\documentclass[a4paper,10pt]{article} \usepackage[utf8]{inputenc}% utf8, sous linux \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[dvips,margin=1.5cm,noheadfoot]{geometry}% dimensions de la page \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,textcomp} \usepackage{array} \usepackage{hhline}% des lignes complexes dans les tableaux \usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-plot}% Figures géométriques dans le code LaTeX \usepackage{wrapfig}% insère une figure flottante \usepackage{cancel}% pour barrer des termes dans les formules %\usepackage{xlop}% pour faire des calculs dans latex et poser des opérations comme à la main \usepackage{enumitem}% des énumérations paramétrables \usepackage{lmodern}% fonte modern \usepackage{multicol}% pour aller au delà de 2 colonnes \usepackage{ifthen}% pour faire des tests 'utile uniquement dans CalculPythagoreDirect' \usepackage{fp}% pour faire des calculs dans LaTeX \rmfamily% importantion des petites capitales grasses \DeclareFontShape{T1}{lmr}{b}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{} \DeclareFontShape{T1}{lmr}{bx}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{} \pagestyle{empty}% pas de pied de page ni d'en tête \usepackage[frenchb]{babel}% francisation \setlength{\parindent}{0cm}% pas d'identation % %################################################################################# %########################### MES COMMANDES ########################### %################################################################################# % %pour avoir des nombres à virgule en affichant des résultats de calculs par FP \def\nombrefr#1{\expandafter{\changecomma{#1}}} % mettre \def\nombrefr#1{\expandafter\nombre{\expandafter\changecomma{#1}}} pour avoir des séparations tous les 3 chiffres \def\changecomma#1{\expandafter\changecommaaux#1.\changecommaaux} \def\changecommaaux#1.#2\changecommaaux{#1\ifx\empty#2\else,\expandafter\changecommapt#2\changecommapt\fi} \def\changecommapt#1.\changecommapt{#1} % On sauvegarde les enumerate normaux un peu modifiés \newcommand*{\setenumeratedefaut}{ \setenumerate{itemsep=2ptplus2ptminus2pt,topsep=\the\itemsep,partopsep=0cm,parsep=0pt}} \setenumeratedefaut \let\oldenumerate=\enumerate \let\oldendenumerate=\endenumerate % %%%%% Numérotation des questions %%%%%%%%%% \newenvironment{Questions}{% \setenumerate{% itemsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre items topsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre l'environnement et le texte au dessus partopsep=0cm,% parsep=0pt,% leftmargin=*,% pas de marge gauche align=left,% alignement des numéros à gauche labelindent=0pt,% indentation du numéro widest=8),% largeur du numéro labelsep=0.5em,% séparation entre le numéro et le texte itemindent=0em% indentation du texte \setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*)}}% numéro du type 1) en gras \setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*)}}% lettre de type a) en gras }\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut} % %%%%%% Numérotation des sous questions %%%%%%%% \newenvironment{SousQuestions}{% \setenumerate{ itemsep=0cm,% espacement vertical serré topsep=0cm,% pas de séparation avec le haut partopsep=0cm,% parsep=0pt,% leftmargin=*,% align=left,% alignement des lettres à gauche widest=b),% largeur maxi du numéro labelsep=0.2em,% séparation entre le numéro et le texte itemindent=0em% indentation du texte }\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut} % % Puces \newcommand\Puces{\renewcommand\labelitemi{\hspace{0.8cm}{\textbullet}}} % % Affiche le "Nom prénom et classe" \newcommand\NomPrenom{\textbf{\textit{Nom :\hfill Prénom :\hfill Classe :}}\hspace*{2cm}} % % Affiche le titre de la page en gros, petites capitales et centré \newcommand{\titre}[1]{{\centering\bfseries\scshape\Large#1\par}} % % Affiche la date en italique centré \newcommand{\ladate}[1]{\vspace{0.1cm}{\centering\itshape#1\par}\vspace{0.1cm}} % % Affiche le texte en gras, petite capitale, avec une puce carrée au début \newcommand{\exo}[1]{\vspace{0.35cm plus 0.15cm minus 0.15cm}\rule{1ex}{1ex}\hspace{1ex}\textsc{\textbf{#1}}\vspace{0.1cm plus 0.1cm minus 0.1cm}} % % Affiche 2 lignes d'épaisseur et d'écartement paramétrables \newcommand{\ligne}[5]{% %#1:espace avant #2:épaisseur 1ère ligne #3:séparation entre les 2 lignes #4:épaisseur 2ème ligne #5:espace après \vspace*{#1}\vspace*{-\baselineskip}% remonte d'une ligne \rule{\linewidth}{#2}\par% épaisseur 1ère ligne \vspace*{-\baselineskip}\vspace*{#3}% on remonte d'une ligne + on descend de la séparation \rule{\linewidth}{#4}\par% épaisseur 2ème ligne \vspace*{-#3}\vspace*{#5}% on remonte de la séparation et on met l'espace final } % % Affiche le texte puis une double ligne (1 épaisse et 1 fine) \newcommand{\DoubleLigne}[1]{#1\par\ligne{6ptplus2ptminus2pt}{1.5pt}{2pt}{0.3pt}{0.5pt}} % % Affiche le texte puis une ligne fine \newcommand{\SimpleLigne}[1]{#1\par\ligne{4ptplus2ptminus2pt}{0.3pt}{0pt}{0pt}{0pt}} % % Met en gras dans les formules math \newcommand\gras[1]{\text{\bfseries\mathversion{bold}$#1$}} % % Forme un angle \newcommand*{\Angle}[1]{\ensuremath{\widehat{\mathit{#1}}}} % % Met des lettres qui se suivent en italique \newcommand*{\Ita}[1]{\ensuremath{\mathit{#1}}} % % Insère une segment \newcommand*{\Seg}[1]{\ensuremath{[\mathit{#1}]}} % % Insère une droite \newcommand*{\Drt}[1]{\ensuremath{(\mathit{#1})}} %############################################################################################## %########################### MACROS POUR LES THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE ########################### %############################################################################################## % % _______________________________________________________________________ %| | %| Met un signe = si \Delta est suffisemment petit, met \approx sinon | %|_______________________________________________________________________| \newcommand*{\SigneEgal}[1]{\FPabs{\Delta}{#1}\FPiflt{\Delta}{0.000000001}=\else\approx\fi} % % ______________________________________________ %| | %| La réciproque du théorème de Thalès | %| (les phrases de conclusion seulement) | %|______________________________________________| \newcommand*{\ThalesReciproquE}[5]{% %les rapports #1#2/#1#3 et #1#4/#1#5 sont égaux --> réciproque de Thalès On obtient l'égalité $\MaFrac{\mathit{#1#2}}{\mathit{#1#3}}=\MaFrac{\mathit{#1#4}}{\mathit{#1#5}}$~, les points $\mathit{#1}$, $\mathit{#2}$, $\mathit{#3}$ et $\mathit{#1}$, $\mathit{#4}$, $\mathit{#5}$ sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, \textbf{les droites $\gras{(\mathit{#2#4})}$ et $\gras{(\mathit{#3#5})}$ sont parallèles}. } \makeatletter\newcommand*{\ThalesReciproque}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesReciproquE}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesReciproquE}}\makeatother % _______________________________________________________________________ %| | %| Le théorème de Thalès (les phrases préliminaires seulement) | %| un cas pour la 4ème et un cas pour la 3ème | %|_______________________________________________________________________| \newcommand*{\ThalesDirectTroiS}[5]{% %#1:centre homothétie #1#2#3:alignés, #1#4#5: alignés et (#2#4)//(#3#5) --> Thalès direct Les droites $(\mathit{#2#3})$ et $(\mathit{#4#5})$ se coupent en $\mathit{#1}$, les droites $(\mathit{#2#4})$ et $(\mathit{#3#5})$ sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\MaFrac{\mathit{#1#2}}{\mathit{#1#3}}=\MaFrac{\mathit{#1#4}}{\mathit{#1#5}}=\MaFrac{\mathit{#2#4}}{\mathit{#3#5}}$% } \makeatletter\newcommand*{\ThalesDirectTrois}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesDirectTroiS}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesDirectTroiS}}\makeatother \newcommand*{\ThalesDirectQuatrE}[5]{% %#1:centre homothétie #2 app [#1#3], #4 app [#1#5] et (#2#4)//(#3#5) --> Thalès direct Dans le triangle $\mathit{#1#3#5}$, le point $\mathit{#2}$ appartient à $\mathit{[#1#3]}$ et le point $\mathit{#4}$ appartient à $\mathit{[#1#5]}$, les droites $(\mathit{#2#4})$ et $(\mathit{#3#5})$ sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\MaFrac{\mathit{#1#2}}{\mathit{#1#3}}=\MaFrac{\mathit{#1#4}}{\mathit{#1#5}}=\MaFrac{\mathit{#2#4}}{\mathit{#3#5}}$% } \makeatletter\newcommand*{\ThalesDirectQuatre}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesDirectQuatrE}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesDirectQuatrE}}\makeatother % _________________________________________________________________________________ %| | %| Le calcul d'un produit en croix, avec choix de la précision pour le résultat | %|_________________________________________________________________________________| % #1 optionnel = nombre de chiffres arès la virgule pour le résultat (par défaut = 9) % % #3 x #4 % #2 = --------- = ResultatArrondi % #5 \newcommand*{\CalculProduitCroiX}[5][9]{% \FPeval{Resultat}{({#3}*{#4})/{#5}}% \FPclip{\Resultat}{\Resultat}% \FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}% on arrondi à [#1] chiffres après la virgule \FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi}% \FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi}% pour supprimer des zéros dans l'arrondi : 2.50 devient 2.5 $\mathit{#2}=\MaFrac{\nombrefr{#3}\times\nombrefr{#4}}{\nombrefr{#5}}\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}}$ } \makeatletter\newcommand*{\CalculProduitCroix}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\CalculProduitCroiX}{\def\MaFrac{\frac}\CalculProduitCroiX}}\makeatother % _________________________________________________________ %| | %| Le théorème de Thalès (les calculs seulement) | %|_________________________________________________________| % #1 optionnel = nombre de chiffres arès la virgule pour le résultat (par défaut = 2) % % [1] [3] % #2 = de 1 à 4 : position de la longueur à calculer dans ----- = ----- % [2] [4] %% #7 = unité [cm par exemple] \newcommand*{\CalculThalesDirecT}[7][2]{% \def\OPa{\nombrefr}\def\OPb{\nombrefr}\def\OPc{\nombrefr}\def\OPd{\nombrefr} \FPifeq{#2}{1}\def\OPa{\mathit}\def\Cherche{#3}\def\NUMa{#4}\def\NUMb{#5}\def\DEN{#6}\fi% \FPifeq{#2}{2}\def\OPb{\mathit}\def\Cherche{#4}\def\NUMa{#3}\def\NUMb{#6}\def\DEN{#5}\fi% \FPifeq{#2}{3}\def\OPc{\mathit}\def\Cherche{#5}\def\NUMa{#3}\def\NUMb{#6}\def\DEN{#4}\fi% \FPifeq{#2}{4}\def\OPd{\mathit}\def\Cherche{#6}\def\NUMa{#4}\def\NUMb{#5}\def\DEN{#3}\fi De l'égalité\hspace{1ex}$\MaFrac{\OPa{#3}}{\OPb{#4}}=\MaFrac{\OPc{#5}}{\OPd{#6}}$\hspace{1ex}on tire que\hspace{1ex}\CalculProduitCroiX[#1]{\Cherche}{\NUMa}{\NUMb}{\DEN}\textbf{#7}%on rajoute l'unité } \makeatletter\newcommand*{\CalculThalesDirect}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\CalculThalesDirecT}{\def\MaFrac{\frac}\CalculThalesDirecT}}\makeatother % ______________________________________________________ %| | %| Macros utilisée dans les macros ci dessous | %| renvoie l'argument n°#1 | %|______________________________________________________| \newcommand*{\RectangleEn}[4]{% \ifthenelse{#1=1} {#2}% #1=2, renvoie #2 {\ifthenelse{#1=2} {#3}% #1=3, renvoie #3 {\ifthenelse{#1=3} {#4}% #1=4, renvoie #4 {??}% #1 est autre chose, renvoie ?? } } } % ___________________________________________________ %| | %| La réciproque du théorème de Pythagore | %| la conclusion sans calculs préliminaires | %|___________________________________________________| \newcommand*{\PythagoreReciproque}[4][2]{% % [#1] optionnel : position de la lettre où se situe l'angle droit (par défaut 2, c'est-à-dire la lettre du milieu) On obtient l'égalité % \ifthenelse{#1=1}{$\mathit{#3#4}^2=\mathit{#2#3}^2+\mathit{#2#4}^2$}{\null}% \ifthenelse{#1=2}{$\mathit{#2#4}^2=\mathit{#3#2}^2+\mathit{#3#4}^2$}{\null}% \ifthenelse{#1=2}{$\mathit{#2#3}^2=\mathit{#4#2}^2+\mathit{#4#3}^2$}{\null}% , donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \textbf{le triangle $\gras{\mathit{#2#3#4}}$ est rectangle en }$\gras{\mathit{\RectangleEn{#1}{#2}{#3}{#4}}}$.% } % __________________________________________________________________________ %| | %| Le théorème de Pythagore (les phrases préliminaires seulement) | %| * pour ne pas écrire l'égalité de Pythagore | %|__________________________________________________________________________| \newcommand*{\PythagoreDirecT}[4][2]{% % [#1] optionnel : position de la lettre où se situe l'angle droit (par défaut 2, c'est-à-dire la lettre du milieu) Le triangle $\mathit{#2#3#4}$ est rectangle en $\mathit{\RectangleEn{#1}{#2}{#3}{#4}}$, donc d'après le théorème de Pythagore% \ifthenelse{\AvecEq=1} {\ifthenelse{#1=1} { : $\mathit{#3#4}^2=\mathit{#2#3}^2+\mathit{#2#4}^2$} {\ifthenelse{#1=2} { : $\mathit{#2#4}^2=\mathit{#3#2}^2+\mathit{#3#4}^2$} {\ifthenelse{#1=3} { : $\mathit{#2#3}^2=\mathit{#4#2}^2+\mathit{#4#3}^2$} { : ??} } } } { } } \makeatletter\newcommand*{\PythagoreDirect}{\@ifstar{\def\AvecEq{0}\PythagoreDirecT}{\def\AvecEq{1}\PythagoreDirecT}}\makeatother % ___________________________________________________________ %| | %| Le théorème de Pythagore complet (avec calculs) | %|___________________________________________________________| \newcommand*{\CalculPythagoreDirect}[9][2]{ % #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2) % #2 : position de la lettre où est l'angle droit (1 ; 3 ou 5) % A4B5C6 : ABC : sommets % 456 : longueurs dont celle que l'on cherche est vide ou vaut un . % #9 : unité Dans le triangle $\mathit{#3#5#7}$ rectangle en $\mathit{\RectangleEn{#2}{#3}{#5}{#7}}$, d'après le théorème de Pythagore :\smallskip \ifthenelse{\equal{#2}{1}}% alors A est l'angle droit {\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (hypo) {\CalculHypo[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}% le côté cherché est AC (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}} {Aucun argument n'est vide ou ne vaut \flqq.\frqq} } } } {\ifthenelse{\equal{#2}{3}}% alors B est l'angle droit {\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}% le côté cherché est AC (hypo) {\CalculHypo[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}} {Aucun argument n'est vide ou ne vaut \flqq.\frqq} } } } {\ifthenelse{\equal{#2}{5}}% alors C est l'angle droit {\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (hypo) {\CalculHypo[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}%le côté cherché est AC (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}} {Aucun argument n'est vide ou ne vaut \flqq.\frqq} } } } {L'argument \no2 doit valoir 1 ; 3 ou 5 !} } } } \newcommand*{\CalculHypo}[7][2]{% % #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2) % #2#3#4#5#6 : AB4C6 : AB=hypoténuse 4=longueur BC 6=longeur CA % #7 : unité (par exemple cm) \FPmul{\BCcarre}{#4}{#4} \FPmul{\ACcarre}{#6}{#6} \FPadd{\SommeCarre}{\BCcarre}{\ACcarre} \FPclip{\BCcarre}{\BCcarre} \FPclip{\ACcarre}{\ACcarre} \FProot{\Resultat}{\SommeCarre}{2} \FPclip{\SommeCarre}{\SommeCarre} \FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1} \FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi} \FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi} $\begin{aligned} \mathit{#2#3}^2&=\mathit{#5#2}^2+\mathit{#5#3}^2\\ \mathit{#2#3}^2&={\nombrefr{#4}}^2+{\nombrefr{#6}}^2\\ \mathit{#2#3}^2&=\nombrefr{\BCcarre}+\nombrefr{\ACcarre}\\ \mathit{#2#3}^2&=\nombrefr{\SommeCarre}\\ \mathit{#2#3}&=\sqrt{\nombrefr{\SommeCarre}}\\ \mathit{#2#3}&\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}} \end{aligned}$ } \newcommand*{\CalculCote}[7][2]{% % #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2) % #2#3#4#5#6 : AB4C6 : AB=côté à calculer 4=longueur BC 6=longeur AC % #7 : unité (par exemple cm) \FPmul{\BCcarre}{#4}{#4} \FPmul{\ACcarre}{#6}{#6} \FPsub{\Difference}{\BCcarre}{\ACcarre} \FPifpos{\Difference}\FPset{\Signe}{0}\else\FPset{\Signe}{1}\fi \FPabs{\Difference}{\Difference} \FPclip{\BCcarre}{\BCcarre} \FPclip{\ACcarre}{\ACcarre} \FProot{\Resultat}{\Difference}{2} \FPclip{\Difference}{\Difference} \FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1} \FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi} \FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi} \FPifzero{\Signe}% #4>#6, l'hypoténuse est donc BC $\begin{aligned} \mathit{#3#5}^2 &=\mathit{#2#3}^2+\mathit{#2#5}^2\\ \nombrefr{#4}^2 &=\mathit{#2#3}^2+\nombrefr{#6}^2\\ \mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{#4}^2-\nombrefr{#6}^2\\ \mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{\BCcarre}-\nombrefr{\ACcarre}\\ \mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{\Difference}\\ \mathit{#2#3} &=\sqrt{\nombrefr{\Difference}}\\ \mathit{#2#3} &\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}} \end{aligned}$ \else% #6>#4, l'hypoténuse est donc AC $\begin{aligned} \mathit{#2#5}^2 &=\mathit{#2#3}^2+\mathit{#3#5}^2\\ \nombrefr{#6}^2 &=\mathit{#2#3}^2+\nombrefr{#4}^2\\ \mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{#6}^2-\nombrefr{#4}^2\\ \mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{\ACcarre}-\nombrefr{\BCcarre}\\ \mathit{#2#3}^2 &=\nombrefr{\Difference}\\ \mathit{#2#3} &=\sqrt{\nombrefr{\Difference}}\\ \mathit{#2#3} &\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}} \end{aligned}$ \fi } % __________________________________________________________________________ %| | %| Le réciproque de théorème de Pythagore complète (avec calculs) | %|__________________________________________________________________________| \newcommand*{\CalculPythagoreReciproque}[6]{ \FPmax{\MaxiAB}{#2}{#4} \FPmax{\MaxiBC}{#4}{#6} \FPmax{\MaxiAC}{#2}{#6} \FPifgt{#2}{\MaxiBC}\EcritureReciproquePythagore{#1}{#2}{#3}{#4}{#5}{#6}{#1#3#5}\else\fi \FPifgt{#4}{\MaxiAC}\EcritureReciproquePythagore{#3}{#4}{#5}{#6}{#1}{#2}{#1#3#5}\else\fi \FPifgt{#6}{\MaxiAB}\EcritureReciproquePythagore{#1}{#6}{#5}{#4}{#3}{#2}{#1#3#5}\else\fi } \newcommand*{\EcritureReciproquePythagore}[7]{% % #1#3 : extrémités hypoténuse % #2 : longueur hypoténuse % #5 : sommet angle droit % #4 et #6 : longueurs cotes angles droit % #7 : nom du triangle (avec les lettres dans l'ordre) % % #1 % |\ % | \ % | \ % | \ % | \ % #6| \ #2 % | \ % | \ % |_ \ % |_|_______\ % #5 #4 #3 % \FPmul{\HypoCarre}{#2}{#2} \FPeval{\SommeCarre}{{#4}*{#4}+{#6}*{#6}} \FPclip{\HypoCarreClip}{\HypoCarre} \FPclip{\SommeCarreClip}{\SommeCarre} $\begin{aligned}% on aligne les équations sur le signe = \mathit{#1#3}^2 &={\nombrefr{#2}}^2 &=\nombrefr{\HypoCarreClip}\\ \mathit{#5#1}^2+\mathit{#5#3}^2 &={\nombrefr{#6}}^2+{\nombrefr{#4}}^2 &=\nombrefr{\SommeCarreClip} \end{aligned}$\smallskip \FPifeq{\HypoCarre}{\SommeCarre}% s'il y a égalité On obtient l'égalité $\mathit{#1#3}^2=\mathit{#5#1}^2+\mathit{#5#3}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \textbf{le triangle $\gras{\mathit{#7}}$ est rectangle en $\gras{\mathit{#5}}$}. \else $\mathit{#1#3}^2\ne\mathit{#5#1}^2+\mathit{#5#3}^2$ : on n'obtient pas d'égalité. La réciproque du théorème de Pythagore n'est pas vérifiée, et donc \textbf{le triangle $\gras{\mathit{#7}}$ n'est pas rectangle}. \fi } %######################################################################################## %########################### MACROS POUR LES DROITES GRADUÉES ########################### %######################################################################################## % _________________________________________________ %| | %| Marque un point sur la droite graduée | %|_________________________________________________| % #1 optionnel : épaisseur du point, par défaut 3.5pt \newcommand*{\MarquePoint}[2][3.5]{\psdots[dotsize=#1pt 0](#2,0)} % __________________________________________________________ %| | %| Marque un trait vertical sur la droite graduée | %|__________________________________________________________| % #1 optionnel : hauteur du trait de part et d'autre de la droite. Par défaut 0.25cm \newcommand*{\MarqueTrait}[2][0.25]{\psline[linewidth=1pt](#2,-#1)(#2,#1)} % _________________________________________________________________ %| | %| Affiche un texte à une abscisse et une hauteur donnée | %|_________________________________________________________________| \newcommand*{\AfficheTexte}[3]{% %#1 : abscisse %#2: decalage vertical (espace en cm entre le haut ou la bas de la lettre et la droite graduée) %#3: texte \FPifeq{#2}{0}\rput[c](#1,#2){#3}\fi% décalage nul bien qu'improbable, positionnement c[enter] \FPifgt{#2}{0}\rput[b](#1,#2){#3}\fi% décalage positif, positionnement b[ottom] \FPiflt{#2}{0}\rput[t](#1,#2){#3}\fi% décalage négatif, positionnement t[op] } % ________________________________________________________ %| | %| Affiche une flèche verticale | %| au dessus ou au dessous de la droite graduée | %|________________________________________________________| \newcommand*{\AfficheFleche}[3][\FPprint\HautGrad]{% % #1 : décalage vertical entre bout de la flèche et la droite % Par défaut=\HautGrad (hauteur des graduations principales) % #2 : abscisse de la flèche % #3 : hauteur de la flèche en cm (positif:flèche au dessus, négatif:flèche au dessous) \FPifeq{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{0}\fi \FPifgt{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{1}\fi \FPiflt{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{-1}\fi \FPabs\Loin{#3} \FPabs\Pres{#1} \FPeval{Loin}{Pres+Loin} \FPeval{Pres}{Pres*PlusMoinsUn} \FPeval{Loin}{Loin*PlusMoinsUn} \psline[arrowsize=2pt 3]{->}(#2,\FPprint\Loin)(#2,\FPprint\Pres) } % ________________________________________________________ %| | %| Affiche une flèche verticale et un texte | %| au dessus ou au dessous de la droite graduée | %|________________________________________________________| \newcommand*{\TexteEtFleche}[4][\FPprint\HautGrad]{% % #1 : décalage vertical entre bout de la flèche et la droite. % Par défaut=\HautGrad (hauteur des graduations principales) % #2 : abscisse de la flèche % #3 : hauteur de la flèche en cm (positif:flèche au dessus, négatif:flèche au dessous) % #4 : texte à afficher \FPifeq{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{0}\fi \FPifgt{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{1}\fi \FPiflt{#3}{0}\FPset{PlusMoinsUn}{-1}\fi \FPabs\Loin{#3} \FPabs\Pres{#1} \FPeval{Loin}{Pres+Loin} \FPeval{DecalTexte}{(Loin+0.1)*PlusMoinsUn}% 0.1cm = séparation entre le début de la flèche et le texte \FPeval{Pres}{Pres*PlusMoinsUn} \FPeval{Loin}{Loin*PlusMoinsUn} \psline[arrowsize=2pt 3]{->}(#2,\FPprint\Loin)(#2,\FPprint\Pres) \AfficheTexte{#2}{\FPprint\DecalTexte}{#4} } % ___________________________________________ %| | %| ENVIRONNEMENT DroiteGraduée | %| Trace une droite gradué | %|___________________________________________| \newenvironment{DroiteGraduee}[8][all]{% % Les arguments de l'environnement % #1 : affichage des nombres, par défaut all (none est le contraire) \FPset{Largeur}{#2}% #2 : largeur totale de la droite en cm \FPset{Debut}{#3}% #3 : abscisse de la 1ère graduation \FPset{Fin}{#4}% #4 : abscisse de la dernière graduation \FPset{SousDiv}{#5}% #5 : Nombre d'intervalles sudivisant la graduation principale \FPset{Increment}{#6}% #6 : Incrément entre 2 graduations principales \FPset{DepassGauche}{#7}% #7 : Nombre de graduations principales à afficher avant la 1ère \FPset{DepassDroite}{#8}% #8 : Nombre de graduations principales à afficher après la dernière % % Les constantes \FPset{HautGrad}{0.15}% La hauteur en cm du trait de la graduation principale \FPset{HautSousGrad}{0.7}% Le coefficient de réduction pour la hauteur du trait des graduations secondaires \FPset{EpGrad}{1.5}% Epaisseur en pt de la graduation principale \FPset{EpSousGrad}{0.8}% Epaisseur en pt de la graduation secondaire % % Calcul des abscisses et de l'unité d'axe \FPeval{xGauche}{Debut-DepassGauche}% valeur de l'abscisse du début du tracé de la droite \FPeval{xDroit}{Fin+DepassDroite}% valeur de l'abscisse de fin du tracé de la droite \FPeval{xUnite}{(Largeur-0.6)/(xDroit-xGauche)}%valeur de l'unité d'axe (0.6cm en moins=largeur de la flèche) \FPeval{xDroit}{xDroit+0.6/xUnite}% on corrige de la largeur de la flèche % % Tracé de la droite \psset{xunit=\FPprint\xUnite cm,yunit=1cm,arrowsize=4pt 3}% \begin{pspicture}(\FPprint\xGauche,-1)(\FPprint\xDroit,1)% % tracé de la droite graduée \psaxes[comma,% séparateur décimal % labelFontSize=\small, labelsep=5pt,% hauteur de séparation entre l'axe et nombres labels=#1,% on affiche les nombres ? Ox=\FPprint\Debut,% l'abscisse de la 1ère graduation Dx=\FPprint\Increment,% nombre incrémenté entre 2 graduations yAxis=false,% pas d'axe vertical subticks=\FPprint\SousDiv,% nombre d'intervalles divisant la graduation principale ticksize=-\FPprint\HautGrad cm \FPprint\HautGrad cm,% taille verticale des graduations principales tickwidth=\FPprint\EpGrad pt,% épaisseur des graduations principales subticksize=\FPprint\HautSousGrad,% coeff multiplicateur pour la hauteur des graduations secondaires subtickwidth=\FPprint\EpSousGrad pt,% épaisseur des graduations secondaires subtickcolor=black% couleur des graduations secondaires ]{->}% style de flèche (\FPprint\Debut,0)% coordonnées l'origine de la droite (\FPprint\xGauche,-1)% coordonnées du coin bas gauche (ordonnée à modifier ? --> à voir) (\FPprint\xDroit,1)% coordonnées du coin haut droit (ordonnée à modifier ? --> à voir) } {\end{pspicture}} % ___________________________________________________ %| | %| Représentation graphique de l'ensemble | %| des solutions d'une inéquation du 1è degrés | %|___________________________________________________| \newcommand*{\Crochet}[1]{% affiche un gros crochet % #1 > 0 : crochet vers la droite [ % #1 < 0 : crochet vers la gauche ] \FPifpos{#1}\LARGE\textbf{[}\else\LARGE\textbf{]}\fi } \newcommand*{\GraphiqueInequation}[5][0]{%repasse en gras avant ou après la solution et met le crochet et un point éventuellement % #1 : optionnel = 0 par défaut (pas de hachure) % #1 = H : on tace des hachures % #2 = G : repasse à gauche de la borne % #2 = D : repasse à droite de l'origine % #3 = C : origine comprise % #3 = NC : origine non comprise % #4 : nombre à afficher au dessus de la borne % #5 : largeur de la représentation \def\Erreur{0} \FPdiv{\xMaxi}{#5}{2} \FPneg{\xMini}{\xMaxi} \psset{unit=1 cm,arrowsize=4pt 3} \begin{pspicture}(\FPprint\xMini,-0.5)(\FPprint\xMaxi,1) \FPset{DecalCrochet}{0.07} \FPset{DecalOrigine}{0.07} \FPeval{\EpFleche}{0.2}% largeur de la flèche en cm \ifthenelse{\equal{#2}{D} \or \equal{#2}{d} \or \equal{#2}{-inf}} {\FPset{Signe}{1}} {\ifthenelse{\equal{#2}{G} \or \equal{#2}{g} \or \equal{#2}{+inf}} {\FPset{Signe}{-1}} {\def\Erreur{1}} } \FPneg{\SigneOpp}{\Signe} \ifthenelse{\equal{#3}{C} \or \equal{#3}{c}} {% \MarquePoint[5]{0}% on met un point \FPset{xOrigine}{0} \FPmul{\xCrochet}{\DecalCrochet}{\SigneOpp} \rput[c](\xCrochet,0){\Crochet{\Signe}} } {% \ifthenelse{\equal{#3}{NC} \or \equal{#3}{nc}} { \MarqueTrait[0.15]{0}% on met un trait \FPset{xOrigine}{DecalOrigine} \FPmul{\xCrochet}{\DecalCrochet}{\Signe} \rput[c](\xCrochet,0){\Crochet{\SigneOpp}} } { \def\Erreur{1} } } \ifthenelse{\Erreur=0} {% \psline[linewidth=1pt]{->}(\FPprint\xMini,0)(\FPprint\xMaxi,0) \FPmul{\xExtremeHachures}{\xMaxi}{\SigneOpp} \FPmul{\xExtreme}{\xMaxi}{\Signe} \ifthenelse{\equal{#2}{D} \or \equal{#2}{d}} {\FPsub{\xExtreme}{\xExtreme}{\EpFleche}} {\FPeval{xExtremeHachures}{xExtremeHachures-2*EpFleche}} \FPmul{\xOrigine}{\xOrigine}{\Signe} \psline[linewidth=2.5pt](\FPprint\xExtreme,0)(\FPprint\xOrigine,0)% on repasse en gras \ifthenelse{\equal{#1}{H} \or \equal{#1}{h}} {\psframe[linestyle=none,fillstyle=hlines, hatchwidth=0.5pt, hatchsep=3pt](\FPprint\xCrochet,-0.15)(\FPprint\xExtremeHachures,0.15)} {} \AfficheTexte{0}{0.4}{#4} } {Erreur dans les paramètres de\\ \texttt{\textbackslash GraphiqueInequation}} \end{pspicture} } \author{BriCàMatH} \title{Devoir maison 3ème : trigo} \date{30/11/2007} \begin{document} \titre{Devoir maison \no4} \DoubleLigne{\ladate{Pour le vendredi 7/12/2007}} \exo{Exercice 1.} On appelle $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon 6 cm.\par $A$ et $B$ sont deux points du cercle $\mathcal{C}$ tels que $\Angle{AOB}=50\degres$ \begin{Questions} \item Faire la figure en vraie grandeur. \item Calculer au millimètre prés la longueur de la corde \Seg{AB}.\par On pourra faire intervenir $H$, le milieu de la corde \Seg{AB} et on justifiera soigneusement toutes les étapes. \end{Questions} \exo{Exercice 2.} Dans la figure ci-contre qui n'est pas représentée en vraie grandeur, \Ita{ABCD} est un trapèze de bases \Seg{BC} et \Seg{AD}, rectangle en $C$ et $D$ tel que : \parbox{11cm}{ \Puces \begin{itemize} \item $\Ita{AD}=10\text{ cm}$ \item $\Ita{AB}=7\text{ cm}$ \item $\Angle{BAD}=70\degres$ \end{itemize} \bigskip Calculer au $\text{mm}^2$ près l'aire du trapèze \Ita{ABCD}. }% \parbox{6cm}{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(0.5,0.5)(5.5,3.5) \psline(5,1.3)(4.7,1.3)(4.7,1) \psline(5,2.7)(4.7,2.7)(4.7,3) \pspolygon(1,1)(2,3)(5,3)(5,1)(1,1) \rput[bl](0.66,0.8){$A$} \rput[bl](1.7,3.1){$B$} \rput[bl](5.1,3.1){$C$} \rput[bl](5.2,0.8){$D$} \end{pspicture*} } \exo{Exercice 3.} \parbox{11.5cm}{ La figure ci-contre représente la charpente d'un toit, vue en coupe.\par Les données de l'architecte sont les suivantes :\par\medskip \Puces \begin{itemize} \item \Seg{AS}, \Seg{AH}, \Seg{SH} et \Seg{MN} sont des poutres rectilignes. \item $\Angle{SAH}=40\degres$, $\Angle{SHA}=90\degres$ et $\Angle{SNM}=90\degres$ \item $\Ita{SA}=4,20\text{ m}$ \item $\Ita{SN}=1,20\text{ m}$ \end{itemize} }% \parbox{4.5cm}{ \psset{unit=1cm,dotsize=2.5pt} \begin{pspicture*}(0.5,0.5)(4.5,3.5) \pspolygon(1,1)(4,1)(4,3)(1,1) \psline(2.8,2.2)(4,2.2) \psdots(1,1)\rput[bl](0.6,1){$A$} \psdots(4,1)\rput[bl](4.2,1){$H$} \psdots(4,3)\rput[bl](4,3.2){$S$} \psdots(2.8,2.2)\rput[bl](2.4,2.3){$M$} \psdots(4,2.2)\rput[bl](4.1,2.3){$N$} \end{pspicture*}% } \bigskip Vous êtes le charpentier du chantier, vous avez besoin de calculer au millimètre près les longueurs des poutres \Seg{AH}, \Seg{SH} et \Seg{MN}. Vous justifierez vos calculs. \exo{Problème.} On appelle $A$, $B$, $C$ et $D$ les 4 coins d'une feuille de papier de format A4 de telle sorte que \Seg{AB} et \Seg{DC} soient les grands côtés et \Seg{AD} et \Seg{BC} soient les petits côtés.\par\medskip Les dimensions d'une feuille de format A4 sont de 21 cm par 29,7 cm.\par Remarque : 29,7 est une valeur approchée de $21\sqrt{2}$. On considèrera donc que $\Ita{AB}=\Ita{DC}=21\sqrt{2}$ cm.\par\medskip On appelle $I$ le milieu du côté \Seg{DC}.\par\bigskip Vous ferez une figure précise à l'échelle $\frac{1}{5}$, et vous déterminerez par le calcul, en détaillant et justifiant avec soin, si les segments \Seg{AI} et \Seg{BD} sont perpendiculaires\ldots \exo{Énigmes de décembre.} Expliquez votre démarche, et donnez la solution de ces énigmes\ldots \begin{Questions} \item Une énorme comète se dirige directement vers la Terre !\par Il y a deux jours, elle en était à \nombre{1000000} de km, hier à \nombre{100000}~km; aujourd'hui, elle n'en est plus qu'à \nombre{10000}~km et les astronomes ont calculé que demain, il ne lui resterait plus que \nombre{1000}~km à parcourir avant de s'écraser sur notre planète !\par En supposant que la comète poursuive sa route exactement à ce rythme, dans cette direction et ne rencontre pas d'obstacle, combien de temps reste-t-il avant qu'elle s'écrase sur la Terre ? \item Quelle distance maximale peut-on parcourir avec une voiture disposant de 7 pneus neufs, sachant que chaque pneu peut faire \nombre{40000}~km ? \item $3^2$ est égal à $3\times3$ et vaut 9. De même, il est facile de calculer que $3^3=27$. Mais quel est le \emph{chiffre} des unités de $3^{2007}$? \item Sur une route longue de 50 km, 2 cyclistes faisant du 25 km/h partent à la rencontre l'un de l'autre. Une mouette, qui vole à 50 km/h va sans arrêt de l'un à l'autre. Quelle distance aura-t-elle parcouru lorsque les cyclistes se rejoindront ? \end{Questions} \pagebreak \DoubleLigne{\titre{Correction du devoir maison \no4}} \exo{Exercice 1.} \parbox{12.5cm}{% \Ita{OAB} est un triangle isocèle en $O$. Dans un triangle isocèle, la médiane issue du sommet principal est également hauteur, médiatrice de la base et bissectrice. Par conséquent, \Drt{OH} est la médiatrice de \Seg{AB} (donc le triangle \Ita{OAH} est rectangle en $H$), et \Drt{OH} est la bissectrice de l'angle \Angle{AOB} : on a donc $\Angle{AOH}=25\degres$\par\bigskip Dans le triangle \Ita{AOH}, rectangle en $H$ : $\sin\Angle{AOH}=\dfrac{\Ita{AH}}{\Ita{OA}}\qquad\sin25\degres=\dfrac{\Ita{AH}}{6}$\par\medskip On obtient : $\Ita{AH}=6\times\sin25\degres\qquad$\qquad $\Ita{AB}=2\times\Ita{AH}=2\times6\times\sin25\degres\approx\gras{5,1\text{ cm}}$ }% \parbox{5.1cm}{% \begin{flushright} \psset{unit=0.7cm,algebraic=true} \begin{pspicture}(0.5,0.5)(5.6,5.6) \psline[linewidth=0.3pt](4.17,4.48)(4.28,4.39)(4.37,4.5) \pscircle(3,3){2.24} \pspolygon(3,3)(3.52,5.17)(5,4)(3,3) \psline(3.16,4.07)(3.34,4.03) \psline(3.18,4.14)(3.36,4.1) \psline(3.95,4.95)(3.83,4.81) \psline(4.69,4.36)(4.57,4.22) \psline(3.93,3.56)(4.01,3.4) \psline(3.99,3.6)(4.07,3.44) \psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](3,3)(4.26,4.59) \pscustom{\parametricplot{0.4636476090008061}{0.8999799219993885}{0.8*cos(t)+3|0.8*sin(t)+3}} \parametricplot{0.4636476090008061}{0.8999799219993885}{0.8*cos(t)+3|0.8*sin(t)+3} \psline(3.55,3.49)(3.64,3.57) \psline(3.59,3.44)(3.69,3.51) \pscustom{\parametricplot{0.8999799219993885}{1.3363122349979708}{0.6*cos(t)+3|0.6*sin(t)+3}} \parametricplot{0.8999799219993885}{1.3363122349979708}{0.6*cos(t)+3|0.6*sin(t)+3} \psline(3.21,3.5)(3.26,3.61) \psline(3.26,3.47)(3.31,3.58) \rput[bl](2.8,2.6){$O$} \rput[bl](5.2,4){$A$} \rput[bl](3.4,5.3){$B$} \psdots[dotsize=2pt 0](4.26,4.59) \rput[bl](4.4,4.75){$H$} \end{pspicture} \end{flushright} } \exo{Exercice 2.} Soit $H$ l'intersection avec \Drt{AD} de la perpendiculaire à \Drt{AD} passant par $B$. Le triangle \Ita{ABH} est rectangle en $H$, et :\par \parbox{12.5cm}{ $\begin{aligned} \sin\Angle{BAH}&=\dfrac{\Ita{BH}}{\Ita{AB}}\qquad&\sin70\degres&=\dfrac{\Ita{BH}}{7}\qquad&\Ita{BH}&=7\sin70\degres\\ \cos\Angle{BAH}&=\dfrac{\Ita{AH}}{\Ita{AB}}\qquad&\cos70\degres&=\dfrac{\Ita{AH}}{7}\qquad&\Ita{AH}&=7\cos70\degres \end{aligned}$ Finalement :\par $\begin{aligned} \text{Aire}_{\Ita{ABCD}}&=\text{Aire}_\Ita{ABH}+\text{Aire}_{\Ita{BCDH}}=\dfrac{\Ita{AH}\times\Ita{BH}}{2}+\Ita{HD}\times\Ita{BH}\\ &=\dfrac{7\cos70\degres\times7\sin70\degres}{2}+(10-7\cos70\degres)\times7\sin70\degres\approx\gras{57,90\text{ cm}^2} \end{aligned}$ }% \parbox{5cm}{ \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0.5,0.5)(5.5,3.5) \psline(5,1.2)(4.8,1.2)(4.8,1) \psline(2.2,1)(2.2,1.2)(2,1.2) \pspolygon(1,1)(2,3)(5,3)(5,1)(1,1) \psline[linestyle=dashed,dash=1pt 1pt](2,3)(2,1) \rput[bl](0.7,0.8){$A$} \rput[bl](1.7,3){$B$} \rput[bl](5.1,3){$C$} \rput[bl](5.1,0.8){$D$} \rput[bl](2,0.6){$H$} \end{pspicture} } \exo{Exercice 3.} Dans le triangle \Ita{SAH}, rectangle en $H$ :\par\medskip Calcul de \Ita{AH} : \qquad$\cos\Angle{SAH}=\dfrac{\Ita{AH}}{\Ita{SA}}\qquad\cos40\degres=\dfrac{\Ita{AH}}{4,2}\qquad\Ita{AH}=4,2\cos40\degres\qquad\Ita{AH}\approx\gras{3,217\text{ m}}$ \medskip Calcul de \Ita{SH} :\qquad$\sin\Angle{SAH}=\dfrac{\Ita{SH}}{\Ita{SA}}\qquad\sin40\degres=\dfrac{\Ita{SH}}{4,2}\qquad\Ita{SH}=4,2\sin40\degres\qquad\Ita{SH}\approx\gras{2,700\text{ m}}$ Les droites \Drt{AH} et \Drt{MN} sont perpendiculaires à la même droite \Drt{SH} donc elles sont parallèles. Les angles \Angle{SAH} et \Angle{SMN} sont correspondants. Comme $\Drt{AH}/\!/\Drt{MN}$, ces angles correspondants sont égaux, et donc : $\Angle{SMN}=40\degres$.\par Dans le triangle \Ita{SMN}, rectangle en $N$ : $\tan\Angle{SMN}=\dfrac{\Ita{SN}}{\Ita{MN}}\qquad\tan40\degres=\dfrac{1,2}{\Ita{MN}}\qquad\Ita{MN}=\dfrac{1,2}{\tan40\degres}\qquad\Ita{AH}\approx\gras{1,430\text{ m}}$ \exo{Problème.} \parbox{12.5cm}{ \begin{itemize} \item[$\bullet$]% Dans le triangle \Ita{ADI}, rectangle en $D$ : $\tan\Angle{DIA}=\dfrac{\Ita{AD}}{\Ita{ID}}=\dfrac{\cancel{21}}{\cancel{21}\sqrt{2}/2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}/2}\qquad\Angle{DIA}\approx54,74\degres$ \medskip \item[$\bullet$]% Dans le triangle \Ita{DBC}, rectangle en $C$ : $\tan\Angle{BDC}=\dfrac{BC}{DC}=\dfrac{\cancel{21}}{\cancel{21}\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\qquad\Angle{DBC}\approx35,26\degres$ \end{itemize}\medskip Par ailleurs, la somme des angles du triangle \Ita{DKI} vaut 180\degres{} donc\par $\Angle{DKI}=180-54,74-35,26=90\degres$ }% \parbox{5.5cm}{ \begin{flushright} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0.5,0.3)(4.6,3.5) \psline(4,1.21)(3.79,1.21)(3.79,1) \psline(1.21,1)(1.21,1.21)(1,1.21) \psline(1,2.79)(1.21,2.79)(1.21,3) \psline(3.79,3)(3.79,2.79)(4,2.79) \pspolygon(1,1)(1,3)(4,3)(4,1)(1,1) \psline(1,1)(4,3) \psline(1,3)(2.5,1) \psline(1.72,1.09)(1.72,0.91) \psline(1.79,1.09)(1.79,0.91) \psline(3.22,1.09)(3.22,0.91) \psline(3.28,1.09)(3.28,0.91) \rput[c](2.5,3.2){$21\sqrt{2}$} \rput[c](0.8,2){21} \rput[tl](1.5,0.9){$\frac{21\sqrt{2}}{2}$} \rput[tl](2.9,0.9){$\frac{21\sqrt{2}}{2}$} \rput[bl](0.78,3.14){$A$} \rput[bl](4.16,3.12){$B$} \rput[bl](4.18,0.84){$C$} \rput[bl](0.7,0.7){$D$} \rput[bl](2.4,0.58){$I$} \rput[bl](2.2,1.5){$K$} \end{pspicture} \end{flushright} } \medskip Cela prouve donc que \textbf{les segments $\gras{\Seg{DB}}$ et $\gras{\Seg{AI}}$ sont perpendiculaires} \exo{Énigmes de décembre.} \begin{Questions} \item La comète parcourt chaque jour $\frac{9}{10}$ ce qui lui restait à parcourir la veille, et il lui reste $\frac{1}{10}$ à parcourir le lendemain. Bien que diminuant (puisqu'elle est divisée par 10 chaque jour), cette distance ne sera jamais nulle. \textbf{La comète n'atteindra jamais la terre, mais elle s'en rapprochera infiniment}. \item En numérotant les pneus de 1 à 7, \textbf{on peut parcourir \nombre{70000}~km} par tranche de \nombre{10000}~km : 1234 - 5234 - 6234 - 7234 et 3 fois 1567. \item Examinons les neuf premières puissances de 3 :\par $3^1=\gras{3}\quad3^2=\gras{9}\quad3^3=2\gras{7}\quad3^4=8\gras{1}\quad3^5=24\gras{3}\quad3^6=72\gras{9}\quad3^7=218\gras{7}\quad3^8=656\gras{1}\quad3^9=1968\gras{3}$.\par On constate que la suite des 4 chiffres 3 9 7 1 revient périodiquement au chiffre des unités. Il faut donc examiner le reste de la division de 2007 par 4 : on trouve 3. Par conséquent, le chiffre des unités de $3^{2007}$ est \textbf{7}. \item Les 2 cyclisyes ont 25~km à parcourir, ils roulent donc pendant 1h. Pendant ce temps, la mouette parcourt \textbf{50~km}. \end{Questions} \end{document}