\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\cfoot{Page \thepage/\pageref{dernierepage}}
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\footrulewidth0.4pt
\pagestyle{fancy}
\begin{document}
\vfill
\begin{center}
\shadowbox{\Large\bf\sc{Brevet Blanc n°2}}
\end{center}
\vfill
\par{\bf Classe de 3\ieme}\hfill{\bf Le 31 Janvier 2002}\par
\hrulefill\par
{\em\bf L'emploi des calculatrices est autorisé (circulaire n°86-228 du 28 juillet 1986 publiée au B.O.
 n°34 du 2 octobre 1986).
\par En plus des points prévus pour chacune des trois parties de l'épreuve, la présentation,
 la rédaction et l'orthographe seront évaluées sur 4 points.
\par Le sujet est composé de \pageref{dernierepage} feuilles numérotées \thepage{}/\pageref{dernierepage},
\pageref{num}/\pageref{dernierepage}, \pageref{geo}/\pageref{dernierepage} et
\pageref{dernierepage}/\pageref{dernierepage}.}
\par\hrulefill\par\vfill
\pagebreak
\section*{Activités Numériques}\label{num}
\exo{1}
\begin{enumerate}
\item On donne
$$A=\left(-4+3\times\frac{2}{7}\right)\div\frac{3}{14}\kern2cm
B=\frac{4-(2-5)^2}{4+5}$$
\par Calculer les nombres $A$ et $B$. Ecrire les étapes et donner les
résultats sous forme de fractions irréductibles.
\item On donne
$$C=5\sqrt{20}+\sqrt{45}\kern2cm
D=5\sqrt{20}\times\sqrt{45}\times\sqrt5$$
\par Calculer les nombres $C$ et $D$ en donnant les résultats sous la
forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ le plus petit
possible.
\item Calculer $E^2$ sachant que $E=4-\sqrt5$.
\end{enumerate}
\exo{2}
\begin{enumerate}
\item On donne $F=(4x-3)^2-(x+3)(3-9x)$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $(4x-3)^2$.
\item Montrer que $F=(5x)^2$.
\item Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $F=125$.
\end{enumerate}
\item On donne $C=(3x-2)^2-25$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $C$.
\item Factoriser $C$.
\item Résoudre l'équation $(3x-7)(x+1)=0$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo{3} Pour équiper une salle de réunion, M. Dupont achète des
chaises et des tabourets. Chaque chaise coûte 30\euro\, et chaque
tabouret 20\euro. Il paie au total 1\,030\euro.
\par Il a acheté 6 chaises de plus que de tabourets.
\par Quel est le nombre de chaises et le nombre de tabourets achetés
par M.Dupont ?
\pagebreak
\section*{Activités Géométriques}\label{geo}
\exo{1}\par Le parallélèpipède rectangle de la figure ci-dessous a été
coupé par un plan parallèle à l'arête $[BC]$.
\par On donne $EF=25\,cm$, $HK=20\,cm$, $KE=15\,cm$.
$$\includegraphics{0102bb2fig.0}$$
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la section plane $EFGH$ ?
\item Calculer $HE$.
\item Que peut-on déduire des questions précédentes pour le
  quadrilatère $EFGH$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\exo{2} Soit $ABCD$ un quadrilatère tel que $\widehat{ABC}=90$°,
$AD=10\,cm$, $CD=8\,cm$, $AB=3,6\,cm$ et $BC=4,8\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Réaliser une figure en grandeur réelle.
\item Calculer la longueur $AC$ et montrer que le triangle $ACD$ est
  rectangle.
\item Calculer une valeur arrondie au degré de l'angle
  $\widehat{BAC}$.
\item Montrer que le triangle $ABC$ est une réduction du triangle
  $ACD$ dont on précisera le coefficient de réduction.
\end{enumerate}
\par\parpic[r]{\includegraphics{0102bb2fig.1}}
\begin{minipage}{12cm}
\exo{3} Une boîte est formée d'un cylindre de hauteur $8\,cm$,
surmonté d'une demi-sphère de rayon $3\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume $\cal V$ de la boîte en $cm^3$. On donnera la
  valeur exacte et une valeur approchée au $mm^3$.
\item Cette boîte est agrandie avec un coefficient $k=2$.
\par Calculer le volume ${\cal V}'$ de la boîte agrandie en $cm^3$. On donnera la
  valeur exacte et une valeur approchée au $mm^3$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\pagebreak
\section*{Problème}
\paragraph{Première Partie} $EFG$ est un triangle isocèle en $E$ tel
que $FG=5\,cm$ et $EG=6\,cm$.
\par Le cerlce $({\cal C})$ de centre $O$ et de diamètre $[EG]$ coupe
le segment $[FG]$ en $K$.
\begin{enumerate}
\item Réaliser la figure en vraie grandeur sur la feuille blanche
  fournie.
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $EKG$ ? Justifier la réponse.
\item Démontrer que $K$ est le milieu du segment $[FG]$.
\item Calculer la valeur exacte de la longueur $EK$. Donner une valeur
  approchée à $1\,mm$ près.
\end{enumerate}
\item Soit $S$ le symétrique du point $K$ par rapport au point $O$.
\begin{enumerate}
\item Placer le point $S$ sur la figure.
\item Démontrer que le quadrilatère $ESGK$ est un rectangle.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\paragraph{Deuxième Partie} Compléter la figure en placant un point
$P$, distinct du point $O$, sur le segment $[EG]$. Tracer la parallèle
à la droite $(FG)$ passant par $P$ : elle coupe la droite $(EF)$ en
$R$.
\par On nomme $x$ la longueur du segment $[EP]$ exprimée en
centimètres.
\begin{enumerate}
\item Préciser, sans aucune justification, la nature du triangle $EPR$.
\item Démontrer que $$PR=\frac{5}{6}x$$
\item Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre du triangle $EPR$.
\item Démontrer que le périmètre ${\cal P}$ du trapèze $RPGF$ est 
$${\cal P}=\frac{-7x}{6}+17$$
\item Peut-on trouver une position du point $P$ sur le segment $[EG]$
  pour laquelle le triangle $EPR$ et le trapèze $RPGF$ aient le même
  périmètre ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\label{dernierepage}
\end{document}

