\documentclass[a4paper,10pt]{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% %% %% M O N P R É A M B U L E %% %% __________________________ %% %% %% %% BriCàMatH %% %% %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \usepackage[latin1]{inputenc}% codage utf8, sous linux principalement \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[dvips,margin=1.5cm,noheadfoot]{geometry}% dimensions de la page \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,textcomp}% pour les maths \usepackage{array}% divers outils pour les tableaux \usepackage{hhline}% des lignes complexes dans les tableaux \usepackage{pstricks,pst-plot,pstricks-add,pst-math,pst-xkey}% Figures géométriques dans le code LaTeX \usepackage{wrapfig}% insère une figure flottante \usepackage{cancel}% pour barrer des termes dans les formules %\usepackage{xlop}% pour faire des calculs dans latex et poser des opérations comme à la main \usepackage{enumitem}% des énumérations paramétrables \usepackage{lmodern}% fonte modern \usepackage{mathrsfs}% fonte cursive : emploi \mathscr{TEXTE}, en majuscules %\usepackage{mathptmx}% fonte %\usepackage{mathpazo}% fonte \usepackage{multicol}% pour aller au delà de 2 colonnes \usepackage{ifthen}% pour faire des tests \usepackage{fp}% pour faire des calculs dans LaTeX \usepackage{setspace}% pour spécifier l'interlignage \rmfamily% importantion des petites capitales grasses \DeclareFontShape{T1}{lmr}{b}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{} \DeclareFontShape{T1}{lmr}{bx}{sc}{<->ssub*cmr/bx/sc}{} \pagestyle{empty}% pas de pied de page ni d'en tête \usepackage[frenchb]{babel}% francisation \FrenchFootnotes% des notes de bas de pages conformes à la typo française \setlength{\parindent}{0cm}% pas d'identation % %################################################################################# %########################### MES COMMANDES ########################### %################################################################################# % % Pour avoir des lettres majuscules droites dans le mode math (par JCC sur f.c.t.tex) \DeclareMathSymbol{A}{\mathalpha}{operators}{65} \DeclareMathSymbol{B}{\mathalpha}{operators}{66} \DeclareMathSymbol{C}{\mathalpha}{operators}{67} \DeclareMathSymbol{D}{\mathalpha}{operators}{68} \DeclareMathSymbol{E}{\mathalpha}{operators}{69} \DeclareMathSymbol{F}{\mathalpha}{operators}{70} \DeclareMathSymbol{G}{\mathalpha}{operators}{71} \DeclareMathSymbol{H}{\mathalpha}{operators}{72} \DeclareMathSymbol{I}{\mathalpha}{operators}{73} \DeclareMathSymbol{J}{\mathalpha}{operators}{74} \DeclareMathSymbol{K}{\mathalpha}{operators}{75} \DeclareMathSymbol{L}{\mathalpha}{operators}{76} \DeclareMathSymbol{M}{\mathalpha}{operators}{77} \DeclareMathSymbol{N}{\mathalpha}{operators}{78} \DeclareMathSymbol{O}{\mathalpha}{operators}{79} \DeclareMathSymbol{P}{\mathalpha}{operators}{80} \DeclareMathSymbol{Q}{\mathalpha}{operators}{81} \DeclareMathSymbol{R}{\mathalpha}{operators}{82} \DeclareMathSymbol{S}{\mathalpha}{operators}{83} \DeclareMathSymbol{T}{\mathalpha}{operators}{84} \DeclareMathSymbol{U}{\mathalpha}{operators}{85} \DeclareMathSymbol{V}{\mathalpha}{operators}{86} \DeclareMathSymbol{W}{\mathalpha}{operators}{87} \DeclareMathSymbol{X}{\mathalpha}{operators}{88} \DeclareMathSymbol{Y}{\mathalpha}{operators}{89} \DeclareMathSymbol{Z}{\mathalpha}{operators}{90} % % pour avoir des nombres à virgule en affichant des résultats de calculs par FP % par JCC sur f.c.t.tex \def\nombrefr#1{\expandafter{\changecomma{#1}}} \def\changecomma#1{\expandafter\changecommaaux#1.\changecommaaux} \def\changecommaaux#1.#2\changecommaaux{#1\ifx\empty#2\else,\expandafter\changecommapt#2\changecommapt\fi} \def\changecommapt#1.\changecommapt{#1} % % Teste si l'argument est un nombre % par JCC sur f.c.t.tex % Utilisation : \IFnombre{#1}{code si #1 est un nombre}{code si #1 n'est pas un nombre} % \decimalpart et \intergerpart contiennent les parties décimales et entières \makeatletter \newcount\integerpart \newcount\decimalpart \newcommand\IFnombre[3]{% \decimalpart=0 \afterassignment\defnext\integerpart=0#1\relax\@nil \expandafter\@dotorcomma\next\@nil \if\relax\@remain #2% \else #3 \fi } \def\defnext#1\@nil{\def\next{#1}}% \def\@dotorcomma{\@ifnextchar.{\@decimal}{\@comma}} \def\@comma{\@ifnextchar,{\@decimal}{\@endnumber}} \def\@decimal#1#2\@nil{% \afterassignment\defnext\decimalpart=0#2\@nil \expandafter\@endnumber\next\@nil } \def\@endnumber#1\@nil{\def\@remain{#1}} \makeatother % On sauvegarde les enumerate normaux un peu modifiés \newcommand*{\setenumeratedefaut}{ \setenumerate{itemsep=2ptplus2ptminus2pt,topsep=\the\itemsep,partopsep=0cm,parsep=0pt}} \setenumeratedefaut \let\oldenumerate=\enumerate \let\oldendenumerate=\endenumerate % %%%%% Numérotation des questions %%%%%%%%%% \newenvironment{Questions}{% \setenumerate{% itemsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre items topsep=6ptplus6ptminus4pt,% séparation entre l'environnement et le texte au dessus partopsep=0cm,% parsep=0pt,% leftmargin=*,% pas de marge gauche align=left,% alignement des numéros à gauche labelindent=0pt,% indentation du numéro widest=8),% largeur du numéro labelsep=0.5em,% séparation entre le numéro et le texte itemindent=0em% indentation du texte \setenumerate[1]{label=\textbf{\arabic*)}}% numéro du type 1) en gras \setenumerate[2]{label=\textbf{\alph*)}}% lettre de type a) en gras }\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut} % %%%%%% Numérotation des sous questions %%%%%%%% \newenvironment{SousQuestions}{% \setenumerate{ itemsep=3ptplus1ptminus2pt,% espacement vertical entre items topsep=4ptplus2ptminus4pt,% séparation avec avec le texte de l'item de hiérarchie plus haute, si celui ci existe partopsep=0pt,% parsep=3ptplus1ptminus2pt,% séparation entre les paragraphes au sein d'un item leftmargin=*,% align=left,% alignement des lettres à gauche widest=b),% largeur maxi du numéro labelsep=0.2em,% séparation entre le numéro et le texte itemindent=0em% indentation du texte }\oldenumerate}{\oldendenumerate\setenumeratedefaut} % % Puces \newenvironment{Puces}[1][1cm]% {\begin{list}% {$\bullet$}% { \setlength{\leftmargin}{#1}% marge à gauche, par défaut=1cm \setlength{\itemsep}{3ptplus3ptminus2pt}% espacement entre item \setlength{\topsep}{0pt}% espacement entre le paragraphe précédent et le 1er item }}% {\end{list}} % % Affiche "Nom : Prénom : Classe :" \newcommand\NomPrenom{\textbf{\textit{Nom :\hfill Prénom :\hfill Classe :}}\hspace*{2cm}} % % Affiche le titre de la page en gros, petites capitales et centré \newcommand*{\titre}[1]{{\centering\bfseries\scshape\Large#1\par}} % % Affiche la date en italique centré \newcommand*{\ladate}[1]{\vspace{0.1cm}{\centering\itshape#1\par}\vspace{0.1cm}} % % Affiche le texte en gras, petite capitale, avec une puce carrée au début \newcommand*{\exo}[1]{\vspace{0.35cm plus 0.15cm minus 0.15cm}\rule{1ex}{1ex}\hspace{1ex}\textsc{\textbf{#1}}\vspace{0.1cm plus 0.1cm minus 0.1cm}} % % Affiche 2 lignes d'épaisseur et d'écartement paramétrables \newcommand*{\ligne}[5]{% %#1:espace avant #2:épaisseur 1ère ligne #3:séparation entre les 2 lignes #4:épaisseur 2ème ligne #5:espace après \vspace*{#1}\vspace*{-\baselineskip}% remonte d'une ligne \rule{\linewidth}{#2}\par% épaisseur 1ère ligne \vspace*{-\baselineskip}\vspace*{#3}% on remonte d'une ligne + on descend de la séparation \rule{\linewidth}{#4}\par% épaisseur 2ème ligne \vspace*{#5}% on met l'espace final } % % Affiche éventuellement le texte puis une double ligne (1 épaisse et 1 fine) \newcommand*{\DoubleLigne}[1]{#1\par\ligne{6pt plus 2pt minus 2pt}{1.5pt}{2pt}{0.3pt}{0pt}} % % Affiche éventuellement le texte puis une ligne fine \newcommand*{\SimpleLigne}[1]{#1\par\ligne{4pt plus 2pt minus 2pt}{0.3pt}{0pt}{0pt}{0pt}} % % Met en gras dans les formules math \newcommand*{\gras}[1]{\text{\bfseries\mathversion{bold}$#1$}} % % Forme un angle \newcommand*{\Angle}[1]{\ensuremath{\widehat{#1}}} % % Forme un arc \makeatletter \newcount\r@pport \newdimen\r@ppord \newcount\kslant \newdimen\kslantd \newcommand*{\arc}[1]{\setbox0\hbox{$\m@th\displaystyle#1$}\kslant=\ht0 \divide\kslant by1000\multiply\kslant by\fontdimen1\textfont1 \divide\kslant by10000\kslantd=\kslant\fontdimen6\textfont1 \divide\kslantd by7750\kern\kslantd \r@ppord=\wd0\multiply\r@ppord by100\divide\r@ppord by\ht0 \multiply\r@ppord by300\advance\r@ppord by\ht0 \pspicture(0,0) \parabola[linewidth=.3pt]{-}(0,1.05\ht0)(.5\wd0,1.15\r@ppord) \endpspicture \kern-\kslantd\box0} \makeatother % % Met entre guillemets français \def\guill#1{\og{}#1\fg{}} %############################################################################################## %########################### MACROS POUR LES THÉORÈMES DE GÉOMÉTRIE ########################### %############################################################################################## % % _______________________________________________________________________ %| | %| Met un signe = si \Delta est suffisemment petit, met \approx sinon | %|_______________________________________________________________________| \newcommand*{\SigneEgal}[1]{\FPabs{\Delta}{#1}\FPiflt{\Delta}{0.000000001}=\else\approx\fi} % % ______________________________________________ %| | %| La réciproque du théorème de Thalès | %| (les phrases de conclusion seulement) | %|______________________________________________| \newcommand*{\ThalesReciproquE}[5]{% %les rapports #1#2/#1#3 et #1#4/#1#5 sont égaux --> réciproque de Thalès On obtient l'égalité $\MaFrac{#1#2}{#1#3}=\MaFrac{#1#4}{#1#5}$~, les points #1, #2, #3 et #1, #4, #5 sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, \textbf{les droites (#2#4) et (#3#5) sont parallèles}. } \makeatletter\newcommand*{\ThalesReciproque}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesReciproquE}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesReciproquE}}\makeatother % _______________________________________________________________________ %| | %| Le théorème de Thalès (les phrases préliminaires seulement) | %| un cas pour la 4ème et un cas pour la 3ème | %|_______________________________________________________________________| \newcommand*{\ThalesDirectTroiS}[5]{% %#1:centre homothétie #1#2#3:alignés, #1#4#5: alignés et (#2#4)//(#3#5) --> Thalès direct Les droites (#2#3) et (#4#5) se coupent en #1, les droites (#2#4) et (#3#5) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\MaFrac{#1#2}{#1#3}=\MaFrac{#1#4}{#1#5}=\MaFrac{#2#4}{#3#5}$% } \makeatletter\newcommand*{\ThalesDirectTrois}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesDirectTroiS}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesDirectTroiS}}\makeatother \newcommand*{\ThalesDirectQuatrE}[5]{% %#1:centre homothétie #2 app [#1#3], #4 app [#1#5] et (#2#4)//(#3#5) --> Thalès direct Dans le triangle #1#3#5, le point #2 appartient à [#1#3] et le point #4 appartient à [#1#5], les droites (#2#4) et (#3#5) sont parallèles, donc d'après le théorème de Thalès : $\MaFrac{#1#2}{#1#3}=\MaFrac{#1#4}{#1#5}=\MaFrac{#2#4}{#3#5}$% } \makeatletter\newcommand*{\ThalesDirectQuatre}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\ThalesDirectQuatrE}{\def\MaFrac{\frac}\ThalesDirectQuatrE}}\makeatother % _________________________________________________________________________________ %| | %| Le calcul d'un produit en croix, avec choix de la précision pour le résultat | %|_________________________________________________________________________________| % #1 optionnel = nombre de chiffres arès la virgule pour le résultat (par défaut = 2) % % #3 x #4 % #2 = --------- = ResultatArrondi % #5 \newcommand*{\CalculProduitCroiX}[5][2]{% \FPeval{Resultat}{({#3}*{#4})/{#5}}% \FPclip{\Resultat}{\Resultat}% \FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}% on arrondi à [#1] chiffres après la virgule \FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi}% \FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi}% pour supprimer des zéros dans l'arrondi : 2.50 devient 2.5 $#2=\MaFrac{\nombrefr{#3}\times\nombrefr{#4}}{\nombrefr{#5}}\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}}$ } \makeatletter\newcommand*{\CalculProduitCroix}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\CalculProduitCroiX}{\def\MaFrac{\frac}\CalculProduitCroiX}}\makeatother % _________________________________________________________ %| | %| Le théorème de Thalès (les calculs seulement) | %|_________________________________________________________| % #1 optionnel = nombre de chiffres arès la virgule pour le résultat (par défaut = 2) % % Calcule l'argument qui n'est pas un nombre dans l'égalité : % #2 #4 % ----- = ----- % #3 #5 % % #6 = unité [cm par exemple] \newcommand*{\CalculThalesDirecT}[6][2]{% \def\OPa{\nombrefr}\def\OPb{\nombrefr}\def\OPc{\nombrefr}\def\OPd{\nombrefr} \IFnombre{#2}% {\IFnombre{#3} {\IFnombre{#4} {\IFnombre{#5} {Erreur !}% tous sont des nombres --> erreur {\def\OPd{}\def\Cherche{#5}\def\NUMa{#3}\def\NUMb{#4}\def\DEN{#2}}%#5 n'est pas un nombre }% {\def\OPc{}\def\Cherche{#4}\def\NUMa{#2}\def\NUMb{#5}\def\DEN{#3}}%#4 n'est pas un nombre }% {\def\OPb{}\def\Cherche{#3}\def\NUMa{#2}\def\NUMb{#5}\def\DEN{#4}}%#3 n'est pas un nombre }% {\def\OPa{}\def\Cherche{#2}\def\NUMa{#3}\def\NUMb{#4}\def\DEN{#5}}%#2 n'est pas un nombre De l'égalité\hspace{1ex}$\MaFrac{\OPa{#2}}{\OPb{#3}}=\MaFrac{\OPc{#4}}{\OPd{#5}}$\hspace{1ex}on tire que\hspace{1ex}\CalculProduitCroiX[#1]{\Cherche}{\NUMa}{\NUMb}{\DEN}\textbf{#6}%on rajoute l'unité } \makeatletter\newcommand*{\CalculThalesDirect}{\@ifstar{\def\MaFrac{\dfrac}\CalculThalesDirecT}{\def\MaFrac{\frac}\CalculThalesDirecT}}\makeatother % ______________________________________________________ %| | %| Macros utilisée dans les macros ci dessous | %| renvoie l'argument n°#1 | %|______________________________________________________| \newcommand*{\RectangleEn}[4]{% \ifthenelse{#1=1} {#2}% #1=2, renvoie #2 {\ifthenelse{#1=2} {#3}% #1=3, renvoie #3 {\ifthenelse{#1=3} {#4}% #1=4, renvoie #4 {??}% #1 est autre chose, renvoie ?? }% }% } % ___________________________________________________ %| | %| La réciproque du théorème de Pythagore | %| la conclusion sans calculs préliminaires | %|___________________________________________________| \newcommand*{\PythagoreReciproque}[4][2]{% % [#1] optionnel : position de la lettre où se situe l'angle droit (par défaut 2, c'est-à-dire la lettre du milieu) On obtient l'égalité % \ifthenelse{#1=1}{${#3#4}^2={#2#3}^2+{#2#4}^2$}{\null}% \ifthenelse{#1=2}{${#2#4}^2={#3#2}^2+{#3#4}^2$}{\null}% \ifthenelse{#1=3}{${#2#3}^2={#4#2}^2+{#4#3}^2$}{\null}% , donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \textbf{le triangle #2#3#4 est rectangle en \RectangleEn{#1}{#2}{#3}{#4}}.% } % __________________________________________________________________________ %| | %| Le théorème de Pythagore (les phrases préliminaires seulement) | %| * pour ne pas écrire l'égalité de Pythagore | %|__________________________________________________________________________| \newcommand*{\PythagoreDirecT}[4][2]{% % [#1] optionnel : position de la lettre où se situe l'angle droit (par défaut 2, c'est-à-dire la lettre du milieu) Le triangle #2#3#4 est rectangle en \RectangleEn{#1}{#2}{#3}{#4}, donc d'après le théorème de Pythagore% \ifthenelse{\AvecEq=1}% {\ifthenelse{#1=1}% { : ${#3#4}^2={#2#3}^2+{#2#4}^2$}% {\ifthenelse{#1=2}% { : ${#2#4}^2={#3#2}^2+{#3#4}^2$}% {\ifthenelse{#1=3}% { : ${#2#3}^2={#4#2}^2+{#4#3}^2$}% { : ??}% }% }% }% {}% } \makeatletter\newcommand*{\PythagoreDirect}{\@ifstar{\def\AvecEq{0}\PythagoreDirecT}{\def\AvecEq{1}\PythagoreDirecT}}\makeatother % ___________________________________________________________ %| | %| Le théorème de Pythagore complet (avec calculs) | %|___________________________________________________________| \newcommand*{\CalculPythagoreDirect}[9][2]{ % #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2) % #2 : position de la lettre où est l'angle droit (1 ; 3 ou 5) % A4B6C8 : ABC : sommets % 468 : longueurs dont celle que l'on cherche est vide ou vaut un . % #9 : unité Dans le triangle #3#5#7 rectangle en \RectangleEn{#2}{#3}{#5}{#7}, d'après le théorème de Pythagore :\smallskip \ifthenelse{\equal{#2}{1}}% alors A est l'angle droit {\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (hypo) {\CalculHypo[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}% le côté cherché est AC (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}} {Aucun argument n'est vide ou ne vaut <<.>>} } } } {\ifthenelse{\equal{#2}{3}}% alors B est l'angle droit {\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}% le côté cherché est AC (hypo) {\CalculHypo[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}} {Aucun argument n'est vide ou ne vaut <<.>>} } } } {\ifthenelse{\equal{#2}{5}}% alors C est l'angle droit {\ifthenelse{\equal{#4}{} \or \equal{#4}{.}}% le côté cherché est AB (hypo) {\CalculHypo[#1]{#3}{#5}{#6}{#7}{#8}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#6}{} \or \equal{#6}{.}}% le côté cherché est BC (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#5}{#7}{#8}{#3}{#4}{#9}} {\ifthenelse{\equal{#8}{} \or \equal{#8}{.}}%le côté cherché est AC (côté angle droit) {\CalculCote[#1]{#3}{#7}{#6}{#5}{#4}{#9}} {Aucun argument n'est vide ou ne vaut <<.>>} } } } {L'argument \no2 doit valoir 1 ; 3 ou 5 !} } } } \newcommand*{\CalculHypo}[7][2]{% % #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2) % #2#3#4#5#6 : AB4C6 : AB=hypoténuse 4=longueur BC 6=longeur CA % #7 : unité (par exemple cm) \FPmul{\BCcarre}{#4}{#4} \FPmul{\ACcarre}{#6}{#6} \FPadd{\SommeCarre}{\BCcarre}{\ACcarre} \FPclip{\BCcarre}{\BCcarre} \FPclip{\ACcarre}{\ACcarre} \FProot{\Resultat}{\SommeCarre}{2} \FPclip{\SommeCarre}{\SommeCarre} \FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1} \FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi} \FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi} $\begin{aligned} {#2#3}^2&={#5#2}^2+{#5#3}^2\\ {#2#3}^2&={\nombrefr{#4}}^2+{\nombrefr{#6}}^2\\ {#2#3}^2&=\nombrefr{\BCcarre}+\nombrefr{\ACcarre}\\ {#2#3}^2&=\nombrefr{\SommeCarre}\\ {#2#3}&=\sqrt{\nombrefr{\SommeCarre}}\\ {#2#3}&\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}} \end{aligned}$ } \newcommand*{\CalculCote}[7][2]{% % #1 : optionnel = nbre de chiffres après la virgule au résultat (par défaut 2) % #2#3#4#5#6 : AB4C6 : AB=côté à calculer 4=longueur BC 6=longeur AC % #7 : unité (par exemple cm) \FPmul{\BCcarre}{#4}{#4} \FPmul{\ACcarre}{#6}{#6} \FPsub{\Difference}{\BCcarre}{\ACcarre} \FPifpos{\Difference}\FPset{\Signe}{0}\else\FPset{\Signe}{1}\fi \FPabs{\Difference}{\Difference} \FPclip{\BCcarre}{\BCcarre}\FPclip{\ACcarre}{\ACcarre} \FProot{\Resultat}{\Difference}{2} \FPclip{\Difference}{\Difference} \FPround{\ResultatArrondi}{\Resultat}{#1}\FPclip{\ResultatArrondi}{\ResultatArrondi} \FPsub{\Residu}{\Resultat}{\ResultatArrondi} \FPifzero{\Signe} \def\CoteGauche{#3#5}\FPset{NbrGauche}{#4}% #4>#6, l'hypoténuse est donc BC \def\CoteDroit{#2#5}\FPset{NbrDroit}{#6} \FPset{CarreAv}{BCcarre}\FPset{CarreAp}{ACcarre} \else \def\CoteGauche{#2#5}\FPset{NbrGauche}{#6}%#6>#4, l'hypoténuse est donc AC \def\CoteDroit{#3#5}\FPset{NbrDroit}{#4} \FPset{CarreAv}{ACcarre}\FPset{CarreAp}{BCcarre} \fi $\begin{aligned} {\CoteGauche}^2&={#2#3}^2+{\CoteDroit}^2\\ \nombrefr{\NbrGauche}^2&={#2#3}^2+\nombrefr{\NbrDroit}^2\\ {#2#3}^2&=\nombrefr{\NbrGauche}^2-\nombrefr{\NbrDroit}^2\\ {#2#3}^2&=\nombrefr{\CarreAv}-\nombrefr{\CarreAp}\\ {#2#3}^2&=\nombrefr{\Difference}\\ {#2#3}&=\sqrt{\nombrefr{\Difference}}\\ {#2#3}&\SigneEgal{\Residu}\gras{\nombrefr{\ResultatArrondi}\text{ #7}} \end{aligned}$ } % __________________________________________________________________________ %| | %| Le réciproque de théorème de Pythagore complète (avec calculs) | %|__________________________________________________________________________| \newcommand*{\CalculPythagoreReciproque}[6]{ \FPmax{\MaxiAB}{#2}{#4} \FPmax{\MaxiBC}{#4}{#6} \FPmax{\MaxiAC}{#2}{#6} \FPifgt{#2}{\MaxiBC}\EcritureReciproquePythagore{#1}{#2}{#3}{#4}{#5}{#6}{#1#3#5}\else\fi \FPifgt{#4}{\MaxiAC}\EcritureReciproquePythagore{#3}{#4}{#5}{#6}{#1}{#2}{#1#3#5}\else\fi \FPifgt{#6}{\MaxiAB}\EcritureReciproquePythagore{#1}{#6}{#5}{#4}{#3}{#2}{#1#3#5}\else\fi } \newcommand*{\EcritureReciproquePythagore}[7]{% % #1#3 : extrémités hypoténuse % #2 : longueur hypoténuse % #5 : sommet angle droit % #4 et #6 : longueurs cotes angles droit % #7 : nom du triangle (avec les lettres dans l'ordre d'affichage) % % #1 % |\ % | \ % | \ % | \ % | \ % #6| \ #2 % | \ % | \ % |_ \ % |_|_______\ % #5 #4 #3 % \FPmul{\HypoCarre}{#2}{#2} \FPeval{\SommeCarre}{{#4}*{#4}+{#6}*{#6}} \FPclip{\HypoCarreClip}{\HypoCarre} \FPclip{\SommeCarreClip}{\SommeCarre} $\begin{aligned}% on aligne les équations sur le signe = {#1#3}^2 &={\nombrefr{#2}}^2 &=\nombrefr{\HypoCarreClip}\\ {#5#1}^2+{#5#3}^2 &={\nombrefr{#6}}^2+{\nombrefr{#4}}^2 &=\nombrefr{\SommeCarreClip} \end{aligned}$\smallskip \FPifeq{\HypoCarre}{\SommeCarre}% s'il y a égalité On obtient l'égalité ${#1#3}^2={#5#1}^2+{#5#3}^2$, donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \textbf{le triangle #7 est rectangle en #5}. \else ${#1#3}^2\ne{#5#1}^2+{#5#3}^2$ : on n'obtient pas d'égalité. La réciproque du théorème de Pythagore n'est pas vérifiée, et donc \textbf{le triangle #7 n'est pas rectangle}. \fi } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%% F I N D U P R É A M B U L E %%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \author{BriCàMatH} \title{Devoir surveillé 3ème : Trigonométrie et autres} \date{12/12/2007} \begin{document} \titre{Devoir surveillé \no4} \DoubleLigne{\ladate{3\ieme C -- Le mercredi 12/12/2007}} \ladate{\textbf{Calculatrice autorisée -- Pas de prêt ni d'échange de calculatrice !}} \exo{Exercice 1.} Dans cet exerccie, on pourra utiliser les valeurs exactes indiquées en bas de page \footnote{$\sin 30\degres=\cos 60\degres=\frac{1}{2}\qquad\sin45\degres=\cos45\degres=\frac{\sqrt{2}}{2}\qquad\sin60\degres=\cos30\degres=\frac{\sqrt{3}}{2}\qquad\tan 30\degres=\frac{\sqrt{3}}{3}\qquad\tan 45\degres=1\qquad\tan 60\degres=\sqrt{3}$}. \begin{minipage}{11.5cm} La figure ci-contre n'est pas représentée en vraie grandeur et n'est pas à reproduire.\par\medskip Dans cette figure, on sait que :\medskip \begin{Puces} \item $EO=5\text{ cm}$, $OC=3\text{ cm}$ et $OA=6\text{ cm}$; \item les points E, O et C sont alignés; \item les triangles ENO et OCA sont respectivement rectangles en E et C; \item la droite (AO) recoupe la droite (NE) en S. \end{Puces}\medskip \begin{Questions} \item Montrer que la longueur AC, en cm est $3\sqrt{3}$. \item% \begin{SousQuestions} \item Montrer que les droites (NS) et (AC) sont parallèles. \item Calculer les valeurs exactes de OS et ES. \end{SousQuestions} \item Calculer la valeur exacte de ON, sachant que \Angle{NOE}=30\degres. Donner également la valeur approchée au mm. \item % \begin{SousQuestions} \item Calculer l'angle \Angle{COA}. \item Démontrer que le triangle SON est rectangle. \end{SousQuestions} \end{Questions} \end{minipage} \begin{minipage}{6cm} \psset{unit=1.0cm,algebraic=true} \begin{pspicture*}(0.5,-4)(6.5,4.5) \psline[linewidth=0.5pt](6,1.28)(5.72,1.28)(5.72,1) \psline[linewidth=0.5pt](1.28,1)(1.28,1.28)(1,1.28) \pspolygon(4,1)(6,1)(6,4)(4,1)(1,3)(1,1)(4,1)(1,-3.5)(1,1) \pscustom{\parametricplot{2.5535900500422257}{3.141592653589793}{0.7*cos(t)+4|0.7*sin(t)+1}} \rput[tl](2.9,1.3){{\footnotesize 30\degres}} \rput[tl](2,0.92){{\footnotesize 5 cm}} \rput[tl](4.74,0.92){{\footnotesize 3 cm}} \rput[tl]{56.3}(4.6,2.4){{\footnotesize 6 cm}} \rput[bl](6.16,0.9){C} \rput[bl](6.14,4.14){A} \rput[bl](3.86,1.2){O} \rput[bl](0.68,0.92){E} \rput[bl](0.82,3.14){N} \rput[bl](0.84,-3.88){S} \end{pspicture*} \end{minipage} \exo{Exercice 2.} Le croquis ci-contre représente une échelle [NP] de 5 m appuyée sur un mur (représenté hachuré) perpendiculaire au sol.\par\medskip Le sommet N de l'échelle se trouve juste au sommet du mur. La hauteur du mur est de 4 m.\par\bigskip \begin{minipage}{11cm} \begin{Questions} \item Calculer la distance MP entre le pied du mur et le pied de l'échelle. \item L'inclinaison de l'échelle par rapport au sol horizontal est la mesure de l'angle \Angle{MPN}. Déterminer la valeur, arrondie au degré, de cette mesure. \item Afin que l'échelle ne glisse pas sur le sol, on tend une corde entre un anneau A situé à 1 m de hauteur sur le mur, et un barreau B de l'échelle situé à $1,25$ m du bas de l'échelle (voir figure).\par \begin{SousQuestions} \item Calculer NA et NB. \item La corde est-elle parallèle au sol ? \end{SousQuestions} \end{Questions} \end{minipage} \begin{minipage}{6.5cm} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm} \begin{pspicture*}(0,0.4)(6.5,4.5) \pspolygon[linewidth=1.2pt,fillstyle=hlines,hatchwidth=0.5pt](2,1)(2,4)(3,4)(3,1) \psline(0.5,1)(6.5,1) \psline(3,4)(5.5,1) \psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](3,1.68)(4.93,1.68) \psline{<->}(1.48,4)(1.48,1) \psline{<->}(3.57,1.68)(3.57,1) \psline{<->}(5.31,1.99)(5.87,1.31) \rput[tl]{-50.2}(5.6,2.15){{\footnotesize1,25 m}} \rput[tl]{90}(3.25,1.05){{\footnotesize1 m}} \rput[tl]{90}(1.2,2.3){{\footnotesize4 m}} \rput[bl](3.08,4.12){N} \rput[bl](2.8,0.64){M} \rput[bl](5.52,0.62){P} \psdots[dotsize=2.5pt](4.93,1.68) \rput[bl](5,1.7){B} \psdots[dotsize=2.5pt](3,1.68) \rput[bl](3.08,1.8){A} \end{pspicture*} \end{minipage} \exo{Exercice 3.} On donne l'expression littérale $A=25-(3-2x)^2$ \begin{Questions} \item Développer et réduire A. \item Factoriser A. \item Calculer A lorsque $x=\sqrt{3}$, et donner le résultat sous la forme $a+b\sqrt{3}$, où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs. \end{Questions} \exo{Exercice 4.} \begin{Questions} \item $\alpha$ est un angle aigu tel que $\cos\alpha=\dfrac{2}{3}$\par Calculer la valeur exacte de $\sin\alpha$ et en déduire celle de $\tan\alpha$. \item $x$ est un angle aigu. Exprimer plus simplement : $(\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2$. \end{Questions} \pagebreak \DoubleLigne{\titre{Correction du devoir surveillé \no4}} \exo{Exercice 1.} \begin{Questions} \item \PythagoreDirect*[3]OAC :\par $ OA^2=OC^2+AC^2\\ 6^2=3^2+AC^2\\ AC^2=36-9=27\qquad AC=\sqrt{27}=\sqrt{9}\sqrt{3}=\gras{3\sqrt{3}\text{ cm}} $ \item% \begin{SousQuestions} \item Les droites (NS) et (AC) sont perpendiculaires à la même droite (EC) donc \textbf{(NS) est parallèle à (AC)}. \item \ThalesDirectTrois*{O}{A}{S}{C}{E} ce qui donne $\dfrac{6}{OS}=\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\sqrt{3}}{ES}$\par De l'égalité $\dfrac{6}{OS}=\dfrac{3}{5}$, on tire que $OS=\dfrac{6\times5}{3}=\dfrac{30}{3}=\gras{10\text{ cm}}$\par De l'égalité $\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\sqrt{3}}{ES}$, on tire que $ES=\dfrac{5\times\cancel{3}\sqrt{3}}{\cancel{3}}=\gras{5\sqrt{3}\text{ cm}}$ \end{SousQuestions} \item Dans le triangle NOE rectangle en E : $\cos\Angle{NOE}=\dfrac{OE}{ON}\qquad\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{5}{ON}\qquad ON=\dfrac{5\times2}{\sqrt{3}}=\gras{\dfrac{10\sqrt{3}}{3}}\approx\gras{5,8\text{ cm}}$ \item% \begin{SousQuestions} \item Dans le triangle OAC, rectangle en C : $\cos\Angle{COA}=\dfrac{OC}{OA}\qquad\cos\Angle{COA}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$, et donc $\gras{\Angle{COA}=60\degres}$ \item Les angles \Angle{COA} et \Angle{EOS} sont opposés par le sommet donc égaux : $\Angle{EOS}=60\degres$\par Et donc : $\Angle{NOS}=\Angle{NOE}+\Angle{EOS}=30\degres+60\degres=90\degres$ : \textbf{Le triangle NOS est donc bien rectangle en O}. \end{SousQuestions} \end{Questions} \exo{Exercice 2.} \begin{Questions} \item Dans le triangle MNP rectangle en M, d'après le théorème de Pythagore : $NP^2=MN^2+MP^2$\par On obtient après calculs : $MP=\gras{3\text{ m}}$ \item Dans le triangle MNP rectangle en M : $\sin\Angle{MPN}=\dfrac{MN}{NP}\qquad\sin\Angle{MPN}=\dfrac{4}{5}\qquad\gras{\Angle{MPN}\approx53\degres}$ \item% \begin{SousQuestions} \item $NA=NM-AM=4-1=\gras{3\text{ m}}$\qquad et\qquad $NB=NP-BP=5-1,25=\gras{3,75\text{ m}}$ \item $\dfrac{NA}{NM}=\dfrac{3}{4}\qquad\qquad\dfrac{NB}{NP}=\dfrac{3,75}{5}=\dfrac{375}{500}=\dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}$\par \ThalesReciproque*{N}{A}{M}{B}{P}\textbf{La corde est bien parallèle au sol}. \end{SousQuestions} \end{Questions} \exo{Exercice 3.} \begin{Questions} \begin{multicols}{3} \item$ A=25-(3-2x)^2\\ A=25-(9-12x+4x^2)\\ A=25-9+12x-4x^2\\ \gras{A=-4x^2+12x+16}$\columnbreak \item$ A=25-(3-2x)^2\\ A=5^2-(3-2x)^2\\ A=[5-(3-2x)][5+(3-2x)]\\ A=(5-3+2x)(5+3-2x)\\ \gras{A=(2x+2)(-2x+8)}$\columnbreak \item$ A=-4(\sqrt{3})^2+12\sqrt{3}+16\\ A=-4\times3+12\sqrt{3}+16\\ A=-12+12\sqrt{3}+16\\ \gras{A=4+12\sqrt{3}}$ \end{multicols} \end{Questions} \exo{Exercice 4.} \begin{Questions} \item\begin{multicols}{2} De la relation $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, on a :\par $\begin{aligned} \sin^2\alpha+\left( \dfrac{2}{3} \right)^2&=1\\ \sin^2\alpha&=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{9}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}\\ \sin\alpha&=\sqrt{\dfrac{5}{9}}=\gras{\dfrac{\sqrt{5}}{3}} \end{aligned}$\columnbreak De la relation $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, on a :\par $\begin{aligned} \tan\alpha&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}}{3}}{\dfrac{2}{3}}\\ \tan\alpha&=\dfrac{\sqrt{5}}{\cancel{3}}\times\dfrac{\cancel{3}}{2}=\gras{\dfrac{\sqrt{5}}{2}} \end{aligned}$ \end{multicols} \item $ (\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x-(\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x)\\ (\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2=\cancel{\sin^2 x}+2\sin x\cos x+\cancel{\cos^2 x}-\cancel{\sin^2 x}+2\sin x\cos x-\cancel{\cos^2 x}\\ (\sin x+\cos x)^2-(\sin x-\cos x)^2=\gras{4\sin x\cos x} $ \end{Questions} \end{document}