}{EF}\qquad\tan\Angle{GEF}=\dfrac{3}{6}\qquad\Angle{GEF}\approx\gras{27\degres}$
		\item $A_\text{EFG}=\dfrac{EF\times FG}{2}=\dfrac{6\times3}{2}=\gras{9\text{ cm}^3}$
		\item $V_\text{BEFG}=\dfrac{A_\text{EFG}A\times BF}{3}=\dfrac{9\times5}{3}=\gras{15\text{ cm}^3}$
	\end{SousQuestions}
	\item
	\begin{SousQuestions}
		\item Le rapport de réduction vaut : $k=\dfrac{BM}{BF}=\gras{\dfrac{2}{5}}$
		\item Par conséquent : $V_\text{BLMN}=V_\text{BEFG}\times k^3=15\times\left( \dfrac{2}{5} \right)^{\!\!3}=\gras{\dfrac{24}{25}\text{ cm}^3=0{,}96\text{ cm}^3}$
	\end{SousQuestions}
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 2.}
 
\begin{Questions}
	\item $V_\text{culbuto}=V_\text{cône}+V_\text{demi-boule}=\dfrac{\pi\times3^2\times6}{3}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{3}\ \pi\times3^3=\gras{36\pi\text{ cm}^3\approx113\text{ cm}^3}$
	\item le volume de l'agrandissement vaut : $V'=36\pi\times2{,}5^3\approx1767\text{ cm}^3\approx\gras{1{,}77\text{ L}}$
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 3.}
 
\begin{Questions}
	\item $D=9x^2+6x+1-(x^2-4x+4)=9x^2+6x+1-x^2+4x-4=\gras{8x^2+10x-3}$
	\item $D=[(3x+1)+(x-2)][(3x-1)-(x-2)]=(3x+1+x-2)(3x+1-x+2)=\gras{(4x-1)(2x+3)}$
	\item $D=8(\sqrt{3})^2+10\sqrt{3}-3=24+10\sqrt{3}-3=\gras{21+10\sqrt{3}}$
	\item $2x+3=0\quad\text{ou}\quad4x-1=0\hfill2x=-3\quad\text{ou}\quad4x=1\hfill x=-\dfrac{3}{2}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{1}{4}$\\
	$\gras{\text{Les solutions sont }-\dfrac{3}{2}\text{ et }\dfrac{1}{4}}$
\end{Questions}
 
\exo{Exercice 4.}
 
\begin{Questions}
	\item Dans le triangle ABD, rectangle en A, d'après le théorème de Pyhthagore:\par
	$BD^2=AD^2+AB^2\qquad BD^2=5^2+5^2\qquad BD^2=50 \qquad BD=\sqrt{50}=\sqrt{25}\sqrt{2}=\gras{5\sqrt{2}\text{ cm}}$
	\item Dans le triangle BDH, rectangle en D : $\tan\Angle{DHB}=\dfrac{DB}{DH}\qquad\tan\Angle{DHB}=\dfrac{\cancel{5}\sqrt{2}}{\cancel{5}}\qquad\gras{\tan\Angle{DHB}=\sqrt{2}}$\\
	Donc, l'angle $\gras{\Angle{DHB}\approx54{,}7\degres}$
	\item Voir ci-dessous.
	\begin{center}
		\begin{pspicture}(0,0)(7.5,5)
			\pspolygon(0,0)(7.071,0)(0,5)
			\psline[linewidth=0.7pt](0,0.25)(0.25,0.25)(0.25,0)
			\rput[tr](0,-0.1){D}
			\rput[tl](7.071,-0.1){B}
			\rput[b](0,5.1){H}
		\end{pspicture}
	\end{center}
	\item Dans le triangle DBH, rectangle en D : $\cos\Angle{DHB}=\dfrac{HD}{HB}\qquad\cos54{,}7\degres=\dfrac{5}{HB}\qquad HB=\dfrac{5}{\cos54{,}7\degres}\approx\gras{8,7\text{ cm}}$
\end{Questions}
\end{document}