index.tex

\documentclass[twocolumn]{article}
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\begin{document}
\hrule
\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°1\hfill301DM1a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo En détaillant sur ta copie, effectue les calculs suivants :
$$\Eqalign{
A&=\left(\frac{3}{7}+\frac{1}{14}\right)\times\frac{4}{9}\kern1cm&B&=\frac{2}{5}\div\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\kern1cm&C&=\left(\frac{2}{9}-\frac{3}{5}\times\frac{1}{2}\right)\div\frac{4}{7}\cr
}$$
\exo Développe et réduis les expressions suivantes
$$\Eqalign{
D&=2\times(x+7)\kern1.5cm&E&=(1+x)\times(x+2)\cr
F&=(x-5)(x-3)-(x+2)(x-4)\cr
}$$
\exo
Bertrand reçoit son argent de poche du mois par sa mère. Il va voir son grand-père et reçoit la même chose. Sur le chemin du retour, il trouve une pièce de 5\textgreek{\euro}. En arrivant chez lui, il s'aperçoit qu'il dispose de 75\textgreek{\euro}.
\par Quel est le montant mensuel de l'argent de poche de Bertrand ?
\exo Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ tel que $AB=12\,cm$ et $BC=5\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Calcule la longueur $AC$.
\item Détermine tous les angles du triangle $ABC$. On arrondira les valeurs obtenues à 1 degré prés.
\end{enumerate}
\exo Soit $EFG$  un triangle tel que $EF=4\,cm$, $EG=8\,cm$ et $\widehat{FEG}=60$°.
 Place le point $M$ sur le segment $[EF]$ tel que $EM=1\,cm$.\par Construis ensuite la parallèle à la droite $(FG)$ passant par le point $M$. Elle coupe la droite $(EG)$ en $N$.\par Calcule la longueur $EN$.
\vfill
\vskip10cm
\par
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°2\hfill301DM2a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo
\begin{enumerate}
\item Développe et réduis les expressions suivantes
$$\Eqalign{
A&=(x+2)^2\kern1cm&B&=(4-x)^2\cr
C&=(2x+1)(2x-1)&D&=(3x+1)^2+(2x-4)^2\cr
E&=(x-5)^2-(x+1)(x-2)\cr
}$$
\item Détermine la valeur de chacune des expressions précédentes pour $x=3$.
\end{enumerate}
\exo
\par
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics{301dmtous.1}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{7cm}
L'unité de longueur est le mètre.
\par Dans le triangle $ABC$ ci-contre, le segment $[AH]$ est une hauteur et le segment $[AM]$ une médiane.
\par On a $AB=3$, $AC=2$, $MH=1$ et on pose $BM=x$ et $AH=h$.
\begin{enumerate}
\item Prouve les deux égalités suivantes
$$h^2=8-x^2-2x\kern5mm\mbox{ et }\kern5mm h^2=3-x^2+2x$$
\item En déduire la valeur de $x$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\exo
\par
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics{301dmtous.2}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{6cm}
Une personne observe une éclipse de soleil. Cette situation est schématisée par le dessin ci-contre.\par L'observateur est en $T$ (Terre). Les points $S$ (centre du Soleil), $L$ (centre de la Lune) et $T$ sont alignés.\par Le rayon $SO$ du Soleil mesure $695\,000\,km$; le rayon $LU$ du la Lune mesure $1\,736\,km$; la distance $TS$ est 150 millions de $km$.\par Calcule la distance $TL$ (On donnera l'arrondi au $km$).
\end{minipage}
\par
\exo {\bf FACULTATIF}\par Démontre la propriété suivante
\par
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{12cm}
\Si, au produit de 3 nombres consécutifs, on ajoute le nombre \og{} du milieu\fg{} \alors on obtient le cube du nombre \og{}
du milieu\fg{}.
\end{minipage}
}
\end{center}
\vfill
\vskip10cm
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°3\hfill301DM3a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo
\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et $B$. On écrira les résultats sous la forme de fractions aussi simples que possible
$$\Eqalign{
A&=\frac{5}{7}-\frac{2}{7}\times\frac{4}{3}\qquad\qquad&B&=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\div\frac{2}{3}+1\cr
}$$
\end{enumerate}
\exo Donner l'écriture scientifique de $D$ en précisant les différentes étapes de calcul
$$D=\frac{3\times10^2\times5\times10^4}{12\times\left(10^3\right)^3}$$
\exo On donne $A=2(x+5)(2x-3)-(2x+5)^2$.
\begin{enumerate}
\item Développe et réduis $A$.
\item Calcule $A$ pour $x=1$.
\item Résous l'équation $A=5$.
\end{enumerate}
\exo L'unité est le centimètre. $EFG$ est un triangle tel que $EF=6$, $EG=8$, $FG=10$.
\begin{enumerate}
\item Fais une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
\item Dans cette partie, $M$ est un point de la demi-droite $[EF)$ tel que $M$ n'appartient pas au segment $[EF]$ et $FM=2$. La parallèle à la droite $(EG)$ passant par $M$ coupe la droite $(GF)$ en $L$.
\begin{enumerate}
\item Complète la figure.
\item Calcule les longueurs $FL$ et $LM$. On donnera chacun des résultats sous forme de fraction irréductible.
\item Calcule le périmètre ${\cal P}_1$ du triangle $EFG$ et le périmètre ${\cal P}_2$ du triangle $FML$.\par Démontre que ${\cal P}_2=\dfrac{1}{3}{\cal P}_1$.
\item Démontre que les triangles $EFG$ et $FML$ sont rectangles.
 \item Calcule l'aire ${\cal A}_1$ et l'aire ${\cal A}_2$ du triangle $FML$.
\par Prouve que ${\cal A}_2=\dfrac{1}{9}{\cal A}_1$.
\end{enumerate}
\item Dans cette deuxième partie, le point $M$ est toujours sur la demi-droite $[EF)$ et $M$ n'appartient pas au segment $[EF]$. On pose $FM=x$. La parallèle à la droite $(EG)$ passant par $M$, coupe la droite $(GF)$ en $L$.
\begin{enumerate}
\item Exprime les longueurs $ML$ et $FL$ en fonction de $x$.
\item Prouve que le périmètre ${\cal P}_1$ du triangle $FML$, exprimé en fonction de $x$, est égal à $4x$.
\item Pour quelle valeur de $x$ a-t-on ${\cal P}_1={\cal P}_2$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill\vskip10cm
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°4\hfill301DM4a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo
\begin{enumerate}
\item Donne l'écriture scientifique de $C=\dfrac{0,23\times10^3-1,7\times10^2}{0,5\times10^{-1}}$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Développe et réduis $E=(2x-1)^2-(2x-1)(x-3)$.
\item Calcule la valeur de $E$ pour $x=0$ puis pour $x=\dfrac{1}{2}$.
\item Résous l'équation $E=2x^2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo Simon a quarante livres, les uns ont une épaisseur de $5\,cm$, les autres une épaisseur de $3\,cm$. S'il les range sur un même rayon, ils occupent $1,80\,m$. Combien Simon a-t-il de livres de chaque catégorie ?
\exo
\par
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics{301dmtous.3}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{6cm}
 Sur la figure ci-contre, qui n'est pas en vraie grandeur:
\par $IR=8\,cm$, $RP=10\,cm$, $IP=4,8\,cm$, $IM=4\,cm$, $IS=10\,cm$, $IN=6\,cm$, $IT=6\,cm$
\par(On ne demande pas de refaire la figure.)
\begin{enumerate}
\item Démontre que les droites $(ST)$ et $(RP)$ sont parallèles.
\item Déduis-en la longueur $ST$.
\item Les droites $(MN)$ et $(ST)$ sont-elles parallèles ? Justifie.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\exo $ABC$ est un triangle tel que $AC=20\,cm$; $BC=16\,cm$; $AB=12\,cm$. $F$ est un point du segment $[BC]$. La perpendiculaire à la droite $(BC)$ passant par $F$ coupe le segment $[CA]$ en $E$. On a représenté sur la figure le segment $[BE]$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontre que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ et calcule son aire.
\item Démontre que la droite $(EF)$ est parallèle à la droite $(AB)$.
\end{enumerate}
\item On se place dans le cas où $CF=4\,cm$.\par Démontre que $EF=3\,cm$ et calcule l'aire du triangle $EBC$.
\item On se place dans le cas où $F$ est un point quelconque du segment $[BC]$, distinct de $B$ et $C$. On pose $CF=x$ ($x$ étant un nombre tel que $0<x<16$).
\begin{enumerate}
\item Exprime en fonction de $x$ et en $cm$ la longueur $EF$.
\item Montre que l'aire du triangle $EBC$, exprimée en $cm^2$, est égale à $6x$.
\item Pour quelle valeur de $x$, l'aire du triangle $EBC$, exprimée en $cm^2$, vaut-elle 33 ?
\item Exprime, en fonction de $x$, l'aire du triangle $EAB$. Pour quelle valeur exacte de $x$, l'aire du triangle $EAB$ est-elle égale au double de l'aire du triangle $EBC$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill
\vskip20cm
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°5\hfill301DM5a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
{\small
\exo
\begin{enumerate}
\item Calcule $A=\left(-\dfrac{5}{7}+\dfrac{4}{3}\right)\div\left(7-\dfrac{3}{4}\right)$
\item Calcule en donnant le résultat en écriture décimale puis en écriture scientifique.
$$C=153\times10^{-4}+32\times10^{-3}-165\times10^{-6}$$
\item Résous l'inéquation $5-2(x-7)\leq7(3-x)$ et représente graphique-ment les solutions de cette inéquation.
\item Le nombre $-3$ est-il solution de l'équation $x^2+2x-4=-1$ ?
\end{enumerate}
\exo Au musée du jouet, le prix d'entrée est 50 francs (7,62\textgreek{\euro}) pour un adulte et 35 francs (5,34\textgreek{\euro}) le prix d'entrée pour un enfant.
\begin{enumerate}
\item Calcule le pourcentage de réduction accordé au prix d'entrée \og{}enfant\fg{} par rapport au prix d'entrée \og{}adulte\fg{}.
\item Un dimanche, le musée du jouet a reçu 128 personnes et a fait une recette de $5260$ francs. Calcule le nombre d'adultes et le nombre d'enfants présents ce dimanche au musée du jouet.
\end{enumerate}
\exo {\em Dans ce problème, l'unité de longueur est le centimètre.}\par On considère un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=9$ et $AC=12$. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$. On note $\alpha$ la mesure exacte de l'angle $\widehat{ABC}$.
\begin{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item Exprime $\cos\alpha$ en fonction de $AB$ et $BC$.
\item Exprime $\cos\alpha$ en fonction de $AH$ et $AC$.
\item Déduis-en que
\begin{eqnarray}
AB\times AC&=&AH\times BC\label{ega1}
\end{eqnarray}
\item Calcule la longueur $BC$ puis la longueur $AH$.
\item Prouve cette égalité \ref{ega1} par une autre méthode.
\end{enumerate}
\item Soit $D$ le point du segment $[AC]$ tel que $CD=7,68$.
\begin{enumerate}
\item Calcule la valeur exacte de la distance du point $C$ au point $H$.
\item Que peut-on dire des droites $(DH)$ et $(AB)$ ? Explique alors la construction précise du point $D$ et déduis-en la nature du triangle $CDH$.
\item Calcule la longueur $DH$.
\end{enumerate}
\item Par le point $D$, on trace la droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan contenant le triangle $ABC$. Sur cette droite, on place un point $M$ et on note $DM=x$.
\begin{enumerate}
\item Représente la situation par un dessin en perspective.
\item Exprime, en fonction de $x$, le volume $\cal V$ de la pyramide de sommet $M$ et de base $DHC$.
\item A quelle distance du point $D$ doit se situer le point $M$ pour que le volume de la pyramide précédemment définie soit égal à $92,16\,cm^3$ ?
\item Déduis-en alors une mesure approchée au degré près le plus proche de l'angle $\widehat{DCM}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\vfill
\vskip10cm
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°6\hfill301DM6a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo Deux nombres $r$ et $s$ sont tels que $r^2+s^2=208$ et $r\times s=58$.\par Calculer $r+s$.
\exo
\begin{enumerate} 
\item Soit l'expression $A=(2x+5)(x-3)+(x-5)^2-2(2x-1)(x+1)$
\begin{enumerate}
\item Développe et réduis l'expression $A$.
\item Calcule la valeur de l'expression $A$ pour $x=0$ et $x=3$.
\end{enumerate}
\item Résous l'inéquation $5x-7\geq 2(x+1)$ puis représente graphiquement les solutions de cette inéquation.
\end{enumerate}
\exo
\par
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[scale=0.9]{301dmtous.4}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
Le solide représenté ci-contre est un tétraèdre $ABCD$. L'unité utilisé est le centimètre.\\ On sait que $AB=3$, $AD=5$, $BC=5$. De plus, $I$ est le milieu du segment $[BC]$ et les angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{IAD}$ sont droits.
\begin{enumerate}
\item Calcule la longueur $AC$.
\item Calcule la longueur $AI$.
\item Calcule la longueur $ID$. On donnera une valeur approchée au $mm$.
\item Calcule le volume de ce tétraèdre. On donnera la réponse en litre.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\exo {\em L'unité de longueur est le centimètre.}
\begin{enumerate}
\item Soit $({\cal C})$ un cercle de centre $O$ et de diamètre $[BC]$ tel que $BC=8$. $A$ est un point du cercle $({\cal C})$ tel que $BA=4$ et $B'$ est le symétrique de $B$ par rapport au point $A$.\par Fais une figure.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que le triangle $BAC$ est rectangle en $A$.
\item Calcule la longueur $AC$. On donnera une valeur approchée au dixième près.
\item Montre que le triangle $AOB$ est un triangle équilatéral.
\item Calcule la mesure en degrés de chacun des angles du triangle $AOC$.
\item Montre que la droite $(AC)$ est la médiatrice du segment $[BB']$.
\item Quelle est la nature du triangle $BCB'$ ?
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\vfill
\vskip10cm
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°7\hfill301DM7a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
{\small
\exo Soit $ABC$ un triangle tel que $BC=10\,cm$, $BA=9\,cm$ et $AC=7\,cm$. Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$.
\begin{enumerate}
\item Construis une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
\item Construis le cercle $({\cal C})$ circonscrit au triangle $ABC$. On appellera $O$ le centre du cercle $({\cal C})$.
\item Place le point $D$ sur le cercle $({\cal C})$ tel que le segment $[AD]$ soit un diamètre du cercle $({\cal C})$.
\item Dans le triangle $ABC$, la hauteur issue de $C$ coupe la droite $(AB)$ en $K$ et la hauteur issue de $B$ coupe la droite $(AC)$ en $J$. Ces deux hauteurs se coupent en un point $H$.\par La droite $(AH)$ coupe la droite $(BC)$ en $L$ et recoupe le cercle $({\cal C})$ en $E$.\par Complète la figure.
\item Démontre que les triangles $ADB$ et $ADC$ sont rectangles.
\item
\begin{enumerate}
\item Démontre que les droites $(BH)$ et $(DC)$ sont parallèles.
\item Quelle est la nature du quadrilatère $BHCD$ ? Justifie la réponse.
\item Déduis-en que $I$ est le milieu du segment $[DH]$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontre que les droites $(OI)$ et $(AH)$ sont parallèles.
\item Démontre que les droites $(OI)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
\item Que représente la droite $(AH)$ pour le triangle $ABC$?
\end{enumerate}
\item Démontre que $E$ est le symétrique de $H$ par rapport à la droite $(BC)$.
\end{enumerate}
\exo On considère le tableau de répartition des tailles pour un échantillon de 1000 hommes et de 1000 femmes adultes (source I.N.S.E.E).
\par\vskip2mm
\vbox{\offinterlineskip
\halign{\tv #&\hfq #\hfq&\tv #&\hfq #\hfq&\tv #&\hfq #\hfq&\tv #\cr
\traithorizontal
&{\bf Taille en cm}&&{\bf Hommes}&&{\bf Femmes}&\cr
\traithorizontal
&$140\leq t<150$&&10&&38&\cr
  \traithorizontal
&$150\leq t<160$&&36&&360&\cr
\traithorizontal
&$160\leq t<170$&&383&&531&\cr
\traithorizontal
&$170\leq t<195$&&571&&71&\cr
\traithorizontal
}}\vskip-3.5cm
{\leftskip6cm\par Dans cet échantillon,
\par 1. Quel est le nombre total d'adultes de taille strictement inférieure à $170\,cm$ ?
\par 2. Quel est le nombre de femmes dont la taille est supérieure ou égale à $160\,cm$ ?
\par 3. Calculer la taille moyenne chez les hommes et chez les femmes.
\par}
\exo
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Développe et réduis $F=(x+3)^2-(2x+1)(x+3)$.
\item Factorise l'expression $F$.
\item Calcule la valeur de l'expression $F$ pour $x=-1$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Développe et réduis l'expression $G=(x-7)^2-81$.
\item Factorise l'expression $G$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Développe et réduis l'expression $H=(3x+5)(2x-1)+9x^2-25$.
\item Factorise $9x^2-25$, puis l'expression $H$.
\item Calcule $H$ pour $x=-\dfrac{5}{3}$.
\end{enumerate}
\item Factorise l'expression $I=4x^2+32x+63$.
\end{enumerate}
}
\vfill
\vskip10cm
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°8\hfill301DM8a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
{\small
\exo
\par
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics{301dmtous.5}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{7cm}
Un cube $ABCDEFGH$ a pour côté $6\,cm$. $J$ est le point de l'arête $[CG]$ tel que $GJ=4\,cm$. On coupe $\cal P$ la pyramide de sommet $G$ et de base $BCD$ par le plan passant par $J$ et parallèle à cette base. On obtient la section $JKL$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Quel est le volume de la pyramide $\cal P$ ?
\item Dessine un patron de cette pyramide.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $JKL$ ? Justifie la réponse.
\item Calcule la longueur $JK$.
\item Dessine la section $JKL$ en vraie grandeur.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\exo Soit $D=(3x+2)^2-(x-1)^2$
\begin{enumerate}
\item Développe et réduis l'expression $D$.
\item Factorise l'expression $D$.
\item Calcule la valeur de l'expression $D$ pour $x=1$ et $x=\dfrac{1}{4}$.
\item Résous l'équation $D=0$.
\end{enumerate}
\exo {\em L'unité graphique est le centimètre.}
\par\underline{\bf Partie A}
\begin{enumerate}
\item Trace un segment $[AB]$ tel que $AB=12$ et place le point $H$ du segment $[AB]$ tel que $AH=1$.\par Tracer un demi-cercle de diamètre $[AB]$ et la perpendiculaire en $H$ à la droite $(AB)$. On désigne par $C$ leur point d'intersection.
\item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?
\item Démontre que $AC=\sqrt{12}$
\item Donne la mesure arrondie au degré près de l'angle $\widehat{BAC}$.
\end{enumerate}
\par\underline{\bf Partie B}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Place le point $D$ de la droite $(BC)$ tel que les points $B,C$ et $D$ soient dans cet ordre et que $CD=6$.
\item Calcule la mesure, en degré, de l'angle $\widehat{ADC}$ et la valeur exacte de la longueur $AD$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Place le point $E$ du segment $[AD]$ tel que $AE=2$, et le point $F$ du segment $[AC]$ tel que $\widehat{AEF}=30$°.
\item Démontre que les droites $(EF)$ et $(DC)$ sont parallèles.
\item Calcule la longueur $AF$.
\end{enumerate}
\item La droite $(EF)$ coupe la droite $(CH)$ en $K$.\par Démontre que le point $K$ appartient à la bissectrice de l'angle $\widehat{CAB}$.
\end{enumerate}
}
\vfill
\vskip10cm
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°9\hfill301DM9a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
{\small
\exo Soit l'expression $G=(-3x+10)(2x+7)-(-3x+10)(-5x+1)$.
\begin{enumerate}
\item Développe et réduis l'expression $G$.
\item Ecris $G$ sous la forme d'un produit de 2 facteurs du 1\ier degré.
\item Résous l'équation $G=0$.
\end{enumerate}
\exo
\par\parpic[r]{\includegraphics[scale=0.9]{301dmtous.6}}
\par Un fabricant d'enseignes lumineuses doit réaliser la lettre Z (en tubes de verre soudés) pour la fixer sur le haut d'une vitrine.\par Voici le schéma donnant la forme et certaines dimensions de l'enseigne : les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $O$; $AO=5\,dm$, $OD= 9\,dm$, $CO=12\,dm$, $CD=15\,dm$.
\begin{enumerate}
\begin{minipage}{9cm}
\item Sachant que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, calcule les longueurs $AB$ et $OB$ (donne les résultats sous forme fractionnaire).
\item Démontre que le tube $[BC]$ est perpendiculaire à la droite $(AD)$.
\end{minipage}
\item Calcule la mesure de l'angle $\widehat{OCD}$. On donnera une valeur approchée à un degré près.
\end{enumerate}
\exo A la sortie d'une agglomération, on a relevé, un certain jour, la répartition par tranches horaires de $6\,400$ véhicules quittant la ville entre 16 heures et 22 heures. Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous.
$$\begin{tabularx}{13.5cm}{|X|c|c|c|c|c|c|}
\hline
{\bf Tranche\par horaire}&16 h-17 h&17 h-18 h&18 h-19 h&19 h-20 h&20 h-21 h&21 h-22 h\\
\hline
{\bf Nombres de\par véhicules}&$1\,100$&$2\,000$&$1\,600$&$900$&$450$&$350$\\
\hline
\end{tabularx}
$$
\begin{enumerate}
\item Représente l'histogramme des effectifs de cette série statistique.
\item Calcule la fréquence de la tranche horaire 19 h-20 h (on donnera le résultat arrondi à 0,01 près, puis le pourcentage correspondant).
\item Calcule le pourcentage de véhicules quittant la ville entre 16 h et 20 h.
\end{enumerate}
\exo\underline{\bf Partie 1 : Nouveau théorème}\par Soit $ABC$ un triangle quelconque. La bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ coupe la droite $(BC)$ en $D$. La parallèle à la droite $(AC)$ passant par $C$ coupe la droite $(AB)$ en $E$.\par Démontre que $\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}$
\par\underline{\bf Partie 2 : Application du théorème}\par Soit un triangle $ABC$ tel que $AB=24\,cm$, $AC=56\,cm$ et $BC=40\,cm$.\par La bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ coupe la droite $(CB)$ en $D$. La bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$ coupe la droite $(AC)$ en $E$. La bissectrice de l'angle $\widehat{BCA}$ coupe la droite $(AB)$ en $F$.
\begin{enumerate}
\item Calcule les longueurs $DB$, $DC$, $EA$, $EC$, $FA$ et $FB$.
\item Evalue les rapports $\dfrac{ID}{IA}$, $\dfrac{IE}{IB}$ et $\dfrac{IF}{IC}$. Calcule leur produit.
\end{enumerate}
}
\vfill
\vskip10cm
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°10\hfill301DM10a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo\par
 \begin{enumerate}
\item Trace le cercle $({\cal C}_1)$ de centre $O$ et de diamètre $[AB]$ tel que $AB=10\,cm$. Place le point $C$ du segment $[AB]$ tel que $AC=6\,cm$.\par Trace le cercle $({\cal C}_2)$ de diamètre $[AC]$ et le cercle $({\cal C}_3)$ de diamètre $[BC]$.\par Place un point $D$ du cercle $({\cal C}_1)$ tel que $BD=5\,cm$.\par La droite $(AD)$ recoupe le cercle $({\cal C}_2)$ en $E$.
\item Quelle est la nature du triangle $ADB$ ? Justifie.
\item Prouve que les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont parallèles.
\item\begin{enumerate}
\item Calcule la longueur $EC$.
\item Calcule la longueur $AE$.\par Déduis-en que la longueur $ED$ est telle que $ED=2\sqrt{3}\,cm$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo Pour une période de 5 mois (150 jours), une facture d'eau se calcule de la manière suivante : 70 francs d'abonnement et 11 francs par $m^3$ d'eau consommée.
\begin{enumerate}
\item Pendant cette période de 5 mois, la famille Laurent a consommé 74 $m^3$ d'eau. Etablis le montant de sa facture.
\item
\begin{enumerate}
\item La famille Cherrier a payé $1\,126$ francs pour cette période. Quelle quantité d'eau a-t-elle consommée ? (en $m^3$)
\item Pour la période suivante, la famille Cherrier décide de réduire sa consommation d'eau de 10\%.\par En supposant que les tarifs restent les mêmes, quel sera la pourcentage de réduction sur la nouvelle facture ? Arrondis au dixième le plus proche.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo Donne la valeur exacte et la plus simple possible des nombres suivants
$$A=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times\left(\frac{1}{4}-\frac{5}{12}\right)\kern1cm B=\frac{\dfrac{3}{\strut4}+\dfrac{1}{3}}{2-\dfrac{\strut7}{3}}\kern1cm C=2\sqrt{108}-4\sqrt{75}+3\sqrt{48}$$
\exo Soit l'expression $A=(3x-4)^2-(3x-4)(2x+5)$.
\begin{enumerate}
\item Développe et réduis l'expression $A$.
\item Factorise l'expression $A$.
\item Résous l'équation $A=0$.
\item Calcule la valeur de l'expression $A$ pour $x=9$ et $x=\sqrt3$.
\end{enumerate}
\vfill
\vskip10cm
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°11\hfill301DM11a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
{\small
\exo Soit $P$ le poids d'une personne en $kg$ et $T$ sa taille en mètres.\par Le nombre $I=\dfrac{P}{T^2}$ est appelé {\em indice de corpulence}.\par Si l'indice de corpulence d'une personne est compris entre 25 et 30, cette personne est considérée comme étant en surcharge de poids. Si le nombre $I$ est supérieur à 30, elle est considérée comme obèse.
\begin{enumerate}
\item Tom pèse $75\,kg$ et mesure $1,75\,m$. Calcule son indice de corpulence.
\item Jim est en surcharge de poids et mesure $1,60\,m$. Donne un encadrement de son poids.
\item Aux Etats-Unis, l'obésité est un problème de santé publique important. Un étude révèle que, sur un échantillon de $2\,625$ personnes, 630 sont obèses.\par Quel est le pourcentage de personnes obèses dans cet échantillon ?
\item Sam se rend à un examen médical. La fiche de résultats indique :
\begin{center}
$66\,kg$ soit $110\%$ du poids idéal.
\end{center}
\par De combien de kilos doit-il maigrir s'il veut retrouver son poids idéal ?
\end{enumerate}
\exo Résous l'équation
$$(-3x+1)^2-9(2x+7)^2=0$$
\exo Donne la valeur exacte et la plus simple possible des quatre nombres suivants :
$$\Eqalign{
A&=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times\left(\frac{1}{4}-\frac{5}{12}\right)\kern1cm&B&=\left(\frac{3}{5}-\frac{2}{7}\right)\div\left(\frac{1}{35}-\frac{3}{7}\right)\cr
\cr
C&=2\sqrt{108}-4\sqrt{75}+3\sqrt{147}&D&=\frac{24\times10^{-3}\times0,06\times10^4}{3,2\times10^5\times0,75\times10^{-2}\times5\times10^{-4}}\cr
}$$
\exo {\em L'unité de longueur est le centimètre.}
\par Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$, $AC=8$ et $BC=10$. On appelle $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[AC]$. Le point $H$ est le point d'intersection de la hauteur issue de $A$ et de la droite $(BC)$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontre que le triangle $ABC$ est rectangle.
\item Déduis-en la longueur $AH$.
\end{enumerate}
\item Démontre que les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles et que $IJ=5$.
\item Soit $D$ le point du segment $[CJ]$ tel que $CD=2,5$ et $E$ le point d'intersection des droites $(IJ)$ et $(BD)$.
\begin{enumerate}
\item Calcule les longueurs $DJ$ et $EJ$.
\item Les droites $(CE)$ et $(AI)$ sont-elles parallèles ?
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calcule l'aire du triangle $BCD$.
\item Déduis-en l'aire du triangle $EJD$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\vfill
\vskip10cm
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°12\hfill301DM12a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
{\small
\exo $n$ est un entier supérieur à 6 et on pose $F=\dfrac{n+9}{n-6}$.
\begin{enumerate}
\item Donne la forme irréductible de $F$ pour $n=9$, $n=25$, $n=46$.
\item Démontre que
$$F=1+\frac{15}{n-6}$$
\item Déduis-en toutes les valeurs de $n$ pour lesquelles $F$ est un nombre entier.
\end{enumerate}
\exo
\begin{enumerate}
\item Calcule le $\pgcd(32\,760,61\,425)$.
\item Rends irréductible la fraction $\dfrac{32\,760}{61\,425}$.
\end{enumerate}
\exo Voici la répartition de 300 appelés du contingent suivant leur taille $t$ en mètre et leur poids $P$ en $kg$.
$$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\backslashbox{$t$}{$P$}&62,5&65&67,5&70&72,5&75&77,5&80\\
\hline
1,70&14&19&8&1&&&&\\
\hline
1,75&2&20&30&17&4&1&&\\
\hline
1,80&&7&28&36&16&5&1&\\
\hline
1,85&&1&6&19&22&10&4&2\\
\hline
1,90&&&&4&5&8&7&3\\
\hline
\end{tabular}
$$
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Fais un tableau $A$ indiquant les différentes tailles et leur effectif.
\item Fais un tableau $B$ indiquant les différents poids et leur effectif.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Complète le tableau $A$ en indiquant les effectifs cumulés croissants.
\item Complète le tableau $B$ en indiquant les fréquences et les fréquences cumulées croissantes.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calcule le poids moyen des 300 appelés.
\item Calcule la taille moyenne des 300 appelés.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo Soit un cône de révolution de sommet $S$ et de hauteur $[SH]$. La longueur d'{\em une génératrice}\footnote{Segment joignant le sommet à un point de la circonférence de la base} de ce cône est $SA=6\,cm$ et de plus $\widehat{HSA}=60°$.
\begin{enumerate}
\item Fais une figure regroupant toutes les indications données.
\item
\begin{enumerate}
\item Calcule la longueur $SH$.
\item Calcule la longueur $AH$. Donne la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.
\end{enumerate}
\item $\cal P$ est le plan perpendiculaire à la hauteur $[SH]$ en son milieu $I$. Il coupe la génératrice $[SA]$ en $J$.
\begin{enumerate}
\item Complète la figure.
\item Que représente le point $J$ pour le segment $[SA]$ ?
\item Calcule la longueur $IJ$ : donne la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\vfill
\vskip10cm
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°13\hfill301DM13a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo Soit $E=x^2-\dfrac{1}{16}+5\left(x-\dfrac{1}{4}\right)$.
\begin{enumerate}
\item Ecris $E$ sous la forme d'un produit de deux facteurs du 1\ier degré.
\item Résous l'équation $E=0$ et vérifie que la somme des deux solutions trouvées est un nombre entier. Quel est le produit de ces deux solutions ?
\end{enumerate}
\exo Soit $A=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{5}{4}}-\sqrt{\dfrac{45}{16}}+2\sqrt{\dfrac{180}{64}}$.
\par Simplifie $A$ et écris-le sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ et $b$ désignent deux entiers positifs.
\exo Pour être vendues, les pommes doivent être calibrées : elles sont réparties en caisses suivant la valeur de leur diamètre.\par Dans un lot de pommes, un producteur a évalué le nombre de pommes pour chacun des six calibres rencontrés dans le lot. Il a obtenu le tableau suivant :
$$\begin{tabularx}{12cm}{|X|c|c|c|c|c|c|}
\hline
{\bf Calibre\par (en
  $mm$)}&$[55;60[$&$[60;65[$&$[65,70[$&$[70,75[$&$[75,80[$&$[80,85[$\\
\hline
{\bf Effectif\par (nombre de pommes)}&13&20&30&23&26&18\\
\hline
\end{tabularx}
$$
\begin{enumerate}
\item Construis l'histogramme relatif à cet échantillon de pommes.
\item Combien de pommes ont un diamètre de moins de $70\,mm$ ?
\item Combien de pommes ont un diamètre d'au moins $75\,mm$ ?
\item Calculer, par rapport à l'effectif total, le pourcentage de pommes dont le diamètre $d$ est tel que $70\leq d<80$. On donnera le résultat à $10^{-1}$ près par excès.
\item Quel est le calibre moyen des pommes de ce producteur.
\end{enumerate}
\exo Soit un triangle $ABC$ et $A'$ et $B'$ les milieux respectifs des segments $[BC]$ et $[AC]$. $G$ le point d'intersection des médianes $[AA']$ et $[BB']$.
\begin{enumerate}
\item Construis le point $E$, symétrique du point $G$ par rapport au point $A'$.\par Construis le point $F$, symétrique du point $G$ par rapport au point $B'$.
\item Démontre que le quadrilatère $AFEB$ est un parallélogramme.
\item Construis l'image du parallélogramme $AFEB$ par la translation de vecteur $\vecteur{GC}$.
\end{enumerate}
\vfill
\vskip10cm
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°16\hfill301DM16a}
\vspace{2mm}
\hrule
{\small
\par
\exo\begin{enumerate}
\item Ecris les fractions suivantes sous leur forme irréductible $$a=\frac{4862}{2145}\kern1cm b=\frac{3450}{759}$$
\item Le quotient du produit de 2 nombres $x$ et $y$ par leur $\pgcd$ s'appelle le Plus Petit Commun Multiple noté $\ppcm(x;y)$.
\begin{enumerate}
\item Exprime $\ppcm(x;y)$ en fonction de $x,\,y$ et $\pgcd(x;y)$.
\item Calcule le $\ppcm(429;11)$.
 \item Déduis-en la somme de $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo Soit $x=\sqrt5\left(1-\sqrt2\right)$ et $y=5+\sqrt2$.
\par Calcule $x^2;\,y^2;\,x^2+y^2;\,\sqrt{x^2+y^2}$.
\par\exo On donne $D=(2x-3)(5x+4)+(2x-3)^2$.
\begin{enumerate}
\item Montre que $D$ peut s'écrire sous la forme $D=(2x-3)(7x+1)$.
\item Résous l'équation $D=0$.
\end{enumerate}
\exo {\em On utilisera une feuille blanche et on laissera apparents tous les traits de construction.}
\begin{enumerate}
\item Construis un triangle équilatéral $AOB$ dont les côtés mesurent $5\,cm$.
\item Construis le point $K$, symétrique du point $B$ par rapport au point $O$.
\item Construis le point $S$, symétrique du point $B$ par rapport à la droite $(OA)$.
\item Construis le point $T$ tel que $\vecteur{AT}=\vecteur{AO}+\vecteur{AB}$.
\item Construis le point $E$ tel que $\vecteur{AE}=\vecteur{AO}+\vecteur{AO}$.
\item Trace le polygone $BASKET$. Il s'agit d'une figure connue. Laquelle ? Une démonstration est bien sur attendue.
\end{enumerate}
\exo
\begin{enumerate}
\item Construis un quadrilatère $ABCD$ {\bf quelconque}. On appelle $O$ le centre de ce quadrilatère.
\item Construis les points $I$, $J$, $K$, $L$ tels que
$$\Eqalign{
\vecteur{OI}&=\vecteur{OA}+\vecteur{OB}\kern1cm&\vecteur{OJ}&=\vecteur{OB}+\vecteur{OC}\cr
\cr
\vecteur{OK}&=\vecteur{OC}+\vecteur{OD}&\vecteur{OL}&=\vecteur{OD}+\vecteur{OA}\cr
}$$
\item Précise la nature du quadrilatère $IJKL$.
\item Que peut-on dire de ce quadrilatère si
\begin{enumerate}
\item $AC=BD$ ?
\item $AC=BD$ et les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\vfill
\vskip10cm
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°14\hfill301DM14a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
%{\small
\exo Un groupe de 16 personnes décide de déjeuner au self d'une entreprise. Deux menus sont proposés : le \og{}Menu 1\fg{} à 6\textgreek{\euro} et le \og{}Menu 2\fg{} à 8\textgreek{\euro}. Chaque personne choisit un des deux menus et la dépense globale est de 110\textgreek{\euro}.\par Combien de personnes ont choisi le\og{}Menu 1\fg{} et combien ont choisi le\og{}Menu 2\fg{} ?
\exo Soit $B$ et $C$ deux points du cercle $({\cal C})$ de centre $O$ et de diamètre $[AE]$.
\begin{enumerate}
\item Démontre que les triangles $ACE$ et $ABE$ sont des triangles rectangles.
\item La parallèle à la droite $(EC)$ passant par $B$ coupe la droite $(AC)$ en $K$. La parallèle à la droite $(EB)$ passant par $C$ coupe la droite $(AB)$ en $J$. Les droites $(BC)$ et $(CJ)$ se coupent en $H$. Démontre que le quadrilatère $BHCE$ est un parallélogramme.
\item Soit $A'$ le milieu du segment $[BC]$. Démontre que $A'$ est le milieu du segment $[HE]$.
\item Démontre que $AH=2\times OA'$.
\item Démontre que $H$ est le point de concours des hauteurs.
\end{enumerate}
\exo
\par\underline{\bf Partie A} On considère la fonction $f$ qui à $x$ fait correspondre le nombre $40-4x$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'expression de $f(x)$ ?
\item Quelle est l'image du nombre $0$ par la fonction $f$ ?
\item Quel nombre a pour image 16 par la fonction $f$ ?
\item Quel nombre a pour image 10 par la fonction $f$ ?
\end{enumerate}
\par
\underline{\bf Partie B} Les dimensions de ce pavé droit sont : $EH=8\,cm$, $DH=10\,cm$, $GH=12\,cm$.
$$\includegraphics{301dmtous.7}$$
\par{\em La figure ci-dessus n'est pas en vraie grandeur.}
\par $I$ est un point du segment $[DH]$. La pyramide $\cal P$ de sommet $D$ est de base $EFGH$ est coupée par un plan parallèle à la base passant par le point $I$.\par La section est un quadrilatère $IJKL$, $J$, $K$ et $L$ appartenant respectivement aux segments $[DE]$, $[DF]$ et $[DG]$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Précise la nature du quadrilatère $EFGH$ et calcule son aire.
\item Détermine alors le volume de la pyramide $\cal P$.
\end{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $IJKL$ ?
\item Représente la section $IJKL$ en perspective cavalière sur le dessin ci-dessus.
\item Le plan de section étant parallèle à la base, les droites $(IJ)$ et $(EH)$ sont parallèles, ainsi que les droites ($IL)$ et $(GH)$.\par Dans cette question, on pose $IH=4\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Calcule la longueur $DI$.
\item Montre que $IJ=4,8\,cm$ et $IL=7,2\,cm$.
\item Calcule le périmètre $p$ du quadrilatère $IJKL$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on considère maintenant que $IH=x$ (en
  $cm$).
\begin{enumerate}
\item Exprime la longueur $DI$ en fonction de $x$.
\item Montre que $IJ=8-\dfrac{4}{5}x$ et que $IL=12-\dfrac{6}{5}x$
\item Exprime le périmètre $p$ du quadrilatère $IJKL$ en fonction de $x$.
\item Où placer le point $I$ pour que le périmètre $p$ du quadrilatère $IJKL$ soit égal à $10\,cm$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill
\pagebreak
\hrule\vspace{2mm}
\setcounter{num}{0}{\bf Devoir de Mathématiques n°15\hfill301DM15a}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo On considère 2 fonctions $f$ et $g$ définies par $$f(x)=(2x-1)^2-(5x+1)(6x-3)+8x^2-2\kern2cm g(x)=36x+81x^2+4$$
\begin{enumerate}
\item Développe l'expression $f(x)$. Factorise les expressions $f(x)$ et $g(x)$.
\item Résous l'équation $g(x)=2f(x)$.
\item Calcule $g\left(-\dfrac{2}{3}\right)$ et $f(\sqrt3)$.
\end{enumerate}
\exo
\begin{enumerate}
\item Ecris l'expression suivante sous la forme d'une fraction irréductible.
$$A=\frac{\dfrac{2}{\strut 3}+\dfrac{1}{2}}{3-\dfrac{\strut 2}{5}}\times\frac{\dfrac{4}{5}+\dfrac{7}{\strut 2}}{\dfrac{\strut 43}{13}}$$
\item Calcule et donne le résultat sous forme décimale
$$B=\frac{0,8\times10^{-6}\times1,5\times(10^4)^2}{2\times10^3}$$
\item Ecris l'expression suivante sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ le plus petit possible.
$$C=\sqrt{500}+4\sqrt{5}-2\sqrt{45}$$
\end{enumerate}
\exo Soit un triangle équilatéral $ABC$ de côté $5\,cm$. $A'$, $B'$, $C'$ sont les milieux respectifs des segments $[BC]$, $[CA]$ et $[AB]$. $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calcule la longueur $AA'$.
\item Déduis-en la longueur $AG$.
\end{enumerate}
\item Par $G$, on trace la droite $(\Delta)$ perpendiculaire plan du triangle $ABC$. Sur cette droite, on prend un point $D$ tel que : $$DA=DC=DB=AB=AC=BC=5\,cm$$
\par Calcule la longueur $DG$.
\item Considérons le triangle $ADG$ et appelons $I$ le milieu du segment $[AB]$. La perpendiculaire en $I$ à la droite $(AD)$ dans le plan $ADG$ coupe le segment $[DG]$ en $O$.
\begin{enumerate}
\item Fais une figure soignée.
\item Quelle est la nature du triangle $ADG$ ?
\item Evalue $OD+OG$.
\item Justifie que $OA=OD$.
\item Evalue $OA^2-OG^2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo Un employé à gagné 600\textgreek{\euro} pour 15 heures de travail.
\begin{enumerate}
\item Calcule son salaire horaire.
\item Exprime le salaire $S$ (en \textgreek{\euro}) en fonction du temps $t$ (en heures).
\item Construis la représentation graphique de la fonction $S$ pour $0<t<20$ ($1\,cm$ pour 2 heures sur l'axe des abscisses; $1\,cm$ pour $100$\textgreek{\euro} sur l'axe des ordonnées).
\item Détermine graphiquement (on laissera apparent les traits de construction nécessaires):
\begin{itemize}
\item Le salaire correspondant à 10 heures de travail.
\item le nombres d'heures correspondant à un salaire de $720$\textgreek{\euro}.
\item Vérifie  ces résultats par le calcul.
\end{itemize}
\item Cet employé a consacré $15\%$ de son salaire à l'achat d'un vêtement, quel est le prix de ce vêtement ?
\item Il consacre $75$\textgreek{\euro} à ses loisirs. Quel est le pourcentage du salaire cela représente-t-il ?
\end{enumerate}
\end{document}