\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\cfoot{Page \thepage/\pageref{dernierepage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\footrulewidth0.4pt
\pagestyle{fancy}
\begin{document}
\vfill
\begin{center}
\shadowbox{\Large\bf\sc{Brevet Blanc n°3}}
\end{center}
\vfill
\par{\bf Classe de 3\ieme}\hfill{\bf Le 7 Mai 2002}\par
\hrulefill\par
{\em\bf L'emploi des calculatrices est autorisé (circulaire n°86-228 du 28 juillet 1986 publiée au B.O.
 n°34 du 2 octobre 1986).
\par En plus des points prévus pour chacune des trois parties de l'épreuve, la présentation,
 la rédaction et l'orthographe seront évaluées sur 4 points.
\par Le sujet est composé de \pageref{dernierepage} feuilles numérotées \thepage{}/\pageref{dernierepage},
\pageref{num}/\pageref{dernierepage}, \pageref{geo}/\pageref{dernierepage} et
\pageref{dernierepage}/\pageref{dernierepage}.}
\par\hrulefill\par\vfill
\pagebreak
\section*{Activités Numériques}\label{num}
\exo{1}
\begin{enumerate}
\item Ecrire chacun des nombres $A$ et $B$ sous la forme d'une
  fraction irréductible :
$$\Eqalign{
A&=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times\frac{4}{7}-\frac{5}{4}\kern1cm
B&=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times\left(\frac{4}{7}-\frac{5}{4}\right)\cr
}$$
\item Ecrire chacun des nombres $C$ et $D$ sous la forme $a+b\sqrt6$,
  où $a$ et $b$ désignent deux nombres entiers :
$$\Eqalign{
C&=\left(\sqrt6+1\right)^2-\left(\sqrt6-1\right)^2\kern1cm
D&=\left(\sqrt6+1\right)\times\left(\sqrt6-1\right)\cr
}$$
\end{enumerate}
\exo{2} Soit l'expression $E=(-3x+5)(x+7)+(x+7)^2$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Ecrire $E$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier
  degré.
\item Calculer la valeur de $E$ pour $x=1$ et $x=-2$.
\item Résoudre l'équation $E=0$.
\end{enumerate}
\exo{3} Pour aller de Alphaville à Bétaville, il existe deux routes
possibles :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] le trajet (1) d'une longueur $d$; un automobiliste
  l'empruntant à la vitesse $V_1$ mettra le temps $t$ pour
  l'effectuer;
\item[$\bullet$] le trajet (2) d'une distance supérieure de $10\%$ au
  précédent; un automobiliste l'empruntant à la vitesse $V_2$ mettra
  un temps inférieur de $10\%$ au temps précédent pour l'effectuer.
\end{itemize}
\par Sachant que $V_1+V_2$ est égal à 200 kilomètres par heure,
calculer $V_1$ et $V_2$.
\pagebreak
\section*{Activités Géométriques}\label{geo}
\vskip5mm
{\bf Pour les figures des exercices ci-dessous, on utilisera
  \underline{exclusivement} la feuille blanche fournie.}
\vskip5mm
\exo{1} Soit un triangle $ABC$.
\begin{enumerate}
\item Construire les points $D$ et $E$ tels que
  $\vecteur{BE}=\vecteur{AB}=\vecteur{DA}$.
\item Construire le point $I$ tel que $\vecteur{CI}=\vecteur{CA}+\vecteur{CB}$.
\item Démontrer que
\begin{enumerate}
\item $\vecteur{DA}+\vecteur{BE}=\vecteur{DB}$.
\item $\vecteur{CA}+\vecteur{DA}+\vecteur{BE}=\vecteur{CE}$.
\item $\vecteur{CD}+\vecteur{BE}=\vecteur{CA}$.
\item $\vecteur{BI}=\vecteur{CA}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo{2} {\bf Pour cet exercice, on prendra la feuille blanche dans le
  sens de la longueur (mode paysage) et on commencera la figure du
  côté \underline{droit} de la feuille.}
\par {\em Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.}
\par Soit $ABCD$ un trapèze $ABCD$ rectangle en $A$ et $D$ tel que
  $AB=5$, $AD=6$, $CD=10$.
\par Soit $M$ un point quelconque du segment $[AD]$. On pose
$AM=x$.
\par La droite $(BM)$ coupe la droite $(CD)$ en $N$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer la longueur $DN$ en fonction de $x$.
\item On cherche à trouver une position particulière du point $M$, que
  l'on appellera $M_1$ (on obtiendra alors le point $N_1$), pour que le point $D$ soit le milieu du segment $[CN_1]$. Connaissant alors la mesure du segment $[DN_1]$, conclure en calculant la valeur de $x$ correspondante. Placer le point $M_1$ ainsi déterminé.
\item Donner alors une mesure à un degré près par défaut de l'angle
  $\widehat{CN_1B}$.
\end{enumerate}
\pagebreak
\section*{Problème}
{\em Dans ce problème, les longueurs sont mesurées en centimètres et les
aires en centimètres carrés.}
\begin{enumerate}
\item Soit un rectangle $ABCD$ tel que $AB=8$ et $AD=6$, et $M$ un
  point quelconque du segment $[BD]$. La perpendiculaire à la droite
  $(AB)$ passant par $M$ coupe la droite $(AB)$ en $N$. Construire la figure.
\item Calculer la longueur $BD$.
\item Pour la suite de ce problème, on pose $BM=x$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer les longueurs $MN$ et $AN$ en fonction de $x$.
\item\label{3c} En déduire l'aire ${\cal A}(x)$ du trapèze $ADMN$.
\end{enumerate}
\item En utilisant le résultat obtenu à la question \ref{3c},
  calculer:
\begin{enumerate}
\item ${\cal A}(1)$.
\item ${\cal A}(4)$.
\item ${\cal A}(10)$. Ce résultat peut-il être obtenu directement, sans utiliser l'expression ${\cal A}(x)$ ? Pourquoi ?
\end{enumerate}
\item On donne ci-dessous la représentation graphique de $\cal A$ dans
  un repère du plan.
\par ${\cal A}(x)$ est l'image de $x$ et se lit en ordonnée comme
indiqué sur le graphique.
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement, en laissant apparaître les traits construits pour la lecture, pour quelle(s) valeur(s) de $x$ l'aire du trapèze $ADMN$ mesure :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $18\,cm^2$
\item[$\bullet$] $4,5\,cm^2$
\end{itemize}
\item Déterminer graphiquement la mesure de l'aire du trapèze $ADMN$
  lorsque $x$ mesure $2\,cm$, puis lorsque $x$ mesure $5\,cm$.
\end{enumerate}
$$\includegraphics{0102bb3.1}$$
\item Déterminer par le calcul la valeur de $x$ pour laquelle les
  aires du trapèze $ADMN$ et du triangle $BNM$ sont égales.
\par Faire une figure en plaçant les points $M$ et $N$ correspondants.
\end{enumerate}
\label{dernierepage}
\end{document}

