\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\columnseprule0.25pt
\begin{document}
\small
\begin{center}{\bf\Large Correction du Brevet Blanc n°2}
\end{center}
\begin{multicols}{2}
\section*{Activités Numériques}\label{num}
\exo{1}
\begin{enumerate}
\item{\em On donne
$$A=\left(-4+3\times\frac{2}{7}\right)\div\frac{3}{14}\kern2cm
B=\frac{4-(2-5)^2}{4+5}$$
\par Calculer les nombres $A$ et $B$. Ecrire les étapes et donner les
résultats sous forme de fractions irréductibles.}
$$\Eqalign{
A&=\left(-4+3\times\frac{2}{7}\right)\div\frac{3}{14}\kern1.5cm&B&=\frac{4-(2-5)^2}{4+5}\cr
A&=\left(-4+\frac{6}{7}\right)\div\frac{3}{14}&B&=\frac{4-(-3)^2}{9}\cr
A&=\left(\frac{-28}{7}+\frac{6}{7}\right)\div\frac{3}{14}&B&=\frac{4-9}{9}\cr
A&=\frac{-22}{7}\div\frac{3}{14}&B&=-\frac{5}{9}\cr
A&=\frac{-22}{7}\times\frac{14}{3}\cr
A&=\frac{-22\times2\times7}{7\times3}\cr
A&=-\frac{44}{3}\cr
}$$
\item{\em On donne
$$C=5\sqrt{20}+\sqrt{45}\kern2cm
D=5\sqrt{20}\times\sqrt{45}\times\sqrt5$$
\par Calculer les nombres $C$ et $D$ en donnant les résultats sous la
forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ le plus petit
possible.}
$$\Eqalign{
C&=5\sqrt{20}+\sqrt{45}\kern2cm&D&=5\sqrt{20}\times\sqrt{45}\times\sqrt5\cr
C&=5\sqrt{4\times5}-\sqrt{9\times5}&D&=5\sqrt{900}\times\sqrt5\cr
C&=5\times\sqrt4\times\sqrt5-\sqrt9\times\sqrt5&D&=5\times30\times\sqrt5\cr
C&=5\times2\times\sqrt5-3\sqrt5&D&=150\sqrt5\cr
C&=10\sqrt5-3\sqrt5\cr
C&=7\sqrt5\cr
}$$
\item{\em Calculer $E^2$ sachant que $E=4-\sqrt5$.}
$$\Eqalign{
E^2&=\left(4-\sqrt5\right)^2\cr
E^2&=4^2-2\times4\times\sqrt5+\left(\sqrt5\right)^2\cr
E^2&=16-8\sqrt5+5\cr
E^2&=21-8\sqrt5\cr
}$$
\end{enumerate}
\exo{2}
\begin{enumerate}
\item{\em On donne $F=(4x-3)^2-(x+3)(3-9x)$.}
\begin{enumerate}
\item{\em Développer et réduire $(4x-3)^2$.}
$$\Eqalign{
(4x-3)^2&=(4x)^2-2\times4x\times3+3^2\cr
(4x-3)^2&=16x^2-24x+9\cr
}$$
\item{\em Montrer que $F=(5x)^2$.}
$$\Eqalign{
F&=(4x-3)^2-(x+3)(3-9x)\cr
F&=16x^2-24x+9-\left(3x-9x^2+9-27x\right)\cr
F&=16x^2-24x+9-3x+9x^2-9+27x\cr
F&=25x^2\cr
F&=(5x)^2\cr
}$$
\item{\em Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $F=125$.}
\par On a
$$\Eqalign{
F&=(5x)^2\cr
(5x)^2&=125\cr
}$$
\par Comme 125 est strictement positif, l'équation admet deux
solutions
$$\Eqalign{
5x&=\sqrt{125}\kern1cm&5x&=-\sqrt{125}\cr
5x&=\sqrt{25\times5}&5x&=-\sqrt{25\times5}\cr
5x&=5\sqrt5&5x&=-5\sqrt5\cr
x&=\sqrt5&x&=-\sqrt5\cr
}$$
\par Donc les solutions de l'équation $F=125$ sont $x=\sqrt5$ et $x=-\sqrt5$.
\end{enumerate}
\item{\em On donne $C=(3x-2)^2-25$.}
\begin{enumerate}
\item{\em Développer et réduire $C$.}
$$\Eqalign{
C&=(3x-2)^2-25\cr
C&=(3x)^2-2\times3x\times2+2^2-25\cr
C&=9x^2-12x+4-25\cr
C&=9x^2-12x-21\cr
}$$
\item{\em Factoriser $C$.}
$$\Eqalign{
C&=(3x-2)^2-25\cr
C&=(3x-2)^2-5^2\cr
C&=(3x-2-5)\times(3x-2+5)\cr
C&=(3x-7)\times(3x+3)\cr
C&=(3x-7)\times3\times(x+1)\cr
C&=3(3x-7)(x+1)\cr
}$$
\item{\em Résoudre l'équation $(3x-7)(x+1)=0$.}
\par C'est une équation-produit donc
$$\Eqalign{
3x-7&=0\kern1cm\mbox{ou}\kern1cm&x+1&=0\cr
3x&=7&x&=-1\cr
x&=\frac{7}{3}\cr
}$$
\par Les solutions de l'équation $(3x-7)(x+1)=0$ sont $x=\dfrac{7}{3}$
et $x=-1$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo{3}{\em Pour équiper une salle de réunion, M. Dupont achète des
chaises et des tabourets. Chaque chaise coûte 30\euro\, et chaque
tabouret 20\euro. Il paie au total 1\,030\euro.
\par Il a acheté 6 chaises de plus que de tabourets.
\par Quel est le nombre de chaises et le nombre de tabourets achetés
par M.Dupont ?}
\par Soit $x$ le nombre de tabourets : par conséquent, $x+6$ est le
nombre de chaises. On obtient alors
$$\Eqalign{
\underbrace{20\times x}_{\mbox{prix des
    tabourets}}+\underbrace{30\times(x+6)}_{\mbox{prix des
    chaises}}&=\underbrace{1\,030}_{\mbox{prix total}}\cr
20x+30x+180&=1\,030\cr
50x+180&=1\,030\cr
50x&=1\,030-180\cr
50x&=850\cr
x&=\frac{850}{50}\cr
x&=17\cr
}$$
\par Le nombre de tabourets est de 17 et le nombre de chaises est de 17+6
c'est-à-dire 23.
\end{multicols}
\pagebreak
\begin{multicols}{2}
\section*{Activités Géométriques}\label{geo}
\exo{1}{\em Le parallélèpipède rectangle de la figure ci-dessous a été
coupé par un plan parallèle à l'arête $[BC]$.
\par On donne $EF=25\,cm$, $HK=20\,cm$, $KE=15\,cm$.}
$$\includegraphics[scale=0.8]{0102bb2fig.0}$$
\begin{enumerate}
\item{\em Quelle est la nature de la section plane $EFGH$ ?}
\par D'après l'énoncé, la section est obtenue par la coupe du
parallélèpipède rectangle par un plan parallèle à l'arête $[BC]$. Donc
la section plane $EFGH$ est un rectangle.
\item{\em Calculer $HE$.}
\par Dans le triangle $EHK$, rectangle en $K$, le théorème de
Pythagore permet d'écrire
$$\Eqalign{
EH^2&=EK^2+KH^2\cr
EH^2&=15^2+20^2\cr
EH^2&=225+400\cr
EH^2&=625\cr
EH&=\sqrt{625}\cr
EH&=25\,cm\cr
}$$
\par La longueur $HE$ mesure $25\,cm$.
\item{\em Que peut-on déduire des questions précédentes pour le quadrilatère $EFGH$ ? Justifier la réponse.}
\par D'après la question 1, on sait que $EFGH$ est un
rectangle. D'après la question 2, on sait que $EH=25\,cm$ donc
$EH=EF$.
\par On obtient donc un rectangle possèdant deux côtés consécutifs de
même longueur : $EFGH$ est un carré.
\end{enumerate}
\exo{2}{\em $ABCD$ un quadrilatère tel que $\widehat{ABC}=90$°,
$AD=10\,cm$, $CD=8\,cm$, $AB=3,6\,cm$ et $BC=4,8\,cm$.}
\begin{enumerate}
\item{\em Réaliser une figure en grandeur réelle.}
\item{\em Calculer la longueur $AC$ et montrer que le triangle $ACD$ est rectangle.}
\par Dans le triangle $ABC$, rectangle en $B$, le théorème de
Pythagore permet d'écrire :
$$\Eqalign{
AC^2&=AB^2+BC^2\cr
AC^2&=3,6^2+4,8^2\cr
AC^2&=12,96+23,04\cr
AC^2&=36\cr
AC&=\sqrt{36}\cr
AC&=6\,cm\cr
}$$
\par Dans le triangle $ACD$, $[AD]$ est le plus grand côté.
$$\left.
\begin{tabular}{l}
$AD^2=10^2=\underline{100}$\\
$AC^2+CD^2=6^2+8^2=\underline{100}$\\
\end{tabular}
\right\}AD^2=AC^2+CD^2
$$
\par Comme $AD^2=AC^2+CD^2$, alors le triangle $ACD$ est rectangle en
$C$ d'après la réciproque du théorème de Pyhtagore.
\item{\em Calculer une valeur arrondie au degré de l'angle $\widehat{BAC}$.}
\par Dans le triangle $ABC$, rectangle en $B$, on a 
$$\Eqalign{
\cos\widehat{ABC}&=\frac{AB}{AC}\cr
\cos\widehat{BAC}&=\frac{3,6}{6}\cr
\widehat{ABC}&\simeq53\mbox{°}\cr
}$$
\item{\em Montrer que le triangle $ABC$ est une réduction du triangle $ACD$ dont on précisera le coefficient de réduction.}
\par
$$\left.
\begin{tabular}{l}
$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3,6}{6}=0,6$\\
\\
$\dfrac{BC}{CD}=\dfrac{4,8}{8}=0,6$\\
\\
$\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{6}{10}=0,6$\\
\end{tabular}
\right\}\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}
$$
\par Comme $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BC}{CD}=\dfrac{AC}{AD}$ alors le
triangle $ABC$ est une réduction du triangle $ACD$ et le coefficient
de réduction est 0,6.
\end{enumerate}
\exo{3}{\em Une boîte est formée d'un cylindre de hauteur $8\,cm$, surmonté d'une demi-sphère de rayon $3\,cm$.}
$$\includegraphics[scale=0.8]{0102bb2fig.1}$$
\begin{enumerate}
\item{\em Calculer le volume $\cal V$ de la boîte en $cm^3$. On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au $mm^3$.}
\par Soit $\cal V$ le volume de la boîte, ${\cal V}_1$ le volume du
cylindre et ${\cal V}_2$ le volume de la demi-sphère.
$$\Eqalign{
{\cal V}_1&=\pi\times R^2\times h\kern1cm&{\cal
  V}_2&=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\pi\times R^3\cr
\cr
{\cal V}_1&=\pi\times 3^2\times 8&{\cal
  V}_2&=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\pi\times 3^3\cr
\cr
{\cal V}_1&=72\pi\,cm^3&{\cal V}_2&=18\pi\,cm^3\cr
}$$
\par Donc
$$\Eqalign{
{\cal V}&={\cal V}_1+{\cal V}_2\cr
{\cal V}&=72\pi+18\pi\cr
{\cal V}&=90\pi\,cm^3\cr
\cr
{\cal V}&\simeq282,743\,cm^3\cr
}$$
\item{\em Cette boîte est agrandie avec un coefficient $k=2$.
\par Calculer le volume ${\cal V}'$ de la boîte agrandie en $cm^3$. On
donnera la valeur exacte et une valeur approchée au $mm^3$.}
\par On obtient
$$\Eqalign{
{\cal V}'&=2^3\times{\cal V}\cr
{\cal V}'&=8\times90\pi\cr
{\cal V}'&=720\pi\,cm^3\cr
\cr
{\cal V}'&\simeq2\,261,947\,cm^3\cr
}$$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\pagebreak
\begin{multicols}{2}
\section*{Problème}
\paragraph{Première Partie}{\em $EFG$ est un triangle isocèle en $E$ tel
que $FG=5\,cm$ et $EG=6\,cm$.
\par Le cercle $({\cal C})$ de centre $O$ et de diamètre $[EG]$ coupe
le segment $[FG]$ en $K$.}
\begin{enumerate}
\item{\em Réaliser la figure en vraie grandeur sur la feuille blanche fournie.}
\item
\begin{enumerate}
\item{\em Quelle est la nature du triangle $EKG$ ? Justifier la réponse.}
\par Le point $K$ appartient au cercle de diamètre $[EG]$ donc le
triangle $EKG$ est rectangle en $K$.
\item{\em Démontrer que $K$ est le milieu du segment $[FG]$.}
\par Comme le tiangle $EFG$ est isocèle en $E$ alors le point $E$
appartient à la médiatrice du segment $[FG]$. De plus, la droite
$(EK)$ est perpendiculaire à la droite $(FG)$. Donc la droite $(EK)$
est la médiatrice du segment $[FG]$. Par conséquent, $K$ est le milieu
du segment $[FG]$.
\item{\em Calculer la valeur exacte de la longueur $EK$. Donner une valeur
  approchée à $1\,mm$ près.}
\par Comme $K$ est le milieu du segment $[FG]$ alors
$FK=\dfrac{FG}{2}=\dfrac{5}{2}=2,5\,cm$.
\par Dans le triangle $EKG$, rectangle en $K$, le théorème de
Pythagore permet d'écrire
$$\Eqalign{
EG^2&=EK^2+KG^2\cr
6^2&=EK^2+2,5^2\cr
36&=EK^2+6,25\cr
EK^2&=36-6,25\cr
EK^2&=29,75\cr
EK&=\sqrt{29,75}\cr
EK&\simeq5,5\,cm\cr
}$$
\par La longueur $EK$ mesure environ $5,5\,cm$.
\end{enumerate}
\item{\em Soit $S$ le symétrique du point $K$ par rapport au point $O$.}
\begin{enumerate}
\item{\em Placer le point $S$ sur la figure.}
\item{\em Démontrer que le quadrilatère $ESGK$ est un rectangle.}
\par Comme $S$ est le symétrique du point $K$ par rapport au point $O$
alors le point $O$ est le milieu du segment $[KS]$.
\par Comme $O$ est le centre du cercle de diamètre $[AG]$ alors le
point $O$ est le milieu du segment $[EG]$.
\par Donc les diagonales du quadrilatère $ESGK$ ont le même milieu $O$
: $ESGK$ est alors un parallélogramme.
\par De plus, le parallélogramme $ESGK$ possède un angle droit
(d'après la question 2.a.) : $ESGK$ est donc un rectangle.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\paragraph{Deuxième Partie}{\em Compléter la figure en placant un point
$P$, distinct du point $O$, sur le segment $[EG]$. Tracer la parallèle
à la droite $(FG)$ passant par $P$ : elle coupe la droite $(EF)$ en
$R$.
\par On nomme $x$ la longueur du segment $[EP]$ exprimée en
centimètres.}
\begin{enumerate}
\item{\em Préciser, sans aucune justification, la nature du triangle
    $EPR$.}
\par
$$\left\{
\begin{tabularx}{7cm}{X}
Le triangle $EFG$ est coupé par un droite parallèle à la droite $(FG)$
donc le triangle $ERP$ est une réduction du triangle $EFG$ et de
rapport $k$. Donc\par$EP=k\times
EG=k\times\underbrace{EF}_{\mbox{car $EF=EG$}}=ER$ : le triangle $ERP$
est isocèle en $E$.
\end{tabularx}
\right.
$$
\par Le triangle $EPR$ est isocèle en $E$.
\item{\em Démontrer que }$$PR=\frac{5}{6}x$$
\par Dans le triangle $EFG$, $P$ est un point de la droite $(EG)$, $R$
est un point de la droite $(EF)$ tels que les droites $(RP)$ et $(FG)$
soient parallèles. Alors le Théorème de Thalès permet d'écrire
$$\Eqalign{
\frac{EP}{EG}&=\frac{ER}{EF}=\frac{PR}{GF}\cr
\frac{x}{6}&=\frac{x}{6}=\frac{PR}{5}\cr
}$$
\par On utilise
$\dfrac{x}{6}=\dfrac{PR}{5}$ d'où $PR=\dfrac{5\times x}{6}$ ou $PR=\dfrac{5}{6}x$.
\item{\em Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre du triangle $EPR$.}
\par Soit $p$ le périmètre du triangle $EPR$.
$$\Eqalign{
p&=EP+PR+RE\cr
p&=x+\frac{5}{6}x+x\cr
p&=\frac{6}{6}x+\frac{5}{6}x+\frac{6}{6}x\cr
p&=\frac{17}{6}x\cr
}$$
\item{\em Démontrer que le périmètre ${\cal P}$ du trapèze $RPGF$ est }
$${\cal P}=\frac{-7x}{6}+17$$
\par Comme $P$ appartient au segment $[EG]$ donc
$$\Eqalign{
EG&=EP+PG\cr
6&=x+PG\cr
PG&=6-x\cr
}$$
\par On a $FR=PG=6-x$.
\par Donc
$$\Eqalign{
{\cal P}&=RP+PG+GF+FR\cr
{\cal P}&=\frac{5}{6}x+6-x+5+6-x\cr
{\cal P}&=\frac{5}{6}x-\frac{6}{6}x-\frac{6}{6}x+6+5+6\cr
{\cal P}&=-\frac{7}{6}x+17\cr
}$$
\item{\em Peut-on trouver une position du point $P$ sur le segment $[EG]$ pour laquelle le triangle $EPR$ et le trapèze $RPGF$ aient le même périmètre ? Justifier la réponse.}
\par Il faut obtenir
$$\Eqalign{
p&={\cal P}\cr
\frac{17}{6}x&=-\frac{7}{6}x+17\cr
\frac{17}{6}x+\frac{7}{6}x&=17\cr
\frac{24}{6}x&=17\cr
4x&=17\cr
x&=\frac{17}{4}\cr
x&=4,25\cr
}$$
\par Si $P$ est situé sur le segment $[EG]$ tel que $EP=4,25\,cm$
alors le triangle $EPR$ et le trapèze $RPGF$ ont le même périmètre.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{document}

