\documentclass[a4paper,10pt,draft]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{geometry} \geometry{margin=1.5cm, noheadfoot} \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,textcomp} \usepackage{array} \usepackage{hhline} \usepackage{pst-all} \usepackage{wrapfig}% insère une figure flottante \usepackage{cancel}% pour barrer des termes dans les formules %\usepackage{xlop}% pour faire des calculs dans latex et poser des opérations comme à la main \usepackage{enumitem} \usepackage{lmodern} \usepackage{multicol}% pour aller au delà de 2 colonnes \rmfamily% importantion des petites capitales grasses \DeclareFontShape{T1}{lmr}{b}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{} \DeclareFontShape{T1}{lmr}{bx}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{} %pas de pied de page \pagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \parindent=0cm% pas d'identation % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Mes commandes %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % On sauvegarde les enumerate normaux un peu modifiés \newcommand*{\setenumeratedefaut}{ \setenumerate{itemsep=2ptplus2ptminus2pt,topsep=\the\itemsep,partopsep=0cm,parsep=0pt}} \setenumeratedefaut \let\oldenumerate=\enumerate \let\oldendenumerate=\endenumerate % %%%%% Numérotation des questions %%%%%%%%%% \newenvironment{Questions}{% \setenumerate{% itemsep=4ptplus3ptminus3pt,% séparation entre items topsep=4ptplus5ptminus2pt,%séparation entre l'environnement et le texte au dessus partopsep=0cm,% parsep=0pt,% leftmargin=*,% align=left,% alignement des numéros à gauche labelindent=0pt,% indentation du numéro widest=8),% largeur du numéro labelsep=0.5em,% séparation entre le numéro et le texte itemindent=0em% indentation du texte \setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*)}}% numéro du type 1) en gras \setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*)}}% lettre de type a. en gras }\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut} % %%%%%% Numérotation des sous questions %%%%%%%% \newenvironment{SousQuestions}{% \setenumerate{ itemsep=0cm,% espacement vertical serré topsep=0cm,% pas de séparation avec le haut partopsep=0cm,% parsep=0pt,% leftmargin=*,% align=left,% alignement des lettres à gauche widest=b.,%largeur maxi du numéro labelsep=0.2em,% séparation entre le numéro et le texte itemindent=0em% indentation du texte }\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut} % % Puces \newcommand\Puces{\renewcommand\labelitemi{\hspace{0.8cm}{\textbullet}}} % % Affiche le "Nom prénom et classe" \newcommand\NomPrenom{\textbf{\textit{Nom :\hfill Prénom :\hfill Classe :}}\hspace*{2cm}} % % Affiche le titre de la page en gros, petites capitales et centré \newcommand{\titre}[1]{{\centering\bfseries\scshape\Large#1\par}} % % Affiche la date en italique centré \newcommand{\ladate}[1]{\vspace{0.1cm}{\centering\itshape#1\par}\vspace{0.1cm}} % % Affiche le texte en gras, petite capitale, avec une puce carrée au début \newcommand{\exo}[1]{\vspace{0.35cm plus 0.15cm minus 0.15cm}\rule{1ex}{1ex}\hspace{1ex}\textsc{\textbf{#1}}\vspace{0.1cm plus 0.1cm minus 0.02cm}} % % Affiche 2 lignes d'épaisseur et d'écartement paramétrables \newcommand{\ligne}[5]{%#1:espace avant #2:épaisseur 1ère ligne #3:séparation entre les 2 lignes #4:épaisseur 2ème ligne #5:espace après \vspace*{#1}\vspace*{-\baselineskip}% remonte d'une ligne \rule{\textwidth}{#2}\par% épaisseur 1ère ligne \vspace*{-\baselineskip}\vspace*{#3}% on remonte d'une ligne + on descend de la séparation \rule{\textwidth}{#4}\par% épaisseur 2ème ligne \vspace*{-#3}\vspace*{#5}% on remonte de la séparation et on met l'espace final } % % Affiche le texte puis une double ligne (1 épaisse et 1 fine) \newcommand{\DoubleLigne}[1]{#1\par\ligne{6ptplus2ptminus2pt}{1.5pt}{2pt}{0.3pt}{0.5pt}} % % Affiche le texte puis une ligne fine \newcommand{\SimpleLigne}[1]{#1\par\ligne{4ptplus2ptminus2pt}{0.3pt}{0pt}{0pt}{0pt}} % % Met en gras dans les formules math \newcommand\gras[1]{\text{\bfseries\mathversion{bold}$#1$}} \author{BriCàMatH} \title{Devoir Maison n°3} \date{9/11/2007} \begin{document} \titre{Devoir maison \no3} \DoubleLigne{\ladate{Pour le vendredi 16/11/2007}} \exo{Exercice 1.} \begin{Questions} \item Écrire ces nombres sous la forme $m\sqrt{n}$ où $m$ est un entier relatif, et $n$ est un entier le plus petit possible : \begin{flalign*} a &=5\sqrt{12}-6\sqrt{27}+3\sqrt{48} & b &=2\sqrt{2}\times\sqrt{10}\times 3\sqrt{15} & c &=\sqrt{98}-\sqrt{200}+\sqrt{50} \\ d &=\dfrac{3\sqrt{14}\times \sqrt{28}\times\sqrt{15}}{\sqrt{6}\times \sqrt{21}\times 2\sqrt{7}} & e &=-\sqrt{80}+4\sqrt{125}-7\sqrt{45} & f &=3\sqrt{24}\div \sqrt{18}\times \sqrt{15}\div \sqrt{10} \end{flalign*} \item Développer et réduire, puis donner le résultat sous la forme la plus simple : \begin{flalign*} h &=\left(2\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(2+\sqrt{3}\right)^{2} & i &=\left(8\sqrt{7}+21\right)\left(8-3\sqrt{7}\right) & j &=\sqrt{3}\left(1+2\sqrt{2}\right)-2\sqrt{6}\left(1-\sqrt{2}\right) \end{flalign*} \end{Questions} \exo{Exercice 2.} Montrer par le calcul et en détaillant les étapes que ces nombres sont égaux : \begin{flalign*} a &=3\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{128} & b &=\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}+1\right) & c &=\left(2\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{3}+2\right) & d &=\dfrac{\sqrt{54}-\sqrt{24}}{\sqrt{48}-3\sqrt{12}+\sqrt{27}} \end{flalign*} \exo{Problème.} \begin{wrapfigure}{r}[0.5cm]{6cm} \begin{flushright} %figure à droite \psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,runit=0.8cm} \begin{pspicture}(-0.4,-3.2)(6.4,3.2) %donc largeur=6.8 \pscircle(3,0){3} \psline[linewidth=1.2pt](0,0)(6,0) %segment [AB] \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2.5,2.96)(2.5,0) %segment [AH] \psline[linewidth=0.5pt](2.5,0.25)(2.75,0.25)(2.75,0) %codage angle droit \rput[bl](-0.4,0){$A$} \rput[bl](6.1,0){$B$} \psdots[dotsize=3pt 0](3,0) \rput[bl](2.9,-0.5){$O$} %point O \rput[bl](2.3,-0.5){$H$} \rput[bl](2.3,3.1){$C$} \end{pspicture} \end{flushright} \end{wrapfigure} Dans ce problème, on donnera les résultats sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus petit possible.\medskip La figure ci-contre n'est pas à l'échelle, et ne sert qu'à indiquer la disposition des points de ce problème :\smallskip \Puces \begin{itemize} \item $[AB]$ est un segment tel que $AB=14$ cm. \item $H$ est le point de $[AB]$ tel que $AH=6$ cm. \item La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $H$ coupe le cercle de diamètre $[AB]$ en $C$. \item On appelle $O$ le centre du cercle. \end{itemize} \medskip \begin{Questions} \item Tracer la figure en vraie grandeur, et la compléter par la suite. \item Démontrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle. \item Calculer la valeur exacte de la longueur $CH$. \item Calculer la valeur exacte de la longueur $AC$. \item En déduire finalement par le calcul que $BC=4\sqrt{7}$ cm. \item On s'intéresse au triangle $COB$, et on appelle $H_{1}$ le pied de la hauteur issue de $O$. \begin{SousQuestions} \item Calculer l'aire du triangle $COB$. Donner le résultat sous la forme $e\sqrt{3}$ où $e$ est un entier. \item Calculer la valeur exacte de la longueur $OH_{1}$. \end{SousQuestions} \end{Questions} \exo{Énigmes de novembre.} \begin{Questions} \item Maxime est content, il a compris sa leçon sur les aires.\newline Sur son cahier, il sait que s'il trace un rectangle de 3 carreaux de long sur 2 carreaux de large, l'aire de son rectangle mesure 6 \og carreaux unités\fg, ça veut dire que son rectangle contient 6 carreaux de son cahier. Mais son professeur (ce vieux sournois) lui demande de construire un carré dont l'aire mesure 5 carreaux unités! Pouvez-vous l'aider et lui indiquer une construction? \item Je suis sur la surface du globe terrestre et je m'y déplace : je fais \nombre{1000}~km vers le sud, puis \nombre{1000}~km vers l'est, puis \nombre{1000}~km vers le nord. Je me retrouve à mon point de départ. À part au pôle nord qui est une solution évidente, où se trouve donc mon point de départ? \item Trouverez-vous une figure ou un objet quelconque ayant à la fois un centre de symétrie, et un nombre impair d'axe(s) de symétrie? \item Dans une classe de troisième, 5/8 des filles et 2/3 des garçons aiment les maths. Nicolas et Marie sont les seuls redoublants. 68\% exactement des élèves ont les cheveux châtain, et 3 élèves viennent au collège en vélo. Combien y a t-il d'élèves dans cette classe? \end{Questions} \pagebreak %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% Correction %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \titre{Correction du devoir maison \no3} \DoubleLigne \exo{Exercice 1} \begin{Questions} \item \setlength{\columnsep}{15pt} \setlength{\columnseprule}{0.2pt} %ligne de séparation \begin{multicols}{3} $ a=5\sqrt{12}-6\sqrt{27}+3\sqrt{48}\\ a=5\sqrt{4}\sqrt{3}-6\sqrt{9}\sqrt{3}+3\sqrt{16}\sqrt{3}\\ a=10\sqrt{3}-18\sqrt{3}+12\sqrt{3}\\ \gras{a=4\sqrt{3}} $\medskip $ b=2\sqrt{2}\times\sqrt{10}\times3\sqrt{15}\\ b=2\sqrt{2}\times\sqrt{2}\sqrt{5}\times3\sqrt{3}\sqrt{5}\\b=2\times3\times\left(\sqrt{2}\right)^{2}\times\left(\sqrt{5}\right)^{2}\times \sqrt{3}\\ b=2\times 3\times 2\times5\sqrt{3}\\ \gras{{b=60\sqrt{3}}} $\medskip $ c=\sqrt{98}-\sqrt{200}+\sqrt{50}\\ c=\sqrt{49}\sqrt{2}-\sqrt{100}\sqrt{2}+\sqrt{25}\sqrt{2}\\ c=7\sqrt{2}-10\sqrt{2}+5\sqrt{2}\\ \gras{{c=2\sqrt{2}}} $ \columnbreak $ d=\dfrac{3\sqrt{14}\times \sqrt{28}\times\sqrt{15}}{\sqrt{6}\times \sqrt{21}\times2\sqrt{7}}\\ d=\dfrac{3\sqrt{2}\sqrt{7}\times\sqrt{4}\sqrt{7}\times\sqrt{3}\sqrt{5}}{\sqrt{2}\sqrt{3}\times\sqrt{3}\sqrt{7}\times2\sqrt{7}}\\ d=\dfrac{3\times\left(\sqrt{7}\right)^{2}\times 2\sqrt{2}\times\sqrt{3}\sqrt{5}}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}\times\left(\sqrt{7}\right)^{2}\times2\sqrt{2}}\\ d=\dfrac{\cancel{3}\times \cancel{7}\times \cancel{2}\times \cancel{\sqrt{2}}\times\sqrt{3}\times\sqrt{5}}{\cancel{3}\times \cancel{7}\times\cancel{2}\times\cancel{\sqrt{2}}}\\ \gras{{d=\sqrt{15}}} $ \columnbreak $ e=-\sqrt{80}+4\sqrt{125}-7\sqrt{45}\\ e=-\sqrt{16}\sqrt{5}+4\sqrt{25}\sqrt{5}-7\sqrt{9}\sqrt{5}\\ e=-4\sqrt{5}+20\sqrt{5}-21\sqrt{5}\\ \gras{{e=-5\sqrt{5}}} $\medskip $ f=3\sqrt{24}\div \sqrt{18}\times \sqrt{15}\div\sqrt{10}\\ f=3\sqrt{\dfrac{24}{18}}\times\sqrt{\dfrac{15}{10}}\\ f=3\sqrt{\dfrac{\cancel{6}\times4}{\cancel{6}\times3}\times{\dfrac{\cancel{5}\times3}{\cancel{5}\times2}}}\\ f=3\sqrt{\dfrac{4}{{3}}\times{\dfrac{3}{2}}}\\ f=3\sqrt{\dfrac{\cancel{2}\times2}{\cancel{3}}\times\dfrac{\cancel{3}}{\cancel{2}}}\\ \gras{{f=3\sqrt{2}}}$ \end{multicols} \item \begin{multicols}{3} $ h=\left(2\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}\\ h=4(\sqrt{3})^2+4\sqrt{3}+1-(4+4\sqrt{3}\\ \phantom{h=4(\sqrt{3})^2+4\sqrt{3}+1}+\sqrt{3})^2)\\ h=12+\cancel{4\sqrt{3}}+1-4-\cancel{4\sqrt{3}}-3\\ \gras{h=6} $ \columnbreak $ i=\left(8\sqrt{7}+21\right)\left(8-3\sqrt{7}\right)\\ i=64\sqrt{7}-24(\sqrt{7})^2+168-63\sqrt{7}\\ i=64\sqrt{7}- \cancel{168}+\cancel{168}-63\sqrt{7}\\ \gras{i=\sqrt{7}} $ \columnbreak $ j=\sqrt{3}\left(1+2\sqrt{2}\right)-2\sqrt{6}\left(1-\sqrt{2}\right)\\ j=\sqrt{3}+2\sqrt{6}-2\sqrt{6}+2\sqrt{12}\\ j=\sqrt{3}+\cancel{2\sqrt{6}}-\cancel{2\sqrt{6}}+2\sqrt{4}\sqrt{3}\\ j=\gras{5\sqrt{3}} $ \end{multicols} \end{Questions} \exo{Exercice 2} \setlength{\columnseprule}{0pt} %pas de ligne de séparation \begin{multicols}{2} $ a=3\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{128}\\ a=3\sqrt{4}\sqrt{2}+\sqrt{9}\sqrt{2}-\sqrt{64}\sqrt{2}\\ a=6\sqrt{2}+3\sqrt{2}-8\sqrt{2}\\ \gras{{a=\sqrt{2}}} $\medskip $ b=\left(2-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}+1\right)\\ b=2\sqrt{2}+2-\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\sqrt{2}\\ b=2\sqrt{2}+\cancel{2}-\cancel{2}-\sqrt{2}\\ \gras{{b=\sqrt{2}}} $\medskip $ c=\left(2\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{3}+2\right)\\ c=\cancel{2\sqrt{6}}+4\sqrt{2}-\sqrt{18}-\cancel{2\sqrt{6}}\\ c=4\sqrt{2}-\sqrt{9}\sqrt{2}\\ c=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}\\ \gras{{c=\sqrt{2}}} $ \columnbreak $ d=\dfrac{\sqrt{54}-\sqrt{24}}{\sqrt{48}-3\sqrt{12}+\sqrt{27}}\\ d=\dfrac{\sqrt{9}\sqrt{6}-\sqrt{4}\sqrt{6}}{\sqrt{16}\sqrt{3}-3\sqrt{4}\sqrt{3}+\sqrt{9}\sqrt{3}}\\ d=\dfrac{3\sqrt{6}-2\sqrt{6}}{4\sqrt{3}-6\sqrt{3}+3\sqrt{3}}\\d=\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}\\ d=\dfrac{\sqrt{2}\times \cancel{\sqrt{3}}}{\cancel{\sqrt{3}}}\\ \gras{{d=\sqrt{2}}} $ \medskip Tous ces nombres sont égaux à $\sqrt2$ : on obtient bien $\gras{a=b=c=d}$. \end{multicols} \exo{Problème} \begin{Questions} \item Voir figure ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm,runit=1cm} \begin{pspicture}(-0.4,-3.2)(6.4,3.5) %donc largeur=6.8 et hauteur=6.7 \pscircle(3,0){3} \psline[linewidth=1.2pt](0,0)(6,0) %segment [AB] \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2.5,2.96)(2.5,0) %segment [AH] \psline[linewidth=0.5pt](2.5,0.25)(2.75,0.25)(2.75,0) %codage angle droit \psline[linewidth=0.4pt](4.11,1.32)(4.28,1.18)(4.41,1.34) %codage angle droit \rput[bl](-0.4,0){$A$} \rput[bl](6.1,0){$B$} \psdots[dotsize=3pt 0](3,0) \rput[bl](2.9,-0.4){$O$} \rput[bl](2.3,-0.4){$H$} \rput[bl](2.3,3.1){$C$} \psline(0,0)(2.5,2.96) \psline(6,0)(2.5,2.96) \psline(2.5,2.96)(3,0) \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3,0)(4.25,1.48) \psdots[dotsize=3pt 0](4.25,1.48) \rput[bl](4.34,1.6){$H_1$} \end{pspicture} \end{center} \item Le point $C$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ donc le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. \end{Questions} \setlength{\columnseprule}{0.2pt} %ligne de séparation \begin{multicols}{3} \begin{Questions}[resume] %on reprend la numérotation, pas de retrait \item Dans le triangle $OCH$, rectangle en $H$, d'après le théorème de Pythagore : \begin{align*} OC^{2}&=OH^{2}+CH^{2}\\ 7^{2}&=1^{2}+CH^{2}\\ CH^{2}&=49-1=48\\ CH&=\sqrt{48}=\sqrt{16}\sqrt{3}\\ CH&=\gras{4\sqrt{3}\text{ cm}} \end{align*} \item Dans le triangle $ACH$, rectangle en $H$, d'après le théorème de Pythagore : \begin{align*} AC^{2}&=AH^{2}+CH^{2}\\ AC^{2}&=6^{2}+48\\ AC^{2}&=84\\ AC&=\sqrt{84}=\sqrt{4}\sqrt{21}\\ AC&=\gras{2\sqrt{21}\text{ cm}} \end{align*} \item Dans le triangle $ABC$, rectangle en $C$, d'après le théorème de Pythagore : \begin{align*} AB^{2}&=AC^{2}+BC^{2}\\ 14^{2}&=84+BC^{2}\\ BC^{2}&=14^{2}-84=112\\ BC&=\sqrt{112}=\sqrt{16}\sqrt{7}\\ BC&=\gras{4\sqrt{7}\text{ cm}} \end{align*} \end{Questions} \end{multicols} \begin{Questions}[resume] %on continue la numérotation \item \begin{SousQuestions} \item $\text{Aire}_{COB}=\dfrac{OB\times CH}{2}=\dfrac{7\times 4\sqrt{3}}{2}=\dfrac{28\sqrt{3}}{2}=\gras{14\sqrt{3}\text{ cm}^{2}}$ \item Mais aussi : $\text{Aire}_{COB}=\dfrac{BC\times OH_{1}}{2}=\dfrac{4\sqrt{7}\times OH_{1}}{2}=2\sqrt{7}\times {OH}_{1}$\newline On a donc l'égalité : $2\sqrt{7}\times OH_{1}=14\sqrt{3}$. On en tire que $OH_{1}=\dfrac{14\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\dfrac{\cancel{2}\times7\sqrt{3}}{\cancel{2}\sqrt{7}}\times\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\cancel{7}\sqrt{21}}{\cancel{(\sqrt{7})^2}}=\gras{\sqrt{21}\text{ cm}}$. \end{SousQuestions} \end{Questions} \exo{Énigmes de novembre} \begin{Questions} \item \parbox[t]{0.6\linewidth}{ Maxime doit construire un carré de coté $\sqrt{5}$ carreaux, comme ça l'aire sera bien de $(\sqrt{5})^2=5$ \og carreaux unité\fg. Il lui faut donc auparavant un segment de longueur $\sqrt{5}$ carreau : il suffit de dessiner un triangle rectangle dont les côtés perpendiculaires mesurent 1 carreau et 2 carreaux. Avec le théorème de Pythagore, on calcule que l'hypoténuse de ce rectangle mesure $\sqrt{5}$ carreau. Il ne reste plus à Maxime qu'à compléter le carré en partant du segment de longueur $\sqrt{5}$ : ça, c'est facile! } \parbox[t]{0.3\linewidth}{ \begin{flushright} \begin{pspicture}(-0.52,-2.28)(3.38,0.44) \psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(0,-2)(3,1) \pspolygon[linewidth=0.8pt](0,0)(0,1)(2,1) \psline(0,0)(0,1)(2,1)(0,0) \rput[tl](1,0.5){$\sqrt{5}$} \psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2,1)(0,0)(1,-2)(3,-1)(2,1) \rput[tl](0.9,1.35){$2$} \rput[tl](-0.3,0.7){$1$} \end{pspicture} \end{flushright} } \end{Questions} \begin{multicols}{2} \begin{Questions}[resume] \item \textbf{Je suis quelque part sur la ligne pointillée} (voir figure), située à \nombre{1000}~km au nord du parallèle qui mesure \nombre{1000}~km de circonférence. On peut aussi se placer à \nombre{1000}~km au nord des parallèles dont la circonférence fait \nombre{500}~km ou \nombre{250}~km ou \nombre{125}~km, etc. \begin{center} \input{globe} \end{center} \columnbreak \item Un \textbf{pavé droit non cubique} a 1 centre de symétrie et 3 axes de symétrie. \begin{center} \psset{xunit=0.7cm,yunit=0.7cm} \begin{pspicture*}(-0.8,-1)(5.7,5) \psline[linewidth=1.2pt](0,3)(1,4)(5,4)(4,3)(0,3)(0,0)(4,0)(4,3) \psline[linewidth=1.2pt](4,0)(5,1)(5,4) \psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](0,0)(1,1)(1,4) \psline[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](1,1)(5,1) \psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](-0.72,2)(0,2) \psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](0,2)(4.5,2) \psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](4.5,2)(5.66,2) \psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](5.48,4.98)(4.5,4) \psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](4.5,4)(2,1.5) \psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2,1.5)(0.21,-0.29) \psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2.5,4.81)(2.5,3.5) \psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2.5,3.5)(2.5,0) \psline[linewidth=1.2pt,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2.5,0)(2.5,-1.02) \psdots[dotsize=4pt 0](2.5,2) \end{pspicture*} \end{center} \end{Questions} \end{multicols} \begin{Questions}[resume] \item Le seul nombre important ici est 68\%. En effet, $68\%=\dfrac{68}{100}=\dfrac{17}{25}$ L'effectif de la classe doit donc être un multiple de 25 pour que 68\% de l'effectif de la classe soit un nombre entier d'élèves. Si l'on prend 25 élèves, on peut ensuite vérifier que c'est valable en prenant 16 garçons et 9 filles: $\frac{5}{8}\times16=10$ (est un entier : garçons qui aiment les maths), et $\frac{2}{3}\times9=6$ (est également un entier : filles qui aiment les maths). \textbf{Il y a donc 25 élèves dans la classe} (car 50, 75, etc. bien que mathématiquement valables sont des effectifs bien trop importants). \end{Questions} \end{document}